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高中数学选修知识点总结

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数学选修2－1
第一章：命题与逻辑结构
知识点：
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.
真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.
2、“若，则”形式的命题中的称为命题的条件，称为命题的结论.
3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。若原命题为“若，则”，它的逆命题为“若，则”.
4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若，则”，则它的否命题为“若，则”.
5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。若原命题为“若，则”，则它的否命题为“若，则”。

6、四种命题的真假性：
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
四种命题的真假性之间的关系：
两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
7、若，则是的充分条件，是的必要条件．
若，则是的充要条件（充分必要条件）．
8、用联结词“且”把命题和命题联结起来，得到一个新命题，记作．
当、都是真命题时，是真命题；当、两个命题中有一个命题是假命题时，是假命题．
用联结词“或”把命题和命题联结起来，得到一个新命题，记作．
当、两个命题中有一个命题是真命题时，是真命题；当、两个命题都是假命题时，是假命题．
对一个命题全盘否定，得到一个新命题，记作．若是真命题，则必是假命题；若是假命题，则必是真命题．
9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示．
含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对中任意一个，有成立”，记作“，”．
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题“存在中的一个，使成立”，记作“，”．
10、全称命题：，，它的否定：，。全称命题的否定是特称命题。
特称命题：，，它的否定：，。特称命题的否定是全称命题。

第二章：圆锥曲线
知识点：
1、求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化
①建立适当的直角坐标系；
②设动点及其他的点；
③找出满足限制条件的等式；
④将点的坐标代入等式；
⑤化简方程，并验证（查漏除杂）。
2、平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆。这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。
3、椭圆的几何性质：
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形

标准方程

范围
且
且
顶点
、、、
、、、
轴长
短轴的长 长轴的长
焦点
、
、
焦距
，a最大
对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
离心率

准线方程

4、设是椭圆上任一点，点到对应准线的距离为，点到对应准线的距离为，则。
5、平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线。这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距。
6、双曲线的几何性质：
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形

标准方程

范围
或，
或，
顶点
、
、
轴长
虚轴的长 实轴的长
焦点
、
、
焦距
，c最大
对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
离心率

准线方程

渐近线方程

7、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。
8、设是双曲线上任一点，点到对应准线的距离为，点到对应准线的距离为，则。
9、平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线．
10、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即．
11、焦半径公式：
若点在抛物线上，焦点为，则；、
若点在抛物线上，焦点为，则；
若点在抛物线上，焦点为，则；
若点在抛物线上，焦点为，则．
12、抛物线的几何性质：
标准方程

图形

顶点

对称轴
轴
轴
焦点

准线方程

离心率

范围

第三章：
空间向量知识点：
1、空间向量的概念：
（1）在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．
（2）向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．
（3）向量的大小称为向量的模（或长度），记作．
（4）模（或长度）为的向量称为零向量；模为的向量称为单位向量．
（5）与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作．
（6）方向相同且模相等的向量称为相等向量．
2、空间向量的加法和减法：
（1）求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形，则以起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．
（2）求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点，作，，则．
3、实数与空间向量的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算．当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，为零向量，记为．的长度是的长度的倍．
4、设，为实数，，是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．
分配律：；结合律：．
5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．
6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使．
7、平行于同一个平面的向量称为共面向量．
8、向量共面定理：空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，，使；或对空间任一定点，有；或若四点，，，共面，则．
9、已知两个非零向量和，在空间任取一点，作，，则称为向量，的夹角，记作．两个向量夹角的取值范围是：．
10、对于两个非零向量和，若，则向量，互相垂直，记作．
11、已知两个非零向量和，则称为，的数量积，记作．即．零向量与任何向量的数量积为．
12、等于的长度与在的方向上的投影的乘积．
13若，为非零向量，为单位向量，则有
；；
，，；；．
14量数乘积的运算律：
； ； ．
15、空间向量基本定理：若三个向量，，不共面，则对空间任一向量，存在实数组，使得．
16、三个向量，，不共面，则所有空间向量组成的集合是．这个集合可看作是由向量，，生成的，称为空间的一个基底，，，称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
17、设，，为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以，，的公共起点为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．则对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量．存在有序实数组，使得．把，，称作向量在单位正交基底，，下的坐标，记作．此时，向量的坐标是点在空间直角坐标系中的坐标．
18、设，，则
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
（5）若、为非零向量，则．
（6）若，则．
（7）．
（8）．
（9），，则．
19、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量来表示．向量称为点的位置向量．
20、空间中任意一条直线的位置可以由上一个定点以及一个定方向确定．点是直线上一点，向量表示直线的方向向量，则对于直线上的任意一点，有，这样点和向量不仅可以确定直线的位置，还可以具体表示出直线上的任意一点．
21、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为，．为平面上任意一点，存在有序实数对，使得，这样点与向量，就确定了平面的位置．
22、直线垂直，取直线的方向向量，则向量称为平面的法向量．
23、若空间不重合两条直线，的方向向量分别为，，
则，．
24、若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，
则，．
25、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为，，则，．
26、设异面直线，的夹角为，方向向量为，，其夹角为，则有．
27、设直线的方向向量为，平面的法向量为，与所成的角为，与的夹角为，则有．
28、设，是二面角的两个面，的法向量，则向量，的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角的平面角为，则．
29、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算．
30、在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点到直线的距离为．
31、点是平面外一点，是平面内的一定点，为平面的一个法向量，则点到平面的距离为．
数学选修2-2
导数及其应用
一.导数概念的引入
1. 导数的物理意义：
瞬时速率。一般的，函数在处的瞬时变化率是，
我们称它为函数在处的导数，记作或，即=
2. 导数的几何意义：
曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点趋近于时，直线与曲线相切。容易知道，割线的斜率是，当点趋近于时，函数在处的导数就是切线PT的斜率k，即
3. 导函数：当x变化时，便是x的一个函数，我们称它为的导函数. 的导函数有时也记作,即

二.导数的计算
基本初等函数的导数公式:
1若(c为常数)，则； 2 若,则;
3 若,则 4 若,则;
5 若,则 6 若,则
7 若,则 8 若,则
导数的运算法则
1. 2.
3.
复合函数求导 和,称则可以表示成为的函数,即为一个复合函数
三.导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内
(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减.
2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
求函数的极值的方法是: （1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值;
（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值;
4.函数的最大(小)值与导数
求函数在上的最大值与最小值的步骤： （1）求函数在内的极值；
（2） 将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.
推理与证明
考点一 合情推理与类比推理
根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理
根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.
类比推理的一般步骤:
(1) 找出两类事物的相似性或一致性;
(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);
(3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.
(4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.
考点二 演绎推理(俗称三段论)
由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.
考点三 数学归纳法
1. 它是一个递推的数学论证方法.
2. 步骤:A.命题在n=1（或）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k时命题成立； C.证明n=k+1时命题也成立,
完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=,且)结论都成立。
考点三 证明
1. 反证法: 2、分析法: 3、综合法:
2.
数系的扩充和复数的概念
复数的概念
(1) 复数:形如的数叫做复数，和分别叫它的实部和虚部.
(2) 分类:复数中,当,就是实数; ,叫做虚数;当时,叫做纯虚数.
(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.
(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴。
(6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
复数的运算
1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行
设则
（1） （2） （3）
2,几个重要的结论
(1) (2) (3)若为虚数,则
3.运算律
(1) ;(2) ;(3)
4.关于虚数单位i的一些固定结论：
（1） （2） （3） （2）
数学选修2－3
第一章 计数原理
知识点：
1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有M2种不同的方法，……，在第N类办法中有MN种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+MN种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M2不同的方法，……，做第N步有MN不同的方法.那么完成这件事共有 N=M1M2...MN 种不同的方法。
3、排列：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
4、排列数：
5、组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
6、组合数：

7、二项式定理：
8、二项式通项公式

第二章 随机变量及其分布
1、 随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母 ξ、η等表示。
2、 离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,..... ,xi ,......,xn
X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列

4、分布列性质① pi≥0, i =1，2， … 　； ② p1 + p2 +…+pn= 1．
5、二点分布：如果随机变量X的分布列为：

其中0<p<1，q=1-p，则称离散型随机变量X服从参数p的二点分布
6、超几何分布：一般地, 设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n(n≤N)件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，则它取值为k时的概率为，
其中,且
7、 条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A发生的条件下B的概率
8、 公式：
9、 相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。
10、 n次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验
11、二项分布： 设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数，A发生次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p，事件A不发生的概率为q=1-p，那么在n次独立重复试验中 （其中 k=0,1, ……,n，q=1-p ）
于是可得随机变量ξ的概率分布如下：

这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p) ，其中n，p为参数
12、数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称 Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋… 为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．是离散型随机变量。
13、方差:D(ξ)=(x1-Eξ)2·P1+（x2-Eξ)2·P2 +......+（xn-Eξ)2·Pn 叫随机变量ξ的均方差，简称方差。
14、集中分布的期望与方差一览：

期望
方差
两点分布
Eξ=p
Dξ=pq，q=1-p
二项分布，ξ ～ B（n,p）
Eξ=np
Dξ=qEξ=npq，（q=1-p）
15、正态分布：
若概率密度曲线就是或近似地是函数

的图像，其中解析式中的实数是参数，分别表示总体的平均数与标准差．
则其分布叫正态分布，f( x )的图象称为正态曲线。
16、基本性质：
①曲线在x轴的上方，与x轴不相交．
②曲线关于直线x=对称，且在x=时位于最高点.
③当时，曲线上升；当时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．
④当一定时，曲线的形状由确定．越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．
⑤当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ来决定.
⑥正态曲线下的总面积等于1.
17、 3原则：
从上表看到,正态总体在 以外取值的概率 只有4.6%,在 以外取值的概率只有0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.

第三章 统计案例
独立性检验
假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分另为{x1, x2}和{y1, y2}，其样本频数列联表为： 　　

y1
y2
总计
x1
a
b
a+b
x2
c
d
c+d
总计
a+c
b+d
a+b+c+d
　若要推断的论述为H1：“X与Y有关系”，可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。具体的做法是，由表中的数据算出随机变量K^2的值（即K的平方） 　　K2 = n (ad - bc) 2 / [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中n=a+b+c+d为样本容量，K2的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大。
K2≤3.841时，X与Y无关； K2>3.841时，X与Y有95%可能性有关；K2>6.635时X与Y有99%可能性有关
回归分析
回归直线方程  
其中,

数学选修4-4
极坐标
1．伸缩变换：设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点的极坐标：设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的叫做点的极角，记为。有序数对叫做点的极坐标，记为. 极坐标与表示同一个点。极点的坐标为.
4.若,则,规定点与点关于极点对称，即与表示同一点。
如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。

5．极坐标与直角坐标的互化：

6。圆的极坐标方程：
在极坐标系中，以极点为圆心，为半径的圆的极坐标方程是 ；
在极坐标系中，以 为圆心， 为半径的圆的极坐标方程是 ；
在极坐标系中，以 为圆心，为半径的圆的极坐标方程是；
7.在极坐标系中，表示以极点为起点的一条射线；表示过极点的一条直线.
在极坐标系中，过点，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是.

参数方程
1．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数 并且对于的每一个允许值，由这个方程所确定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
2．圆的参数方程可表示为.
椭圆的参数方程可表示为.
抛物线的参数方程可表示为.
　 经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）.
3．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致.

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