高中数学推理与证明专题学习资料.doc

高中数学推理与证明专题

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课题:合情推理
掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。

归纳推理的发展过程
观察
猜想
证明

3.数学建构
●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).
注:归纳推理的特点;

简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
●归纳推理的一般步骤：

4.师生活动
例1 前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.
结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

例2 前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，……
结论：凸n 边形的内角和是（n—2）×1800。

例3

探究：上述结论都成立吗？
强调：归纳推理的结果不一定成立！ —— “ 一切皆有可能！”
5.提高巩固

6.课堂小结
(1)归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
(2)归纳推理的一般步骤：
通过观察个别情况发现某些相同的性质 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）
证明

课题：类比推理
●教学目标：
通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问
题的发现中去。
类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

一．问题情境
从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.
他的思路是这样的：
茅草是齿形的；
茅草能割破手.
我需要一种能割断木头的工具；
它也可以是齿形的.
这个推理过程是归纳推理吗？
二．数学活动
我们再看几个类似的推理实例。
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质： 猜想不等式的性质：
(1) a=bÞa+c=b+c; (1) a＞bÞa+c＞b+c;
(2) a=bÞ ac=bc; (2) a＞bÞ ac＞bc;
(3) a=bÞa2=b2;等等。 (3) a＞bÞa2＞b2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？

例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.
圆 球
弦←→截面圆
直径←→大圆
周长←→表面积
面积←→体积

圆的性质
球的性质
圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦
球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆
与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长
与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大
圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
经过切点且垂直于切面的直线必经过球心

☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．

简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．

类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想。即
观察、比较
联想、类推
猜想新结论

例3.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论:

试通过类比,写出在空间中的类似结论.

巩固提高
1．(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为-----------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．

直角三角形
 3个面两两垂直的四面体
∠C＝90°
3个边的长度a，b，c
2条直角边a，b和1条斜边c
 ∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°
4个面的面积S1，S2，S3和S
3个“直角面” S1，S2，S3和1个“斜面” S

3．（2004，北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为______________，这个数列的前n项和的计算公式为________________
课堂小结
1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
2． 类比推理的一般步骤：
①找出两类事物之间的相似性或者一致性。
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）

课 题：演绎推理

一． 复习:合情推理
归纳推理 从特殊到一般
类比推理 从特殊到特殊
从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳。类比――提出猜想
二． 问题情境。
观察与思考
1所有的金属都能导电
铜是金属,
所以，铜能够导电
2.一切奇数都不能被2整除,
(2100+1)是奇数，
所以， (2100+1)不能被2整除.
3.三角函数都是周期函数,
tan 是三角函数,
所以，tan 是 周期函数。
提出问题 ：像这样的推理是合情推理吗？
二．学生活动 ：
1.所有的金属都能导电 ←————大前提
铜是金属, ←-----小前提
所以，铜能够导电 ←――结论
2.一切奇数都不能被2整除 ←————大前提
(2100+1)是奇数，←――小前提
所以， (2100+1)不能被2整除. ←―――结论
3.三角函数都是周期函数, ←——大前提
tan 是三角函数, ←――小前提
所以，tan 是 周期函数。←――结论
三， 建构数学
演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．
１．演绎推理是由一般到特殊的推理；
２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括　
　⑴大前提---已知的一般原理；　　　　　　　　
⑵小前提---所研究的特殊情况；　　　　　　　
⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．
三段论的基本格式
M—P（M是P） （大前提）
S—M（S是M） （小前提）
S—P（S是P） （结论）
3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:
若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.
四，数学运用

解：二次函数的图象是一条抛物线 （大前提）

例2.已知lg2=m,计算lg0.8
解 （1） lgan=nlga(a>0)---------大前提
lg8=lg23————小前提
lg8=3lg2————结论
lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0)——大前提
lg0.8=lg(8/10)——－小前提
lg0.8=lg(8/10)——结论
例3.如图;在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,
D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等
解： (1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形,——大前提
在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90°——-小前提
所以△ABD是直角三角形——结论
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,——大前提
因为 DM是直角三角形斜边上的中线,——小前提
所以 DM= AB——结论
同理 EM= AB
所以 DM=EM.

五 回顾小结：
演绎推理具有如下特点:课本第33页 。
演绎推理错误的主要原因是
1．大前提不成立；2, 小前提不符合大前提的条件。
作业：第35页 练习 第5题 。习题2。1 第4题。

课题：直接证明--综合法与分析法
2．教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点
3．教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点
教学过程:
学生探究过程：证明的方法
（1）、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

（2）、例1．设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．
    证明：(用分析法思路书写)
    要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，
    只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，
    即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)
    只需证a2-2ab+b2＞0成立，
    即需证(a-b)2＞0成立。
    而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。

  (以下用综合法思路书写)
    ∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0
    亦即a2-ab+b2＞ab
    由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab
    即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证

例2、若实数，求证：
证明：采用差值比较法：

=
= =
=

∴ ∴
例3、已知求证
本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设
，从而原不等式得证。
2）商值比较法：设
故原不等式得证。
注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。

教学反思：本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

课题：间接证明--反证法
(1)、反证法
    反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：

(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
(2)、例子
例1、求证：不是有理数

例2、已知，求证：（且）

例3、设，求证

例4、设二次函数，求证：中至少有一个不小于.
证明：假设都小于，则
（1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有
（2）
（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。
注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。
议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？

例5、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同时大于

例6、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0

教学反思：
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
     反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

课题:数学归纳法
1．数学归纳法的本质：
无穷的归纳→有限的演绎（递推关系）
2．数学归纳法公理：
（1）（递推奠基）：当n取第一个值n0结论正确；
（2）（递推归纳）：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）
证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。
【例题评析】
例 1. 用数学归纳法证明

例2：用数学归纳法证明(n∈N,n≥2)
说明：注意从n=k到n=k+1时,添加项的变化。
EX:1.用数学归纳法证明:
(1)当n=1时,左边有_____项,右边有_____项；
(2)当n=k时,左边有_____项,右边有_____项；
(3)当n=k+1时,左边有_____项,右边有_____项；
(4)等式的左右两边,由n=k到n=k+1时有什么不同?

变题: 用数学归纳法证明 (n∈N+)
例3：设f(n)=1+,求证n+f(1)+f(2)+…f(n-1)=nf(n) (n∈N,n≥2)

【课堂小结】
1．数学归纳法公理：
（1）（递推奠基）：当n取第一个值n0结论正确；
（2）（递推归纳）：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）
证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。
2. 注意从n=k到n=k+1时,添加项的变化。利用归纳假设创造递推条件，寻求f(k+1)与f(k)的递推关系.

【反馈练习】
1．用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证( )
A n=1 B n=2 C n=3 D n=4
2．用数学归纳法证明第二步证明从“k到k+1”，左端增加的项数是( )
A. B C D
3．若n为大于1的自然数，求证
证明 (1)当n=2时，
(2)假设当n=k时成立，即

4．用数学归纳法证明

课题:复习课
一、教学目标：
1．了解本章知识结构。
2．进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。课题:数学归纳法

3．认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力。
二、教学重点：进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。
难点：认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力
三、教学过程：
【创设情境】
推理与证明
推理
证明
合情推理
演绎推理
直接证明
间接证明
类比推理
归纳推理
分析法
综合法
反证法
数学归纳法
一、知识结构：

【探索研究】
我们从逻辑上分析归纳、类比、演绎的推理形式及特点；揭示了分析法、综合法、数学归纳法和反证法的思维过程及特点。通过学习，进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。
【例题评析】
例1：如图第n个图形是由正ｎ＋２边形“扩展”而来,（ｎ＝１，２，３，…）。则第n－2个图形中共有________个顶点。

变题：黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：

第1个
第2个
第3个

则第n个图案中有白色地面砖 块。
例2：长方形的对角线与过同一个顶点的两边所成的角为，则
=1，将长方形与长方体进行类比，可猜测的结论为：_______________________;

变题1：已知，m是非零常数，x∈R,且有= ,问f(x)是否是周期函数？若是，求出它的一个周期，若不是，说明理由。

变题2：数列的前n项和记为Sn，已知证明：
（Ⅰ）数列是等比数列；
（Ⅱ）

例3：设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函数f(x+1)与函数f(x)的图象关于y轴对称，求证：
为偶函数。

例4：设Sn=1+ (n>1,n∈N),求证： （）
评析：数学归纳法证明不等式时，经常用到“放缩”的技巧。

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