高中数学推理与证明专题学习资料.doc
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1、高中数学推理与证明专题精品文档课题:合情推理 掌握归纳推理的技巧,并能运用解决实际问题。归纳推理的发展过程观察猜想证明3.数学建构把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).注:归纳推理的特点;简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。归纳推理的一般步骤:4.师生活动例1 前提:蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.结论:所有的爬行动物都是用肺呼吸的。例2 前提:三角形的内角和是1800,凸四边形的内角和是3600,凸五边形的内角和是5400,结论:凸n边形的内角和是(n2)1800。例3 探究:上
2、述结论都成立吗?强调:归纳推理的结果不一定成立! “ 一切皆有可能!”5.提高巩固6.课堂小结(1)归纳推理是由部分到整体,从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要方法。(2)归纳推理的一般步骤:通过观察个别情况发现某些相同的性质 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想)证明课题:类比推理教学目标:通过对已学知识的回顾,认识类比推理这一种合情推理的基本方法,并把它用于对问题的发现中去。类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质,类比的性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相
3、关,从而类比得出的结论就越可靠。一问题情境从一个传说说起:春秋时代鲁国的公输班(后人称鲁班,被认为是木匠业的祖师)一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手,这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的:茅草是齿形的;茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具;它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗?二数学活动我们再看几个类似的推理实例。例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质: 猜想不等式的性质:(1) a=ba+c=b+c; (1) aba+cb+c;(2) a=b ac=bc; (2) ab acbc;(3) a=ba2=b2;等等。 (3) aba2b2;等等。问:这样猜想出
4、的结论是否一定正确?例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆 球弦截面圆直径大圆周长表面积面积体积圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆与圆心距离相等的两弦相等;与圆心距离不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆相等;与球心距离不等的两截面圆不等,距球心较近的截面圆较大圆的切线垂直于过切点的半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于过切点的半径;经过球心且垂直于切面的直线必经过切点经过切点且垂直于切
5、线的直线必经过圆心经过切点且垂直于切面的直线必经过球心上述两个例子均是这种由两个(两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出他们在其他方面也相似或相同;或其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比) 简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理的一般步骤: 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想; 检验猜想。即观察、比较联想、类推猜想新结论例3.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论:试通过类
6、比,写出在空间中的类似结论.巩固提高1(2001年上海)已知两个圆x2+y2=1:与x2+(y-3)2=1,则由式减去式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为-2类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想直角三角形3个面两两垂直的四面体C903个边的长度a,b,c 2条直角边a,b和1条斜边cPDFPDEEDF90 4个面的面积S1,S2,S3和S 3个“直角面” S1,S2,S3和1个“斜面” S3(2004,北京)定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一
7、项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和。 已知数列是等和数列,且,公和为5,那么的值为_,这个数列的前n项和的计算公式为_ 课堂小结1类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠。2 类比推理的一般步骤:找出两类事物之间的相似性或者一致性。用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想)课 题:演绎推理一 复习:合情推理归纳推理 从特殊到一般类比推理 从特殊到特殊从具体问题出发观察、分析比较、联想归纳。类比提出猜想二 问题情境。 观察与
8、思考1所有的金属都能导电铜是金属, 所以,铜能够导电2.一切奇数都不能被2整除, (2100+1)是奇数, 所以, (2100+1)不能被2整除.3.三角函数都是周期函数, tan 是三角函数,所以,tan 是 周期函数。提出问题 :像这样的推理是合情推理吗?二学生活动 :1.所有的金属都能导电 大前提铜是金属, -小前提所以,铜能够导电 结论2.一切奇数都不能被2整除 大前提(2100+1)是奇数,小前提 所以, (2100+1)不能被2整除. 结论3.三角函数都是周期函数, 大前提tan 是三角函数, 小前提所以,tan 是 周期函数。结论三, 建构数学 演绎推理的定义:从一般性的原理出发
9、,推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理;“三段论”是演绎推理的一般模式;包括大前提-已知的一般原理;小前提-所研究的特殊情况;结论-据一般原理,对特殊情况做出的判断三段论的基本格式MP(M是P) (大前提)SM(S是M) (小前提)SP(S是P)(结论)3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.四,数学运用解:二次函数的图象是一条抛物线 (大前提)例2.已知lg2=m,计算lg0.8解 (1) lgan=nlga(a0)-大前提lg8=lg23小前提lg8=3lg2结论 lg
10、(a/b)=lga-lgb(a0,b0)大前提lg0.8=lg(8/10)小前提lg0.8=lg(8/10)结论例3.如图;在锐角三角形ABC中,ADBC, BEAC, D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等解: (1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形,大前提在ABC中,ADBC,即ADB=90-小前提所以ABD是直角三角形结论(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,大前提因为 DM是直角三角形斜边上的中线,小前提 所以 DM= AB结论 同理 EM= AB所以 DM=EM.五 回顾小结:演绎推理具有如下特点:课本第33页 。演绎推理错误的主要原因是1大前提不成立;
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