方程求根的迭代法2省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx
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重庆大学数理学院数数 值值 分分 析析第第十讲十讲主讲教师:主讲教师:谭谭 宏宏第1页4444、3 3 3 3 牛顿法牛顿法牛顿法牛顿法1、公式导出 利用同解变换将f(x)=0化为同解方程 从而得出迭代格式 ,往往只是线性收敛。为得出超线性收敛迭代格式,通常采取近似替换法。设 xk是根 近似值,则按泰勒公式 取前两项来近似代替 (称为f(x)线性化),得近似线性方程第2页设 ,令所得根近似值为xk+1,得(12)这就是牛顿公式牛顿公式对应迭代函数为:(13)牛顿法是一个逐步线性化方法,其基本思想是:将非线性方程 求根问题归结为计算一系列线性方程牛顿法几何意义以下列图第3页x*x0 x1x2xyf(x)第4页故牛顿法也称为切线法例:用牛顿法求解方程解:设则迭代函数故牛顿公式为第5页取迭代结果以下:可见,牛顿法比迭代法收敛速度快得多。定理定理4 4:牛顿法在f(x)=0单根 附近为平方收敛。证:证:将在根 处泰勒展开有:则第6页因为所以即:所以牛顿法在f(x)=0单根 附近为平方收敛。第7页牛顿法牛顿法收敛性收敛性定理定理3 3:设设f(x)在在a,b上满足以下条件上满足以下条件:(1)f(a)f(b)0则由则由(2.3)确定牛顿迭代序列确定牛顿迭代序列xk收敛于收敛于f(x)在在a,b上唯一根上唯一根x*。第8页证:证:由条件(1)知:方程在(a,b)内有根由条件(2)知:f(x)在a,b上单调,故根唯一由条件(1)-(3)知:f(x)只可能是以下情况之一讨论第一个情况,其余类似因为f(x)单调增,且f(a)0,由条件(4)知所以:且对任意比有第9页于是:而:所以:即:只要则迭代序列总满足:又:第10页 所以迭代序列为一个单调增且有上界 序列,它比有极限。设极限为则:即:所以:第11页牛顿法对初始值 依赖性很强,第12页开方公式第13页3、牛顿下山法为预防迭代发散,能够对迭代过程再附加一个要求满足这项要求算法称下山法。将牛顿法和下山法结合起来使用称为牛顿下山法。其中称为下山因子中第14页- 配套讲稿:
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