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五年级上册数学拓展

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数学之慧
（五年级上册）

第一单元小数乘法
知识精粹
在整数的四则运算中我们已经学习了许多速算与巧算的方法，整数计算中的运算定律同样适用于小数计算，比如：乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。而简便计算中最常用的就是“凑整法”。小数的简便计算并不一定要凑成整十、整百、整千的数，有时凑成整数即可。
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拆数凑整（熟记算式2×5 =10 25×4 =100 125 ×8 =1000）
例  计算：   0.125×0.25×0.5×64
         = 0.125×0.25×0.5×8×4×2
                     = （0.125×8）×（0.25×4）×（0.5×2）
                     = 1×1×1
                      = 1

一隅反三 
（1）1.25×32×0.25               （2）1.25×88          （3）1991+199.1+19.91+1.991

视野开拓 小数点的悲剧
  1967年8月23日，前苏联的联盟一号宇宙飞船在返回大气层时，突然发生了恶性事故--减速速降落伞无法打开。前苏联中央领导研究后决定:向全国实况转播这次事故。当电视台的播音员用沉重的语调宣布，宇宙飞船两个小时后将坠毁，观众将目睹宇航员弗拉迪米·科马洛夫殉难的消息后，举国上下顿时被震撼了，人们沉浸在巨大的悲痛之中。
在电视台上，观众看到了宇航员科马洛夫镇定自若的形象，他面带微笑地对母亲说:"妈妈，您的图像我在这里看得清清楚楚，包括您的头上的每根白发，您能看清我吗?""能，能看清楚。儿啊，妈妈一切都很好，你放心吧!"这时，科马洛夫的女儿也出现在电视屏幕上，她只有12岁。科马少夫说:"女儿，你不要哭。""我不哭……"女儿已泣不成声，但她强忍悲痛说:"爸爸，您是苏联英雄，我想告诉您，英雄的女儿会像英雄那样生活的!"科马洛夫叮嘱女儿说:"学习时，要认真对待每一个小数点。联盟一号今天发生的一切，就是因为地面检查时忽略了一个小数点……"
时间一分一秒地过去，距离宇宙飞船坠毁只有7分钟了，科马洛夫向全国的电视观众挥挥手说:"同胞们，请允许我在这茫茫的太空中与你们告别。"
这是一次惊心动魄的告别仪式。科马洛夫永远地走了，他留下了对亲人对祖国永恒的爱。但更震撼人心的是他对女儿说的那番话。它警示着人们:对待人生不能有丝毫的马虎，否则，即使是一个细枝末节，也会让你付出深重的甚至是永远无法弥补的代价.你想一想，忽略一个小数点，却造成“飞机两小时后坠毁”这惨痛的教训。可见，养成良好计算习惯有何等的重要。再也不能为计算错而不以为然了，再也不要说一句“马虎”而搪塞过去了。可是良好计算习惯的培养非一日之功，要从一点一滴做起。
  同学们做各类题时，都要研究怎样做对，怎样检查。比如，笔算加减乘除式题时，正确的做法是“一对抄题、二对竖式、三查计算、四对得数”。一对抄题：题要和原题对一下，看是否抄对；二对竖式：列好竖式后，先和题目对一下，看竖式的数和符号是否抄对；三查计算：计算后查一遍，看是否算对；四对得数：数抄到横式等号的后边，一定要和竖式的得数对一下，看横式上的得数是否抄对。

知识精粹
运用乘法分配律进行巧算，关键先找出相同的因，没有相同的因数时，我们可以根据“相似数”，实际上是有“倍数关系的数”，构造出相同的因数，再进行巧算。
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铺垫练习：已知：12×15=180  
填空：（1200）×0.15=180  1.2×（150）=180 （120）×（1.5）=180
运用“积不变的规律”构造出相同的因数
例 1.24×2300＋12.4×770 
=1.24×2300+1.24×7700
=1.24×（2300+7700）
=1.24×10000
=12400

一隅反三
（1）4.7×2.8+47×0.72       （2）6.3×79+0.63×2.1

（3）3.333×3.333+9.999×8.889

视野开拓  奇数和偶数
活动课上，黑熊老师笑着对大家说：“我们来做个游戏好不好？”
“好！”小动物们齐声回答。“请你们每位准备两张小纸条。”黑熊老师清了清嗓子说。小动物们不知道黑熊老师要他们做什么游戏，一个个兴奋的眼睛发亮，很快都把小纸条准备好了。
黑熊老师环视一下全班同学，说：“请你们在两张小纸条上分别写一个奇数和一个偶数，写好后，两手各握一张。不要给我也不要给你身边的同学看。”
小动物们不久前刚学过关于奇数和偶数的知识，不一会儿，大家都完成了黑熊老师提出的要求。“听着，”黑熊老师一字一句清晰地说道：“你们各位都请将右手中的数乘2，左手中的数乘3，再把乘积相加。不要算出声音来。”
等小动物们一个个都算好了，黑熊老师又叫算出得数是奇数的小动物们排成一队；得数是偶数的排成一队。小动物们都站好了，一个个感兴趣地看着黑熊老师，猜测着它下以步要它们做什么。
“好了！”黑熊老师指着得数是奇数的那排小动物说：“你们左手握的都是奇数。”
它又指着另一排小动物说：“你们左手握的都是偶数。”
两排小动物们摊开手掌一看，可不是，黑熊老师猜得完全正确。
小动物们惊奇极了，忍不住纷纷问道：“老师，您是怎么知道的？”
黑熊老师于是分析道：
奇数×2＝偶数
奇数×3＝奇数
偶数×2＝偶数
偶数×3＝偶数
偶数＋偶数＝偶数
偶数＋奇数＝奇数
左手是奇数时，奇数×3是奇数，奇数＋偶数（右手中的偶数×2），结果是奇数。而如右手是奇数时，奇数×2成偶数，偶数＋偶数（左手中的偶数×3），结果是偶数。
这就是最后结果与左手中数字奇偶相同的原因，也即我这个猜法的根据。”
小动物们恍然大悟……
狐狸的腿被小熊踢瘸了，再想逮兔子是困难了。为了生活，狐狸在森林的边上摆摊卖西瓜。
只见他拿着一把破芭蕉扇，一边赶着苍蝇，一边吆喝：“卖西瓜啦！又大又甜呀！”小鹿姑娘想买西瓜，她跑过来看了看西瓜，见西瓜有大有小。
小鹿问：“你的西瓜怎么卖法？”
狐狸一瘸一拐地向前走了两步，满脸堆笑地说：“嘿，鹿妹妹，我的西瓜便宜呀！大个的2元1个，小个的1元1个，你随便挑。”
小鹿拣了一个最大的西瓜，用手拍了拍说：“我就要这个了。”
狐狸一看，眉头一皱，心想：“坏了，她把我做广告的西瓜买走，我拿什么来招揽买主呀！”
“嘿……”狐狸干笑了几声说，“我说鹿妹妹，这个西瓜个头虽大，可是不熟呀！生瓜！酸的！”
“真的？”小鹿有点犹豫。
狐狸赶紧抱起两个小西瓜递了过去，说：“这两个瓜是熟瓜，甜极啦！2元钱买这两个吧！”
小鹿看了看两个小瓜，摇摇头说：“这两个小瓜合起来也没有那个大瓜大呀！”
“不对，不对。”狐狸掏出尺子把大西瓜和小西瓜都量了一下说，“你看，大瓜直径30厘米，两个小瓜直径都是15厘米，两个小瓜直径加在一起同样是30厘米，你一点也不吃亏呀！快拿走吧！”
小鹿把两个小西瓜抱回家。鹿妈妈接过其中的一个小西瓜，用刀一切，呀，白籽白瓤，一个地地道道的生瓜。
小鹿生气地说：“我原来挑了一个大西瓜，狐狸非叫我买这两个小的，真气人！”接着小鹿把事情的经过告诉了妈妈。
“你被瘸狐狸骗啦！”鹿妈妈说，“西瓜可以看成一个球，计算球体积。

知识精粹
分段计费问题基本公式：
总 价=（总路程－起步路程）×单价＋起 步 价
总路程=（总 价－起 步 价）÷单价＋起步路程
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先分段在计费。以起步价为界线分为两段。一般不足1千米按1千米算
例题：兴化城区出租车起步路程是3千米，起步价是6元。每超出1千米单价是1.6元。
（1）小李乘车到28千米的乡下，他应付多少元？
6+（28-3）×1.6
（2）小红有22元，最多可以乘车多少千米？
（ 22-6）÷1.6+3
（3）小李乘车到33.2千米的乡下，他应付多少元？
  6+（34-3）×1.6 
一隅反三
1．某种电话的计费标准是这样的：通话前3分钟共计费0.3元，以后每分钟计费0.15元（不足1分钟按一分钟收费）。妈妈打了4分钟18秒电话，妈妈应付电话费多少元

2按照有关规定，一家三口每月用水不超过6吨，每吨收费3.7元；如果超过规定的用水量，每吨按照7元收费。王宏一家三口8月水费39元，他们家超过规定用水多少吨？

3.某地居民用电采取分段计价的办法：每月每户用电量不超过80度，按每度0.48元收费；用电量在80至180度（含180度）之间，超过80度的部分按每度0.56元收费；用电量在180度以上，超过180度的部分按每度0.62元收费。如果小王家用电192度需交电费多少元？ 某月，小王家交纳电费106.8元，请求出小王家某月的用电量。

视野开拓 为了中华民族的富强-----苏步青的故事
苏步青1902年9月出生在浙江省平阳县的一个山村里。虽然家境清贫，可他父母省吃俭用，拼死拼活也要供他上学。他在读初中时，对数学并不感兴趣，觉得数学太简单，一学就懂。可后来的一堂数学课影响了他一生的道路。
那是苏步青上初三时，他就读浙江省六十中来了一位刚从东京留学归来的教数学课的杨老师。第一堂课杨老师没有讲数学，而是讲故事。他说：“当今世界，弱肉强食，世界列强依仗船坚炮利，都想蚕食瓜分中国。中华亡国灭种的危险迫在眉睫，振兴科学，发展实业，救亡图存，在此一举。‘天下兴亡，匹夫有责’，在座的每一位同学都有责任。”他旁征博引，讲述了数学在现代科学技术发展中的巨大作用。这堂课的最后一句话是：“为了救亡图存，必须振兴科学。数学是科学的开路先锋，为了发展科学，必须学好数学。”苏步青一生不知听过多少堂课，但这一堂课使他终身难忘。
杨老师的课深深地打动了他，给他的思想注入了新的兴奋剂。读书，不仅为了摆脱个人困境，而是要拯救中国广大的苦难民众；读书，不仅是为了个人找出路，而是为中华民族求新生。当天晚上，苏步青辗转反侧，彻夜难眠。在杨老师的影响下，苏步青的兴趣从文学转向了数学，并从此立下了“读书不忘救国，救国不忘读书”的座右铭。一迷上数学，不管是酷暑隆冬，霜晨雪夜，苏步青只知道读书、思考、解题、演算，4年中演算了上万道数学习题。现在温州一中（即当时省立十中）还珍藏着苏步青一本几何练习薄，用毛笔书写，工工整整。中学毕业时，苏步青门门功课都在90分以上。
17岁时，苏步青赴日留学，并以第一名的成绩考取东京高等工业学校，在那里他如饥似渴地学习着。为国争光的信念驱使苏步青较早地进入了数学的研究领域，在完成学业的同时，写了30多篇论文，在微分几何方面取得令人瞩目的成果，并于1931年获得理学博士学位。获得博士之前，苏步青已在日本帝国大学数学系当讲师，正当日本一个大学准备聘他去任待遇优厚的副教授时，苏步青却决定回国，回到抚育他成长的祖任教。回到浙大任教授的苏步青，生活十分艰苦。面对困境，苏步青的回答是“吃苦算得了什么，我甘心情愿，因为我选择了一条正确的道路，这是一条爱国的光明之路啊！”
这就是老一辈数学家那颗爱国的赤子之心。

第三单元小数除法

知识精粹
在解决实际问题时，有时不适宜用“四舍五入法”求商的近似值，像“分油到瓶子里”这种情况，出现了不满5也要向前一位进1的情况。进一法：不管小数点后的尾数是多少，都是将小数点后的尾数舍去，向个位进一。

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生活中遇到租船、租车、用容器装东西、超市计价的时候就能等用“进一法”取商的近似值。
例 小强的妈妈要将2.5千克香油分装在一些玻璃瓶里，需要准备几个瓶子？
2.5÷0.4=6.25≈7（个）
一隅反三

1.某粮店用容量为2.8升的油桶装豆油，要把57升豆油全部装进油桶。至少需要这样的油桶多少个？

2.一堆煤有27.4吨，用载重5吨的卡车运输，至少要运多少次才能全部运完？

3．校办工厂把1010个乒乓球装箱，每20个装一纸箱，需要多少个纸箱？

视野开拓 陈景润与哥德巴赫猜想
    陈景润在福州英华中学读书时，有幸聆听了清华大学调来一名很有学问的数学教师讲课。他给同学们讲了世界上一道数学难题：“大约在200年前，一位名叫哥德巴赫的德国数学家提出了‘任何一个偶数均可表示两个素数之和’，简称1＋l。他一生没有证明出来，便给俄国圣彼得堡的数学家欧拉写信，请他帮助证明这道难题。欧拉接到信后，就着手计算。他费尽了脑筋，直到离开人世，也没有证明出来。之后，哥德巴赫带着一生的遗憾也离开了人世，却留下了这道数学难题。200多年来，这个哥德巴赫猜想之谜吸引了众多的数学家，但始终没有结果，成为世界数学界一大悬案”。老师讲到这里还打个形象的比喻，自然科学皇后是数学，“哥德巴赫猜想”则是皇后王冠上的明珠！这引人入胜的故事给陈景润留下了深刻的印象，“哥德巴赫猜想”像磁石一般吸引着陈景润。从此，陈景润开始了摘取皇冠上宝石的艰辛历程......
  1953年，陈景润毕业于厦门大学数学系，曾被留校，当了一名图书馆的资料员，除整理图书资料外，还担负着为数学系学生批改作业的工作，尽管时间紧张、工作繁忙，他仍然坚持不懈地钻研数学科学。陈景润对数学论有浓厚的兴趣，利用一切可以利用的时间系统地阅读了我国著名数学家华罗庚有关数学的专著。陈景润为了能直接阅读外国资料，掌握最新信息，在继续学习英语的同时，又攻读了俄语、德语、法语、日语、意大利语和西班牙语。学习这些个国家语言对一个数学家来说已是一个惊人突破了，但对陈景润来说只是万里长征迈出的第一步。
  为了使自己梦想成真，陈景润不管是酷暑还是严冬，在那不足6平米的斗室里，食不知味，夜不能眠，潜心钻研，光是计算的草纸就足足装了几麻袋。1957年，陈景润被调到中国科学院研究所工作，做为新的起点，他更加刻苦钻研。经过10多年的推算，在1965年5月，发表了他的论文《大偶数表示一个素数及一个不超过2个素数的乘积之和》。论文的发表，受到世界数学界和著名数学家的高度重视和称赞。英国数学家哈伯斯坦和德国数学家黎希特把陈景润的论文写进数学书中，称为“陈氏定理”，可是这个世界数学领域的精英，在日常生活中却不知商品分类，有的商品名字都叫不出来，被称为“痴人”和“怪人”。
    作家徐迟在《哥德巴赫猜想》中这样描绘陈景润的内心世界：“我知道我的病早已严重起来。我是病入膏肓了。细菌在吞噬我的肺腑内脏。我的心力已到了衰竭的地步。我的身体确实是支持不了啦！唯独我的脑细胞是异常的活跃，所以我的工作停不下来。我不能停止。……”对于陈景润的贡献，中国的数学家们有过这样一句表述：陈景润是在挑战解析数论领域250年来全世界智力极限的总和。中国改革开放总设计师邓小平曾经这样意味深长地告诉人们：像陈景润这样的科学家，“中国有一千个就了不得”。

知识精粹
用去尾法解决问题，像这样，出现了满5也要把尾数舍去的情况，我们把这种取近似值的方法叫做，“去尾法”。
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生活中遇到用布做衣服，用铁皮做水桶，做蛋糕、分东西、包装礼盒等就会用到用“去尾法”取商的近似值。
例 王阿姨用一根25米长的红丝带包装礼盒。每个礼盒要用1.5米长的丝带，这些红丝带可以包装几个礼盒？
25÷1.5=16.666……（个）≈16（个）
一隅反三
1. 夏铭用彩纸折叠纸飞机，每5张纸折一架，34张纸可以折几架？
2．小明带了40元钱去文具店买学习用品。他先花29.8元买了6个笔记本，然后准备用剩下的钱买一些作业本，每本作业本0.7元，小明还可以买 几本作业本？
3. 一根木料长10.5米,先截取相等长度的5小段,共8.5米.剩下的要截成0.8米长的小段,最多还能截出几段这样长的木料?
视野开拓 华罗庚的故事
温室里难开出鲜艳芬芳耐寒傲雪的花儿。人只有经过苦难磨练才有望获得成功！我国著名的数学家华罗庚爷爷的成功就得益于他的坎坷经历。少年时代的华罗庚家境贫寒，疾病缠身。18岁那年，华罗庚初中时代的王老师从外国学成归来，出任金坛中学校长。华罗庚是他得意的门生。他一心要接济华罗庚。不久，经王校长介绍，华罗庚到金坛中学做了个勤杂工，负责收发信件、报纸做杂务。华罗庚做勤杂工时，手脚勤快，每天忙忙碌碌地干完事就捧起数学课本学习。王校长看在眼里，喜在心里。他为这位勤奋肯学的年轻人而感到骄傲。
　　真是天有不测风雨。华罗庚被一场伤寒病拖垮，医生作出“无法医救”的诊断。全家人悲痛万分，王校长更是觉得十分惋惜。但是死神终究没有把他拽走，他又奇迹般地活了过来，只是左腿僵硬，落下了终身残疾。
　　华罗庚一瘸一跛地又去上工了，做的还是老本勤杂工。一天的劳累，双腿已疼痛难忍，但是他咬咬牙，仍然沉浸在数学王国的遨游中，把疼痛抛到九霄云外去了。对华罗庚来说，枯燥无味的阿拉伯数字就象一组奇妙无比的音符，草稿纸的运算符号好比音乐演奏一样，给他带来了无穷的乐趣。他坚信，只要顽强地坚持下去，自学也能摘取数学王冠。由于他信心百倍地不懈努力，终于有一天，他的一篇数学论文发表了。机遇垂青这位下苦工夫的热心人。清华大学的数学教授熊庆来得知华罗庚的研究成果和不幸遭遇后，邀请华罗庚到清华大学工作，这就是为他成为数学家提供了广阔舞台。这就是至今成为人们美谈的熊庆来睿智识英才的故事。
　　1985年，75岁的华罗庚爷爷带着一丝微笑和欣慰离开了他追求了一生的数学事业。他曾叮嘱人们不要忘记他曾是一位勤杂工。

知识精粹
归一问题在解答某些应用题时，常常需要先找出“单一量”，然后以这个“单一量”为标准，根据其它条件求出结果。用这种解题思路解答的应用题，称为归一问题。所谓“单一量”是指单位时间的工作量、物品的单价、单位面积的产量、单位时间所走的路程等。

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例三台同样的磨面机2.5时可以磨面粉2400千克，8台这样的磨面机磨25600千克面粉需要多少时间？
分析与解：以1台磨面机1时磨的面粉为单一量。
　　（1）1台磨面机1时磨面粉多少千克？
　 　2400÷3÷2.5=320（千克）。
　　（2）8台磨面机磨25600千克面粉需要多少小时？
　　 25600÷320÷8=10（时）。
　　综合列式为
25600÷（2400÷3÷2.5）÷8=10（时）。
一隅反三
1.一种钢轨，4根共重1900千克，现在有95000千克钢，可以制造这种钢轨多少根？（损耗忽略不计）
2.10千克油菜籽可以榨油3.3千克油，3600油菜籽可以榨多少千克菜籽油？要榨1650千克的菜籽油，需要多少千克油菜籽？
3.4台磨粉机6小时加工面粉1872千克，现在增加同样的磨粉机6台，时间缩短到原来的一半，能加工多少千克面粉？

视野开拓 华罗庚故事2
　 华罗庚从小便贪玩，也喜欢凑热闹，只是功课平平，有时还不及格。勉强上完小学，进了家乡的金坛中学，但仍贪玩，字又写得歪歪扭扭，做数学作业时倒时满认真地画来画去，但像涂鸦一般，所以上初中时的华罗庚仍不被老师喜欢的学生而且还常常挨戒尺。
　　金坛中学的一位名叫王维克的教员却独有慧眼，他研究了华罗庚涂鸦的本子才发现这许多涂改的地方正反映他解题时探索的多种路子。一次王维克老师给学生讲[孙子算经]出了这样一道题：”今有物不知其数，三三数之剩其二，五五数剩其三，七七数剩其二，问物几何？“正在大家沉默之际，有个学生站起来，大家一看，原来是向来为人瞧不起的华罗庚，当时他才十四岁，你猜一猜华罗庚他说出是多少？23.他的回答使老师惊喜不已，并得到老师的表扬。从此，他喜欢上了数学。
　　华罗庚上完初中一年级后，因家境贫困而失学了，只好替父母站柜台，但他仍然坚持自学数学。经过自己不懈的努力，他的《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立的理由》论文，被清华大学数学系主任熊庆来教授发现，邀请他来清华大学；华罗庚被聘为大学教师，这在清华大学的历史上是破天荒的事情。
　　1936年夏，已经是杰出数学家的华罗庚，作为访问学者在英国剑桥大学工作两年。而此时抗日的消息传遍英国，他怀着强烈的爱国热忱，风尘仆仆地回到祖国，为西南联合大学讲课。华罗庚还是一位数学教育家，他培养了像王元、陈景润、陆启铿、杨乐、张广厚等一大批卓越数学家。为了培养青年一代，他为中学生编写了一些课外读物。
　　华罗庚十分注意数学方法在工农业生产中的直接应用。他经常深入工厂进行指导，进行数学应用普及工作，并编写了科普读物。
小学时成绩平平的华罗庚，进入中学时，成绩还是起色不大，但惟独对数学情有独钟，与众不同的是，他的作业不是按部就班的模仿老师的做法，而是喜欢在练习本上＂涂鸦＂，就是我们主张的让孩子自己自主探索做法的过程．可见让现如今的主张让孩子自主探索对孩子思维的发展的好处．在独具慧眼的王维克老师的鼓励下，在熊庆来教授的帮助下，经过自己的刻苦学习和研究，成了一位自学成才、没有大学毕业文凭的数学家。华罗庚也为青年树立了自学成才的光辉榜样．文凭在一定的范围内和能力是成正比的，可是，有些时候，我们错过了一个代表自己能力的机会时，是可以通过后天的刻苦来弥补的，虽然，这样的刻苦需要付出的太多，让我们记住他激励后人的话吧：＂不怕困难，刻苦学习，是我学好数学最主要的经验”，“所谓天才就是，坚持不断的努力。”

知识精粹
与归一问题类似的是归总问题，归一问题是找出“单一量”，而归总问题是找出“总量”，再根据其它条件求出结果。所谓“总量”是指总路程、总产量、工作总量、物品的总价等。
思路导航
例 一项工程，8个人工作15时可以完成，如果12个人工作，那么多少小时可以完成？
分析：（1）工程总量相当于1个人工作多少小时？
15×8＝120（时）。
　　 （2）12个人完成这项工程需要多少小时？
　　 120÷12＝10（时）。

一隅反三
1.一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米，5时到达。若要4时到达，则每小时需要多行多少千米？

2. 修一条公路，原计划60人工作，80天完成。现在工作20天后，又增加了30人，还需几天修完?

3.一堆煤，计划每天烧0.6吨，30天烧完，实际多烧了6天，实际每天烧多少吨？

视野开拓 华罗庚3
华罗庚，在童年时代，他最想骑马。他将一个小木凳拴上绳子，牵着当马骑，边骑边喊“马嘟嘟，马嘟嘟。”现在这个小凳子还陈列在金坛的“华罗庚纪念馆”里呢。稍大以后，他就把家中小杂货店的柜台当马骑，跳上跳下，并且还不时学着大人骑马的样子，感觉十分得意。 
　　华罗庚特别爱动脑，对于一些别人看来司空见惯的事，往往也表现出浓厚的兴趣，提出一些似乎希奇的问题。有一次，他同别人一块去城郊玩耍，见一座荒坟旁有石人石马，就问比他大的同伴：“这些石人石马有多重？”同伴回答说：“这怎么能知道呢。”华罗庚却不甘心，沉思片刻，说：“以后总会有方法知道的。” 
　　在当年的金坛，华罗庚最喜欢去的地方，还是灯节、船会、庙会等场所，凡是这些热闹的地方都少不了他的身影。城东有座青龙山，山上有个庙。每逢庙会，庙中的“菩萨：”便头插羽毛，打扮得花花绿绿，骑着高头大马进城来。一路上，人们见到“菩萨”就磕头行礼，祈求幸福。华罗庚伸直脖子，望着双手合十的“菩萨”，心里暗自琢磨：“‘菩萨’果真万能吗？”当庙会散了，人们也陆续回家，华罗庚却跟着“菩萨”去了青龙山，想探个究竟，看一看“菩萨”的真面目。 
　　来到庙里，“菩萨”卸了装，华罗庚一看“菩萨”是人扮的，就立刻往家跑。回到家，他便兴高采烈地对妈妈说：“妈，你往后不要给‘菩萨’磕头了，‘菩萨’是骗人的1父亲马上训斥道：“唉呀，罪过，小孩子懂什么？”他却认真反驳道：“我到青龙山的庙里去了，‘菩萨’原来是假的，是人装扮的1 
　　华罗庚的数学作业，经常有涂改的痕迹，很不整洁，老师开始时非常不满意。后来经过仔细辨别，老师发现华罗庚是在不断改进和简化自己的解题方法。 
　　华罗庚在中学读书时，曾对传统的珠算方法进行了认真思考。他经过分析认为：珠算的加减法难以再简化，但乘法还可以简化。乘法传统打法是“留头法”或“留尾法”，即先将乘法打上算盘，再用被乘数去乘；每用乘数的一位数乘被乘数，则在乘数中将该位数去掉；将乘数用完了，即得最后答案。华罗庚觉得：何不干脆将每次乘出的答数逐次加到算盘上去呢？这样就省掉了乘数打上算盘的时间例如：28×6，先在算盘上打上2×6=12，再退一位，加上8×6=48，立即得168，只用两步就能得出结果。对于除法，也可以同样化为逐步相减来做节省的时间就更多的。 
　　凭着这一点改进，再加上他擅长心算，华罗庚在当时上海的珠算比赛中获得了冠军。 
　　华罗庚不仅对数学肯动脑筋，对语文也很用心。有一次，老师把自己收藏的文学大师胡适的书分给学生，让每人看完后写一篇读后感。华罗庚分得的是《尝试集》，书中流露出作者提倡白话文的得意，认为自己是一次成功的尝试，于是在扉页上写了一首《序诗》：“尝试成功自古无，放翁这话未必是。我今为下一转语，自古成功在尝试。” 
　　华罗庚在读后感中，并未表达出老师所期望的对胡适的赞美之词，而是尖锐地指出：胡适的这首诗概念混乱，第一句中的“尝试”与第四句中的“尝试”是两个完全不同的概念。第一句中的“尝试”是指初次尝试，当然一试就成功是比较罕见的；第四句中的“尝试”则是指经过多次尝试或失败之后的一次成功尝试，所以它们具有不同的含意。单独来看两个“尝试”都是有道理的，但胡适将二者放在一起，则是拿自己的概念随意否定别人（陆放翁）的概念，真是岂有此理！他说：“胡适序诗逻辑混乱，不堪卒读。” 
　　虽然语文老师当时十分不悦，但20年后还是对已成名的华罗庚说：“我早就看了你的文章不落窠臼。” 
　　华罗庚正是由于勤思考，爱创新，不迷信权威，才最终靠刻苦自学成为一名大数学家的。

知识精粹
相遇问题一般是指两个物体从两地出发，相向而行，共同行一段路程，直至相遇，这类应用题的基本数量关系是：
总路程=速度和×相遇时间
这里的“速度和”是指两个物体在单位时间内共同行的路程
思路导航
例 一支1800米长的队伍以每分90米的速度行进，队伍前端的联系员用9分的时间跑到队伍末尾传达命令。联络员每分跑多少米？
分析 总路程÷时间=速度和 1800÷9=200（米）
速度和-队伍的速度=联系员的速度 200-90=110（米）
综合算式 1800÷9-90=110（米）

一隅反三
1. 甲、乙两车相距516千米，两车同时从两地出发相向而行，乙车行驶6小时后停下修理车子，这时两车相距72千米。甲车保持原速继续前进，经过2小时与乙车相遇。求乙车的速度。

2.．甲、乙两人分别从东、西两地同时相向而行。2小时后两人相距96千米，5小时后两人相距36千米。东、西两地相距多少千米？

3.．甲、乙两车分别从A、B两地同时相向而行。甲车每小时行82千米，乙车每小时行72千米，两车在离中点30千米处相遇。AB两地相距多少千米？

视野开拓 小欧拉智改羊圈
　　欧拉是数学史上著名的数学家,他在数论、几何学、天文数学、微积分等好几个数学的分支领域中都取得了出色的成就.不过,这个大数学家在孩提时代却一点也不讨老师的喜欢,他是一个被学校除了名的小学生.
　　事情是因为星星而引起的. 当时,小欧拉在一个教会学校里读书.有一次,他向老师提问,天上有多少颗星星.老师是个神学的信徒,他不知道天上究竟有多少颗星,圣经上也没有回答过.其实,天上的星星数不清,是无限的.我们的肉眼可见的星星也有几千颗.这个老师不懂装懂,回答欧拉说："天有有多少颗星星,这无关紧要,只要知道天上的星星是上帝镶嵌上去的就够了."
　　欧拉感到很奇怪："天那么大,那么高,地上没有扶梯,上帝是怎么把星星一颗一颗镶嵌到一在幕上的呢?上帝亲自把它们一颗一颗地放在天幕,他为什么忘记了星星的数目呢?上帝会不会太粗心了呢?
　　他向老师提出了心中的疑问,老师又一次被问住了,涨红了脸,不知如何回答才好.老师的心中顿时升起一股怒气,这不仅是因为一个才上学的孩子向老师问出了这样的问题,使老师下不了台,更主要的是,老师把上帝看得高于一切.小欧拉居然责怪上帝为什么没有记住星星的数目,言外之意是对万能的上帝提出了怀疑.在老师的心目中,这可是个严重的问题.
　　在欧拉的年代,对上帝是绝对不能怀疑的,人们只能做思想的奴隶,绝对不允许自由思考.小欧拉没有与教会、与上帝"保持一致",老师就让他离开学校回家.但是,在小欧拉心中,上帝神圣的光环消失了.他想,上帝是个窝囊废,他怎么连天上的星星也记不住?他又想,上帝是个独裁者,连提出问题都成了罪.他又想,上帝也许是个别人编造出来的家伙,根本就不存在.
　　回家后无事,他就帮助爸爸放羊,成了一个牧童.他一面放羊,一面读书.他读的书中,有不少数学书.
　　爸爸的羊群渐渐增多了,达到了100只.原来的羊圈有点小了,爸爸决定建造一个新的羊圈.他用尺量出了一块长方形的土地,长40米,宽15米,他一算,面积正好是600平方米,平均每一头羊占地6平方米.正打算动工的时候,他发现他的材料只够围100米的篱笆,不够用.若要围成长40米,宽15米的羊圈,其周长将是110米（15+15+40+40=110）父亲感到很为难,若要按原计划建造,就要再添10米长的材料；要是缩小面积,每头羊的面积就会小于6平方米.
　　小欧拉却向父亲说,不用缩小羊圈,也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划.他有办法.父亲不相信小欧拉会有办法,听了没有理他.小欧拉急了,大声说,只有稍稍移动一下羊圈的桩子就行了.
　　父亲听了直摇头,心想："世界上哪有这样便宜的事情?"但是,小欧拉却坚持说,他一定能两全齐美.父亲终于同意让儿子试试看.
　　小欧拉见父亲同意了,站起身来,跑到准备动工的羊圈旁.他以一个木桩为中心,将原来的40米边长截短,缩短到25米.父亲着急了,说："那怎么成呢?那怎么成呢?这个羊圈太小了,太小了."小欧拉也不回答,跑到另一条边上,将原来15米的边长延长,又增加了10米,变成了25米.经这样一改,原来计划中的羊圈变成了一个25米边长的正方形.然后,小欧拉很自信地对爸爸说："现在,篱笆也够了,面积也够了."
　　父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆,100米长的篱笆真的够了,不多不少,全部用光.面积也足够了,而且还稍稍大了一些.父亲心里感到非常高兴.孩子比自己聪明,真会动脑筋,将来一定大有出息.
　　父亲感到,让这么聪明的孩子放羊实在是及可惜了.后来,他想办法让小欧拉认识了一个大数学家伯努利.通过这位数学家的推荐,1720年,小欧拉成了巴塞尔大学的大学生.这一年,小欧拉13岁,是这所大学最年轻的大学生.

第五单元 简易方程
知识精粹
1.含有未知数的等式叫做方程。
2.左右两边都相等的式子叫做等式。 
3.等式的两边同时加（或减）相同的数，等式不变。
4.等式的两边同时乘（或除以）相同的数（0除外），等式不变。 
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解稍复杂的方程，需要先变形，变成简单一些的方程。 然后根据的性质或四则运算各部分的关系，求出方程的解。解方程步骤要规范，求出得数后要加以检验，看得数是否正确，是否合理。
例： 解方程： 
7X-3=4X+6
解：7X-3+4X=4X+6-4X
3X-3=6
3X=9
X=3
一隅反三
（1） 3.4X-9.8=1.4X+9 （2）2X+5=25-8X

（3）5.9X-9=4.2X+2.9

视野开拓
“方程”史话
我们研究许多数学问题时，可以发现其中的未知数不是孤立的它们与一些已知数之间有确定的联系，这种联系常常表现为等量关系，把这种关系用数学形式写出来就是含有未知数的等式，这种等式的数学专有名称是方程。

人们对方程的研究可以上溯到远古时期。大约3600年前，古代埃及人写在纸草书上的数学问题中九涉及了含有未知数的等式。公元825年左右，中亚细亚的数学家阿尔—花拉子米曾写过一本名叫《对消与还原》的书，重点讨论方程的解法，这本书对后来数学的发展产生了很大的影响。
在很长时期内，方程没有专门的表达形式，而是使用一般的语言文字来叙述它们。17世纪时，法国数学家笛卡尔最早提出用x，y，z这样的字母来表示未知数，把这些字母与普通数字同样看待，用运算符号和等号将字母与数字连接起来，就形成含有未知数的等式。后来经过不断的简化改进，方程逐渐演变成现在的表达形式，例如5x+7=16,3x+4y=0等。 

笛卡尔（1596-1650）
  中国人对方程的研究有悠久的历史。著名中国古代数学著作《九章算术》大约成书于公元前200~50年，其中有专门以“方程”命名的一章。这一章中所说的“方程”实际上是现在人们所说的一次方程组，方程组由几个方程共同组合而成，它的解是这几个方程的公共解。“方程”一章中以一些实际应用问题为例，给出了列方程组的解题方法。中国古代数学家表示方程时只用算筹表示各未知数的系数，而没有使用专门的记法来表示未知数。按照这样的表示法，方程组被排列成长方形的数字阵，这与现在的代数学中的矩阵非常接近。我国古代数学家刘微注释“方程”的含义时，曾解释“方”字与上述数字方阵有密切关系，而“程”字则 指列出含有未知数的等式。所以说汉语中“方程”一词最早来源于列一组含有未知数的等式解决实际问题的方法。宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用天元表示未知数进而建立方程，这种方法的代表作是数学家李治写的《测圆海镜》（1248）书中所说的“立天元一”相当于现在的“设未知数x”。1859年，中国清代数学家李善兰翻译外国数学著作时，开始将equation（指含有未知数的等式）一词翻译为“方程”，即将含有未知数的一个等式称为方程，而将含有未知数的多个等式的组合称为方程组，至今一直这样沿用。

李善兰（1811-1882）
随着数学的研究范围不断扩充，方程被普遍使用，它的作用越来越重要。从初等数学中的简单代数方程，到高等数学中的微分方程、积分方程，方程的类型由简单到复杂不断地发展。但是，无论类型如何变化形形色色的方程都是含有未知数的等式，都表达设及未知数的等量关系；解方程的基本思想都是依据等量关系使未知数逐步化归为用已知数表达的形式，这正是方程的本质所在。

知识精粹
本讲我们要解决稍复杂的方程是两边都含有未知数，并且含有小括号的方程。
思路导航
此类方程常用的方法是：
1.运用乘法分配律，去掉括号； 
2.方程的两边都加上或减去相等的数或相等的式子，等式仍然成立，这是等式的性质，利用这个性质可以化简方程；
3.方程的两边都乘以或除以相等的数或相等的式子（这些数与式子不能为0），这也是等式的性质。利用这个性质也可以化简方程； 
4.根据四则运算中的六个关系式，求出方程的解。 
例： 解方程：
5（X+2）=2（2X+7）
 解：5X+10=4X+14
5X+10-4X=4X+14-4X
X+10=14
X=4
一隅反三
（1） 6（2X-7）=5（X+7） （2）5（3X-1.4）=2（6X-0.5）

（3）0.6（X-0.4）+3.8=1.2X+0.56

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数学家高斯小时候的故事
1785年，8岁的小高斯在德国农村的一所小学里念一年级。学校的老师是城里来的。他有个偏见，总觉得农村的孩子不如城里的孩子聪明伶俐。不过，他对孩子们的学习，要求还是严格的。有一