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勾股定理讲解

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勾股定理讲解
知识点一：勾股定理
　　如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．

　　要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。
　　　　　　　 （2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。
　　　　　　　 （3）理解勾股定理的一些变式： 　　　　　　　　
　　　　　　　　　　c2=a2+b2, a2=c2-b2， b2=c2-a2 ，　　c2=(a+b)2-2ab
熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：　
　　①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．
类型一：勾股定理的直接用法
　1、在Rt△ABC中，∠C=90°
　(1)已知a=6， c=10，求b，　(2)已知a=40，b=9，求c；　(3)已知c=25，b=15，求a.

【练习】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?

类型二：勾股定理的构造应用
　　例 如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.

【练习1】如图，已知：，，于P. 求证：.

【练习2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。

题型三：旋转问题：
例 如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=,PC=4,求△ABC的边长.

练习 如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC上的点，且∠EAF=45°，试探究间的关系，并说明理由.

题型四：关于翻折问题
例：如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°， AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长。

练习：如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.

类型五：勾股定理的实际应用
例 如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？

类型六 用勾股定理求两点之间的距离问题
　　例 如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。
　　（1）求A、C两点之间的距离。
　　（2）确定目的地C在营地A的什么方向。

【练习】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

　　类型七用勾股定理求最短问题
【例题】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．

练习：如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？

类型八：勾股定理及其逆定理的基本用法
例 若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

　【练习1】等边三角形的边长为2，求它的面积。

　　【练习2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。

类型九：转化的思想方法
例 如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。

一、选择题（每小题2分，共26分）
1. 将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形        (    )
　　A. 可能是锐角三角形                 B. 不可能是直角三角形      
　　C. 仍然是直角三角形                 D. 可能是钝角三角形
2、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ）
A、 B、 C、 D、3
3、一艘轮船以16海里∕小时的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一轮船以12海里∕小时从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，则两船相距（ ）
A：36 海里 B：48 海里 C：60海里 D：84海里
4、若中，，高AD=12,则BC的长为（ ）
A：14 B：4 C：14或4 D：以上都不对
5、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形（如图），其中正确的是（ ）

6、如图1，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．25 B．12．5 C．9 D．8．5

图1
二、 填空题（每小题3分，共48分）
1. 直角三角形的两直角边是3,4,则以斜边长为直径的圆的面积是_______________.
2．若│a-18│+（b-80）2+（c-82）2=0，则以a，b，c为三边长的三角形是_______．
3. 如图4，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”，他们仅仅少走了__________米路，却踩伤了花草。
图4 图5图3
4．某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼道宽2m，其侧面如图5，则购买地毯至少需要______元．
5、如图6所示，以直角三角形ABC的三边向外作正方形，其面积分别为,且 ；

图6 图7
6、如图7，,则AD= ；
三、解答题
1、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为3m，梯子的顶端A向外移动到A’，使梯子的底端A’到墙根O的距离等于4m，同时梯子的顶端B下降至B’，求BB’的长（梯子AB的长为5 m）。(9分)

3、在，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,求证：

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