有效改进数学教学市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

有效改进数学教学有效改进数学教学人民教育出版社人民教育出版社 章建跃章建跃第1页有效教学关键有效教学关键了解数学，了解学生，了解教学。了解数学，了解学生，了解教学。“三个了解三个了解”内涵：掌握丰富数学学科知内涵：掌握丰富数学学科知识；初中数学课程结构体系、教学重点知识；初中数学课程结构体系、教学重点知识；学生数学学习难点知识；关于重点知识；学生数学学习难点知识；关于重点知识教学解释知识；关于评定学生知识了解识教学解释知识；关于评定学生知识了解水平知识；等。水平知识；等。尤其强调尤其强调“内容所反应数学思想方法内容所反应数学思想方法”了了解，决定了教学所能到达水平和效果。解，决定了教学所能到达水平和效果。第2页当前概念教学问题当前概念教学问题不重视章节起始课教学，没有把本章节要不重视章节起始课教学，没有把本章节要处理主要问题、基本过程和主要思想方法处理主要问题、基本过程和主要思想方法等纳入教学任务中；等纳入教学任务中；概念教学走过场，经常采取概念教学走过场，经常采取“一个定义，一个定义，三项注意三项注意”方式，在概念背景引入上着墨方式，在概念背景引入上着墨不够，没有给学生提供充分概括本质特征不够，没有给学生提供充分概括本质特征机会，认为让学生多做几道题目更实惠机会，认为让学生多做几道题目更实惠有些老师不知怎样教概念有些老师不知怎样教概念第3页教概念意义教概念意义李邦河院士：数学根本上是玩概念，不是李邦河院士：数学根本上是玩概念，不是玩技巧技巧不足道也！玩技巧技巧不足道也！以解题教学代替概念教学做法严重偏离了以解题教学代替概念教学做法严重偏离了数学正轨，必须纠正不然，学生在数学数学正轨，必须纠正不然，学生在数学上花费大量时间、精力，结果可能是对数上花费大量时间、精力，结果可能是对数学内容、方法和意义知之甚少，学内容、方法和意义知之甚少，“数学育数学育人人”终将落空终将落空第4页概念教学关键概念教学关键概念教学关键是概括：将凝结在数学概念概念教学关键是概括：将凝结在数学概念中数学家思维打开，以经典丰富实例为载中数学家思维打开，以经典丰富实例为载体，引导学生展开观察、分析各事例属性、体，引导学生展开观察、分析各事例属性、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念。念。第5页概念教学基本步骤概念教学基本步骤经典丰富详细例证经典丰富详细例证属性分析、比较、属性分析、比较、综合；综合；概括共同本质特征得到概念本质属性；概括共同本质特征得到概念本质属性；下定义（准确数学语言描述）；下定义（准确数学语言描述）；第6页概念辨析概念辨析以实例（正例、反例）为载以实例（正例、反例）为载体分析关键词含义；体分析关键词含义；用概念作判断详细事例用概念作判断详细事例形成用概念作形成用概念作判断详细步骤；判断详细步骤；概念概念“精巧精巧”建立与相关概念联络。建立与相关概念联络。第7页例例1 1 乘法公式了解及教学设计乘法公式了解及教学设计多项式运算就是含有字母符号算式之间运多项式运算就是含有字母符号算式之间运算（字母代表数，数满足运算律，所以字算（字母代表数，数满足运算律，所以字母也满足运算律）；母也满足运算律）；两个多项式乘积就是用分配律把它归于单两个多项式乘积就是用分配律把它归于单项式乘积之和来计算，单项式乘积是用乘项式乘积之和来计算，单项式乘积是用乘法交换律、结合律和指数法则来计算法交换律、结合律和指数法则来计算运算法则；运算法则；乘法公式是一类特殊多项式乘法问题，是乘法公式是一类特殊多项式乘法问题，是一个模式。一个模式。第8页乘法公式蕴含思想方法乘法公式蕴含思想方法乘法公式是研究普通多项式乘法基础上对乘法公式是研究普通多项式乘法基础上对“特例特例”考查，寻找一个模式：考查，寻找一个模式：在在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，字母中，字母a，b，c，d有一些特殊关系时特殊形式，即有一些特殊关系时特殊形式，即（1）a=c，b=d时有平方差公式；时有平方差公式；（2）a=c，b=d时有完全平方和公式；等。时有完全平方和公式；等。从普通到特殊，归纳思想，从普通到特殊，归纳思想，“考查特例考查特例”是数是数学研究学研究“基本套路基本套路”。第9页第10页教学过程设计教学过程设计1复习与引入复习与引入问题问题1 前面我们学习了单项式、多项式乘前面我们学习了单项式、多项式乘法，你能说说运算法则吗？这些运算依据法，你能说说运算法则吗？这些运算依据是什么？是什么？设计意图：回顾运算法则，强化设计意图：回顾运算法则，强化“用运算用运算律计算律计算”意识。意识。第11页先行组织者：先行组织者：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，中，a，b，c，d能够是数、式或别什么。数学中，能够是数、式或别什么。数学中，经常要经过考查特殊情况来取得对问题深经常要经过考查特殊情况来取得对问题深入认识，比如在两条直线位置关系中，我入认识，比如在两条直线位置关系中，我们尤其研究了平行、垂直两种特殊位置关们尤其研究了平行、垂直两种特殊位置关系，得到了一些有用系，得到了一些有用结论。类似，在多项结论。类似，在多项式乘法中，也有一些特殊情形值得研究。式乘法中，也有一些特殊情形值得研究。第12页2公式探究公式探究问题问题2(x+b)(x+d)能够利用公式直接写出结能够利用公式直接写出结果。它是果。它是(a+b)(c+d)在在a=c=x时特例。在时特例。在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，你认为还有哪中，你认为还有哪些特殊情形？你能得到什么？些特殊情形？你能得到什么？设计意图：经过设计意图：经过“先行组织者先行组织者”，渗透从，渗透从普通到特殊，考查特例，深入认识数学对普通到特殊，考查特例，深入认识数学对象方法；在让学生自主活动之前，先指出象方法；在让学生自主活动之前，先指出已经有特例已经有特例(x+b)(x+d)，使学生有一个类比，使学生有一个类比对象，明确思索方向。对象，明确思索方向。第13页问题问题3 请你用自己语言表述平方差公式、完请你用自己语言表述平方差公式、完全平方公式。全平方公式。设计意图：帮助学生了解公式。设计意图：帮助学生了解公式。3例题例题本步骤主要目标是经过变式（字母本步骤主要目标是经过变式（字母a，b取取数、式等各种变形），让学生体会公式在数、式等各种变形），让学生体会公式在“形式化运算形式化运算”中作用。另外，经过适当中作用。另外，经过适当反例，纠正学生可能疏忽。最终要让学生反例，纠正学生可能疏忽。最终要让学生明确：第一，具备形式明确：第一，具备形式(a+b)(ab)或或(ab)2，就能够用公式；第二，要注意哪个代表，就能够用公式；第二，要注意哪个代表a，哪个代表，哪个代表b。第14页4公式多元联络表示公式多元联络表示问题问题4 假如假如a，b表示线段长，则表示线段长，则a2，b2分别分别表示正方形面积。你能依据公式形式，自表示正方形面积。你能依据公式形式，自己结构一个图形表示上述乘法公式吗？己结构一个图形表示上述乘法公式吗？设计意图：经过结构几何模型表示公式，设计意图：经过结构几何模型表示公式，以开拓学生思绪。经过数形结合、图形直以开拓学生思绪。经过数形结合、图形直观，以加深了解、增强记忆。观，以加深了解、增强记忆。第15页5小结小结（1）请你总结一下本节课讨论问题基本过）请你总结一下本节课讨论问题基本过程。程。设计意图：引导学生总结设计意图：引导学生总结“基本套路基本套路”，即即“多项式乘法（普通）多项式乘法（普通）乘法公式乘法公式（特殊）（特殊）公式特征分析公式特征分析与相关知与相关知识联络识联络”。（2）为何要讨论）为何要讨论“特殊情形特殊情形”？是怎样得？是怎样得到？到？设计意图：体会设计意图：体会“怎样提出问题怎样提出问题”。第16页（3）能否循着上述思绪，再提出一些值得）能否循着上述思绪，再提出一些值得研究问题？研究问题？设计意图：引导学生自主研究。必要时可设计意图：引导学生自主研究。必要时可作提醒，如公式作提醒，如公式(a+b)2=a2+2ab+b2中，推广中，推广“次数次数”，能够研究，能够研究(a+b)3，(a+b)4。即使这不是即使这不是“课标课标”要求，但对学生思维发要求，但对学生思维发展是有好处。展是有好处。第17页例例2 2 函数概念了解和教学函数概念了解和教学被扭曲函数概念教学举例：被扭曲函数概念教学举例：（1）只在形式化变形上下功夫）只在形式化变形上下功夫如图所表示是二次函数如图所表示是二次函数y=ax2+bx+c图图像一部分，图像过点像一部分，图像过点A(3,0)，对，对程轴为程轴为x=1，给出以下四个结论：，给出以下四个结论：b4ac，bc0，2a+b=0，a+b+c=0，其中正确结论是，其中正确结论是 。第18页（2 2）与平面几何知识叠加）与平面几何知识叠加第19页(3)(3)将知识点拼凑、叠加，将知识点拼凑、叠加，成为一个数学成为一个数学游戏游戏据称，这是近几年中考常见压轴题。有据称，这是近几年中考常见压轴题。有评论说：评论说：“这么题目标特点是经过采取宽这么题目标特点是经过采取宽入口、低起点、层层递进、逐步提升知识入口、低起点、层层递进、逐步提升知识综合程度，利用点和线图形运动，借助函综合程度，利用点和线图形运动，借助函数知识来研究图形在运动改变过程中数量数知识来研究图形在运动改变过程中数量关系，同时渗透各种数学思想方法方式设关系，同时渗透各种数学思想方法方式设计题目标问题，为题目标区分度奠定了很计题目标问题，为题目标区分度奠定了很好基础。好基础。”完全离开了函数背景，割裂了函数与客观完全离开了函数背景，割裂了函数与客观世界天然联络。世界天然联络。人为制造，矫揉造作！人为制造，矫揉造作！第20页关于函数概念了解关于函数概念了解说文解字：函说文解字：函信函，传递和交流信息信函，传递和交流信息书面形式。书面形式。引申为（有次序）对应关系。引申为（有次序）对应关系。函数起源：函数起源于运动，是应函数起源：函数起源于运动，是应“科学科学数学化数学化”之所需。之所需。“数学从运动研究中引数学从运动研究中引出了一个基本概念。在那以后二百年里，出了一个基本概念。在那以后二百年里，这个概念在几乎全部工作中占中心位置，这个概念在几乎全部工作中占中心位置，这就是函数这就是函数或变量间关系或变量间关系概念。概念。”（MM克莱因）克莱因）第21页函数概念本质函数概念本质函数概念本质：两个变量之间一个特殊对函数概念本质：两个变量之间一个特殊对应关系。应关系。“函数函数”不是一个数，而是一个不是一个数，而是一个对应关系。对应关系。函数概念所反应基本思想：运动改变思想。函数概念所反应基本思想：运动改变思想。教学关键任务：让学生体验教学关键任务：让学生体验“一个量伴随一个量伴随另一个量改变而改变另一个量改变而改变”过程过程只有数字、只有数字、图形游戏是办不到。图形游戏是办不到。第22页题目比较我们习认为常我们习认为常题目题目：这么题目，只有形式化训练，主要在代数这么题目，只有形式化训练，主要在代数运算上下功夫，函数味道很淡，运算上下功夫，函数味道很淡，“变量变量”、“运动改变运动改变”、“一个量随另一个量改一个量随另一个量改变而改变变而改变”以及改变过程中以及改变过程中“确定关系确定关系”或或“改变规律改变规律”等，都表达得不够。等，都表达得不够。换一个方法出换一个方法出题目题目：第23页函数味道很浓，函数味道很浓，“变量变量”、“一个量随另一个量随另一个量改变而改变一个量改变而改变”以及改变过程中以及改变过程中“确确定关系定关系”或或“改变规律改变规律”等，都得到充分等，都得到充分表达。一定要了解了概念才能回答，如必表达。一定要了解了概念才能回答，如必须真正了解斜率须真正了解斜率k k实际含义才能回答实际含义才能回答“是什是什么原因造成了他们所画图像不一样？么原因造成了他们所画图像不一样？”两种出题方法教育功效也是不一样两种出题方法教育功效也是不一样后后一个方法更有利于学生了解函数概念本质；一个方法更有利于学生了解函数概念本质；能让学生感受数学作用；对学生能力培养能让学生感受数学作用；对学生能力培养更全方面。更全方面。第24页函数概念发展简史函数概念发展简史背景：背景：1717世纪，科学家们致力于对运动研世纪，科学家们致力于对运动研究。如计算天体位置，长距离航海中对经究。如计算天体位置，长距离航海中对经度和纬度测量，炮弹速度对于高度和射程度和纬度测量，炮弹速度对于高度和射程影响等。包括两个变量之间关系，要依据影响等。包括两个变量之间关系，要依据这种关系对事物改变规律作出判断，如依这种关系对事物改变规律作出判断，如依据炮弹速度推测它能到达高度和射程。据炮弹速度推测它能到达高度和射程。第25页莱布尼兹用“函数”表示随曲线改变而改变几何量，如坐标、切线等。17，贝努利强调函数要用公式表示。1755年，欧拉将函数定义为“假如一些变量，以一个方式依赖于另一些变量，我们将前面变量称为后面变量函数”。当初很多数学家对不用公式表示函数很不习惯，甚至抱怀疑态度。第26页1837年，狄利克雷提出：年，狄利克雷提出：“假如对于假如对于x每一每一个值，个值，y总有一个完全确定值与之对应，则总有一个完全确定值与之对应，则y是是x函数函数”。1870年代，伴随集合概念出现，函数概念年代，伴随集合概念出现，函数概念用愈加严谨集合与对应语言表述。用愈加严谨集合与对应语言表述。映射语言定义函数则是更晚事情了。映射语言定义函数则是更晚事情了。第27页函数概念教学关键点函数概念教学关键点为学生铺设概括函数概念通道；为学生铺设概括函数概念通道；精选实际例子精选实际例子从实例出发，在函数概念引入、从实例出发，在函数概念引入、表示、性质和应用等阶段都要注意使用实际例子，表示、性质和应用等阶段都要注意使用实际例子，为学生提供了解函数概念为学生提供了解函数概念“参考物参考物”。一个好例。一个好例子胜过一千次说教。子胜过一千次说教。不在字面含义、形式化不在字面含义、形式化“应用应用”等方面纠缠，多等方面纠缠，多让学生用函数观点解释详细问题。让学生用函数观点解释详细问题。围绕运动改变、变量、一个量随另一个量改变而围绕运动改变、变量、一个量随另一个量改变而改变等，以实例为载体开展教学，加强思想方法、改变等，以实例为载体开展教学，加强思想方法、函数建模等。函数建模等。第28页例例3 一次函数例题教学一次函数例题教学一家电信企业给用户提供两种上网收费方一家电信企业给用户提供两种上网收费方式：方式式：方式A以每分以每分0.1元价格按上网时间计元价格按上网时间计费；方式费；方式B除收月基费除收月基费20元外，再以每分元外，再以每分0.05元价格按照上网时间计费。怎样选择收元价格按照上网时间计费。怎样选择收费方式能使上网更合算？费方式能使上网更合算？通常做法：列出函数解析式，画出函数图通常做法：列出函数解析式，画出函数图像看出相交，再解二元一次方程组得交点像看出相交，再解二元一次方程组得交点坐标，结合图像，给出回答；或者引入坐标，结合图像，给出回答；或者引入“差额函数差额函数”，借助与，借助与x轴交点作答。轴交点作答。第29页充分挖掘本题教学价值充分挖掘本题教学价值问题问题1 1 1010分两种方式收费各多少？分两种方式收费各多少？2020分呢分呢？5050分呢？分呢？引导学生采取各种表征方引导学生采取各种表征方式，用表格法很方便。式，用表格法很方便。时间时间（分）（分）0 0101020203030404050506060方式方式A A0 01.01.02.02.03.03.04.04.05.05.06.06.0方式方式B B20.020.020.520.521.021.021.521.522.022.022.522.523.023.0第30页问题问题2 为何能够用射线表示收费情况？为何能够用射线表示收费情况？问题问题3 为何方式为何方式A图像经过原点，而方式图像经过原点，而方式B图像经过点（图像经过点（0，20）？）？问题问题4 怎样找到上网怎样找到上网a分时两种方式各收费分时两种方式各收费多少？多少？问题问题5 计费方式哪些方面在表格或图像中计费方式哪些方面在表格或图像中表现出来了？（两组数差是常数；每多上表现出来了？（两组数差是常数；每多上网网1分，就要再付分，就要再付0.1元或元或0.05元）。元）。第31页问题问题6 6 假如你不常上网，选哪种方式更合假如你不常上网，选哪种方式更合算？假如常上网呢？算？假如常上网呢？问题问题7 7 假如你想尽可能长时间上网，但又假如你想尽可能长时间上网，但又不想让费用超出不想让费用超出4040元，该选哪种方式？元，该选哪种方式？问题问题8 8 假如方式假如方式A A收取基费，或方式收取基费，或方式B B提升提升基费，对图像有什么影响？（截距问题）基费，对图像有什么影响？（截距问题）问题问题9 9 假如方式假如方式A A决定将每分决定将每分0.10.1元提升到元提升到每分每分0.150.15元，它图像有什么改变？（斜率元，它图像有什么改变？（斜率问题）问题）问题问题1010 假如方式假如方式A A改为不足改为不足1 1分按分按1 1分算，分算，请画出图像。（阶梯形）请画出图像。（阶梯形）第32页问题问题1111 哪种函数表示法更轻易得到收费哪种函数表示法更轻易得到收费相等时间点？相等时间点？问题问题1212 哪种函数表示法更轻易看出每分哪种函数表示法更轻易看出每分收费标准？收费标准？问题问题1313 怎样从表格中确定收费标准？怎样从表格中确定收费标准？问题问题1414 怎样从图像上确定收费增加紧慢怎样从图像上确定收费增加紧慢？问题问题1515 怎样从图像上看出用哪种方式更怎样从图像上看出用哪种方式更经济？经济？第33页例例4 4 平行四边形判定平行四边形判定关键：判定与性质逻辑关系，以此为载体，关键：判定与性质逻辑关系，以此为载体，培养合情推理、逻辑推理能力培养合情推理、逻辑推理能力教学过程设计关键点：教学过程设计关键点：复习复习怎样复习？不只是罗列知识点怎样复习？不只是罗列知识点提出判定定理学习任务，由定义能够判定提出判定定理学习任务，由定义能够判定（讲清条件：两组对边相互平行），但条（讲清条件：两组对边相互平行），但条件表现形式是多样化，依据不一样条件更件表现形式是多样化，依据不一样条件更灵活地判断灵活地判断学习判定定理理由学习判定定理理由第34页从操作开始，还是从逆命题开始？从操作开始，还是从逆命题开始？暂时认同先操作：操作暂时认同先操作：操作猜测猜测“两组对边两组对边相等四边形为平行四边形相等四边形为平行四边形”证实证实接接着干什么？（与性质定理比较）着干什么？（与性质定理比较）后续猜测，能够从性质出发。假如还不做，后续猜测，能够从性质出发。假如还不做，则在小结时不论怎样要说。则在小结时不论怎样要说。第35页当前存在问题当前存在问题没相关注思维自然，逻辑推理能力培养，没相关注思维自然，逻辑推理能力培养，停留在停留在“试验试验猜测猜测证实证实应用应用”模式上。模式上。过分依赖试验，降低了平面几何教育价值。过分依赖试验，降低了平面几何教育价值。该推理时不推理，该证实时不证实该推理时不推理，该证实时不证实从从普通到特殊、逆命题等，都普通到特殊、逆命题等，都“该证实该证实”。第36页例例5 用频率预计概率用频率预计概率怎样了解频率？怎样了解频率？随机变量，随试验结随机变量，随试验结果改变而改变。果改变而改变。概率，随机还是确定？概率，随机还是确定？事件事件A出现概率为出现概率为0，A是不可能事件吗？是不可能事件吗？事件事件A出现概率为出现概率为1，A是必定事件吗？是必定事件吗？第37页怎样了解用频率预计概率必要性？怎样了解用频率预计概率必要性？用抛掷硬币、掷骰子例子好不好？用抛掷硬币、掷骰子例子好不好？姚明投篮：在姚明罚球出手一刹那，画面姚明投篮：在姚明罚球出手一刹那，画面停顿，问停顿，问“姚明罚进概率有多大？姚明罚进概率有多大？”接着该干什么？接着该干什么？姚明罚球命中率客观姚明罚球命中率客观存在，假如知道该值大小存在，假如知道该值大小，对对方球队决，对对方球队决议有帮助。假如该值小，罚球得分可能性议有帮助。假如该值小，罚球得分可能性小，能够考虑犯规后小，能够考虑犯规后“随你投随你投”；不然考；不然考虑不犯规。虑不犯规。水到渠成地，提问：水到渠成地，提问：“怎样求命中率？怎样求命中率？”第38页现实中现实中，经过统计历史罚球统计来得到罚，经过统计历史罚球统计来得到罚球命中率，即用频率预计概率。球命中率，即用频率预计概率。假如知道一个随机事件发生可能性大小假如知道一个随机事件发生可能性大小概率，概率，有利于我们做决议，所以要想方有利于我们做决议，所以要想方法知道它。概率统计定义法知道它。概率统计定义用频率预计用频率预计概率概率一个得到概率方法。一个得到概率方法。第39页正确了解正确了解“用频率预计概率用频率预计概率”普通地，在大量重复试验中，假如事件普通地，在大量重复试验中，假如事件A发发生频率生频率m/n会稳定在某个常数会稳定在某个常数p附近，那么附近，那么事件事件A发生概率发生概率P(A)=p。只要试验次数。只要试验次数n足足够大，频率够大，频率m/n就能够作为概率就能够作为概率p预计值预计值。只有只有大量大量试验频率才能作为概率预计试验频率才能作为概率预计吗？吗？到底多少次是到底多少次是“足够大足够大”？频率总能够作为概率预计，试验次数影响频率总能够作为概率预计，试验次数影响是预计精度。次数由问题需要而定。是预计精度。次数由问题需要而定。第40页“用频率预计概率用频率预计概率”与与“用频率稳定值预用频率稳定值预计概率计概率”等价吗？等价吗？“频率稳定值是概率预计频率稳定值是概率预计”对吗？对吗？正确了解：频率稳定值就是概率。正确了解：频率稳定值就是概率。注意：仅从试验无法知道频率稳定值是多注意：仅从试验无法知道频率稳定值是多少。少。第41页下表是课堂实时搜集抛硬币试验数据，由下表是课堂实时搜集抛硬币试验数据，由此能说此能说“稳定值是稳定值是0.5而不是而不是0.52”吗？吗？次数次数n n5050100100150150200200250250300300350350频数频数m m242454548585109109125125157157182182频率频率0.4800.480 0.5400.540 0.5670.567 0.5450.545 0.5000.500 0.5230.523 0.5200.520第42页“频率不准确频率不准确”，“试验次数少，所以频试验次数少，所以频率不准确率不准确”，“伴随试验次数增加，频率伴随试验次数增加，频率会越来越靠近概率会越来越靠近概率”，这些说法对吗？，这些说法对吗？频率没有准确性标准，随试验结果而定；频率没有准确性标准，随试验结果而定；试验次数影响是概率预计精度；试验次数影响是概率预计精度；试验次数增加并不能绝对确保频率越来越试验次数增加并不能绝对确保频率越来越靠近概率靠近概率不然就不是随机变量了。不然就不是随机变量了。试验次数多少次比较适当？普通而言，次试验次数多少次比较适当？普通而言，次数越多越好，现实中要考虑成本、可能性数越多越好，现实中要考虑成本、可能性等原因。统计中能够依据精度要求计算。等原因。统计中能够依据精度要求计算。第43页用频率平均值预计概率一定更加好吗？用频率平均值预计概率一定更加好吗？事件A发生频数表统计是研究怎样合理收集、整理、分析数据学科，它可认为人们制订决策提供依据。概率是研究随机现象规律学科，它为人们认识客观世界提供了重要思维模式和解决问题方法，同时为统计学发展提供了理论基础。第44页统计基本思想是统计基本思想是“用样本预计总体用样本预计总体”，是，是归纳思想。归纳思想。让学生经历归纳过程让学生经历归纳过程确定总体、搜集确定总体、搜集样本数据开始样本数据开始是统计教学必由之路。是统计教学必由之路。第45页敬请批评指正敬请批评指正谢谢谢谢第46页