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高中数学易错点梳理

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高中数学易错点梳理
数学中的隐含条件往往最容易被忽视，这些隐含条件通常被称为题中的“陷阱”，解题过程中一不小心就会掉进去。本文列举出了高中课本中一些常见的易错点，希望同学们在今后的学习中引以为戒。
一、集合与简易逻辑
易错点1 对集合表示方法理解存在偏差
【问题】1: 已知，求。
错解：
剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本质。
正确结果：
【问题】2: 已知，求。
错解：
正确答案：
剖析：审题不慎，忽视代表元素，误认为为点集。
反思：对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”，对其本质的理解存在误区，常见的错误是不理解集合的表示法，忽视集合的代表元素。
易错点2 在解含参数集合问题时忽视空集
【问题】: 已知，且，求 的取值范围。
错解：[-1，0）
剖析：忽视的情况。
正确答案：[-1，2]
反思：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合就有可能忽视了，导致解题结果错误。尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况。考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面。
易错点3 在解含参数问题时忽视元素的互异性
【问题】: 已知1∈{,, }，求实数的值。
错解：
剖析：忽视元素的互异性，其实当时，==1；当时， ==1；均不符合题意。
正确答案：
反思：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，集合元素的三性中的互异性对解题的影响最大，特别是含参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。解题时可先求出字母参数的值，再代入验证。
易错点4 命题的否定与否命题关系不明
【问题】: 写出“若，则”的否命题。
错解一：否命题为“若，则”
剖析：概念模糊，弄错两类命题的关系。
错解二：否命题为“若，则”
剖析：知识不完整，的否定形式应为。
正确答案：若，则
反思：命题的否定是命题的非命题，也就是“保持原命题的条件不变，否定原命题的结论作为结论”所得的命题，但否命题是“否定原命题的条件作为条件，否定原命题的结论作为结论”所得的命题。对此。考生可能会犯两类错误①概念不清，不会对原命题的条件和结论作出否定；②审题不够细心。
易错点5 充分必要条件颠倒出错
【问题】:已知是实数，则“且”是“且”的
A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件
错解：选B
剖析：识记不好，不能真正理解充要条件概念，未能掌握判断充要条件的方法。
正确答案：C
反思：对于两个条件，如果，则是的充分条件，是的必要条件，如果，则是的充要条件。判断充要条件常用的方法有①定义法；②集合法；③等价法。解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时，一定要分清条件和结论，根据充要条件的定义，选择恰当的方法作出准确的判断，不充分不必要常借助反例说明。
易错点6 对逻辑联结词及其真值表理解不准
【问题】: 命题p：若a、b∈R，则是的充分而不必要条件；命题q：函数y=的定义域是（－∞，－1∪[3，+∞，则
A“”为假 B“”为真 C D
错解一：选或
剖析：对真值表记忆不准，本题中，因此“”为真，而“”为假。
错法二：选
剖析：基础不牢，在判断命题真假时出错。
正确答案：D
反思：含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题称为复合命题。在判断复合命题真假时，常常因为对概念理解不准确或真值表记不清而出现错误。为此准确理解概念、巧记真值表是解题的关键。这里介绍一种快速记忆真值表的方法：
“”——有真则真；“”——有假则假；“”——真假相反。
易错点7 否定全称、特称命题出错
【问题】写出下列命题的否定：
：对任意的正整数x, ；
q：存在一个三角形，它的内角和大于；
r:三角形只有一个外接圆。
错解：①：对任意的正整数x, ；
②：所有的三角形的内角和小于；
③存在一个三角形有且只有一个外接圆。
剖析：知识欠缺，基础不牢导致出错。
正确答案：①：存在正整数x, 使；
②：所有的三角形的内角和都不大于；
③存在一个三角形至少有两个外接圆。
反思：全称命题，它的否定，特称命题，它的否定。一般来说，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。切记对全称、特称命题的否定，不仅要否定结论，而且还要对量词“”进行否定。另外，对一些省略了量词的简化形式，应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。

二、函数与导数
易错点8 求函数定义域时条件考虑不充分
【问题】: 求函数y=+的定义域。
错解：[-3，1]
剖析：基础不牢，忽视分母不为零；误以为=1对任意实数成立。
正确答案：
反思：函数定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，因此求定义域时就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数定义域。在求函数的定义域时应注意以下几点①分式的分母不为零；②偶次根式被开方式非负；③对数的真数大于零；④零的零次幂没有意义；⑤函数的定义域是非空的数集。
易错点9 求复合函数定义域时忽视“内层函数的值域是外层函数的定义域”
【问题】已知函数求函数的值域。
错解：设，，，，。
剖析：知识欠缺，求函数定义域时，应考虑.
正确答案：
反思：在复合函数中，外层函数的定义域是内层函数的值域，求复合函数定义域类型为：
①若已知的定义域为,其复合函数的定义域可由不等式解出即可；②若已知的定义域为 ,求的定义域，相当于x∈[a,b]时，求的值域（即 的定义域）。
易错点10 判断函数奇偶性时忽视定义域
【问题】1: 判断函数的奇偶性。
错解：原函数即，∴为奇函数
剖析：只关注解析式化简，忽略定义域。
正确答案：非奇非偶函数。
【问题】2: 判断函数的奇偶性。
错解：，∴为偶函数
剖析：不求函数定义域只看表面解析式，只能得到偶函数这一结论，导致错误。
正确答案：既奇且偶函数。
反思：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。如果不具备这个条件，一定是非奇非偶函数。在定义域关于原点对称的前提下，如果对定义域内任意x都有，则为奇函数；如果对定义域内任意x都有，则为偶函数，如果对定义域内存在使，则不是奇函数；如果对定义域内存在使，则不是偶函数。
易错点11 求复合函数单调区间时忽视定义域
【问题】: 求函数的增区间。
错解一：∵外层函数为减函数，内层函数减区间为，∴原函数增区间为。
剖析：基础不牢，忽视定义域问题
错解二：∵，函数定义域为，又内层函数在 为增函数，在为减函数，∴原函数增区间为。
剖析：识记不好，对复合函数单调性法则不熟练。
正确答案：
反思：求复合函数单调区间一般步骤是①求函数的定义域；②作出内层函数的图象；③用“同增异减”法则写单调区间。解此类题通常会出现以下两类错误：一是忽视定义域；二是 “同增异减”法则不会或法则用错。
易错点12 解“二次型函数”问题时忽视对二次项系数的讨论
【问题】: 函数的图象与轴只有一个交点，求实数m的取值范围。
错解：由解得
剖析：知识残缺，分类讨论意识没有，未考虑的情况。
正确答案：
反思：在二次型函数中，当时为二次函数，其图象为抛物线；当时为一次函数，其图象为直线。在处理此类问题时，应密切注意项的系数是否为0，若不能确定，应分类讨论，另外有关三个“二次”之间的关系的结论也是我们应关注的对象。例如：
解集为
解集为
易错点13 用函数图象解题时作图不准
【问题】: 求函数的图象与直线的交点个数。
错解：两个
剖析：忽视指数函数与幂函数增减速度快慢对作图的影响。
正确答案：三个
反思：“数形结合”是重要思想方法之一，以其准确、快速、灵活及操作性强等诸多优点颇受数学学习者的青睐。但我们在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不能主观臆造，导致图形“失真”，从而得出错误的答案。
易错点14 忽视转化的等价性
【问题】1: 已知方程有且只有一个根在区间（0，1）内，求实数m的取值范围。
错解：∵方程有且只有一个根在区间（0，1）内，∴函数的图象与轴在（0，1）内有且只有一个交点，∴，解得
剖析：知识残缺，在将方程转化为函数时，应考虑到△=0情况。
正确答案：m<2且m=9/4
【问题】2:函数的图象大致是（ ）

剖析：①在转化过程中，去绝对值时出错，从而得到错误的图象。
②在图象变换过程中出错，搞错平移方向。
正确答案：D
反思：等价转化是数学的重要思想方法之一，处理得当会起到意想不到的效果，但等价转化的前提是转化的等价性，反之会出现各种离奇的错误。
易错点15 分段函数问题
【问题】1:.已知是R上的增函数，求a的取值范围。
错解：
剖析：知识残缺，只考虑到各段函数在相应定义域内为增函数，忽视在分界点附近函数值大小关系。
正确答案：
【问题】2:设函数，求关于x的方程解的个数。
错解：两个
剖析：基础不实，分类讨论意识没有，未能将方程分两种情况来解。
正确答案：三个
反思：与分段函数相关的问题有作图、求值、求值域、解方程、解不等式、研究单调性及讨论奇偶性等等。在解决此类问题时，要注意分段函数是一个函数而不是几个函数，如果自变量取值不能确定，要对自变量取值进行分类讨论，同时还要关注分界点附近函数值变化情况。
易错点16 函数零点定理使用不当
【问题】若函数在区间[-2,2]上的图象是连续不断的曲线，且在（-2,2）内有一个零点，则f(-2)·f(2)的值 （ ）
A 大于0 B 小于0 C 等于0 D 不能确定
错解：由函数零点存在定理知，f(-2)·f(2)<0，故选B
剖析：没有正确理解函数零点的含义及存在性，若函数在（-2,2）内有一个零点，且该零点为“变号零点”，则f(-2)·f(2)<0，否则f(-2)·f(2)≥0.
正确答案：D
反思：函数零点定理是指如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。解决函数零点问题常用方法有定理法、图象法和方程法。函数零点又分为“变号零点”和“不变号零点”，函数零点定理仅适用于“变号零点”，对“不变号零点”无能为力。
易错点17 混淆两类切线的概念
【问题】: 若直线y = kx与曲线相切试求k的值。（提示y=kx即过原点的切线）
错解：，∴斜率，
剖析：知识残缺，过某点的切线并非在某点处的切线。
正确答案：
反思：曲线在点P处的切线”P为切点且P在曲线上，而“过点P的切线”仅能说明点P在曲线的切线上。
易错点18 误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系
【问题】:函数在x=1处有极值10，求的值。
错解：由解得
剖析：对“导数为0”与“有极值”逻辑关系分辨不清，错把为极值的必要条件当作充要条件。
正确答案：a=4,b=-11
反思：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条件是两侧异号。。
易错点19 对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻
【问题】:若函数在上为减函数，求实数的取值范围。
错解：由在上恒成立，∴ ，解得

剖析：概念模糊，错把在某个区间上是单调增（减）函数的充分条件当成充要条件。事实上时满足题意。
正确答案：
反思：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件。
易错点20 对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚
【问题】: 已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则y = f(x)的图象最有可能的是______.

错解：选
剖析：概念不清，凭空乱猜，正确解法是由于，且两边值符号相反，故0和2为极值点；又因为当时，，当时，，所以函数在上为增函数，在上为减函数。
正确答案：C
反思：解答此类题的关键是抓住①导函数的零点与原函数的极值点关系——极值点的导数值为0；②导函数值的符号与原函数单调性的关系——原函数看增减，导函数看正负。
易错点21求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。
例是R上的奇函数，（1）求a的值（2）求的反函数
剖析：求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。
解析：（1）利用（或）求得a=1.
（2）由即，设,则由于故，，而所以
反思：（1）在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函数的解析式后表明（若反函数的定义域为R可省略）。
（2）应用可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注意其自变量和函数值要互换。
【练3】函数的反函数是（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：B

三、数列
易错点22 由求时忽略对“”检验
【问题】:已知数列｛｝的前n 项和，求。
错解：由解得
剖析：考虑不全面，错误原因是忽略了成立的条件n≥2，实际上当n=1时就出现了S0，而S0是无意义的，所以使用求，只能表示第二项以后的各项，而第一项能否用这个表示，尚需检验。
正确答案：
反思：在数列问题中，数列的通项与其前n 项和之间关系如下，在使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数列｛｝的与关系时，先令求出首项，然后令求出通项，最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令求出通项，也不对进行检验。
易错点23 忽视两个“中项”的区别
【问题】: 是成等比数列的 （ ）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分有不必要条件
错解： C
剖析：思维不缜密，没有注意到当 时，可能为0。
正确答案：B
反思：若成等比数列，则为和的等比中项。由定义可知只有同号的两数才有等比中项， “”仅是“为和的等比中项”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。

易错点24 等比数列求和时忽视对讨论
【问题】:在等比数列｛｝中，为其前n 项和，且，求它的公比q。
错解： ，解得
剖析：知识残缺，直接用等比数列的求和公式，没有对公比q是否等于1进行讨论，导致失误。
正确答案：
反思：与等差数列相比，等比数列有一些特殊性质，如等比数列的每一项包括公比均不为0，等比数列的其前n项和为分段函数，其中当q=1时，。而这一点正是我们解题中被忽略的。
易错点25 用错了等差、等比数列的相关公式与性质
【问题】:已知等差数列｛｝的前m项和为30，前2m项和为100，求它的前3m项和。
错解一：170
剖析：基础不实，记错性质，误以为成等差数列。
错解二：130
剖析：基础不实，误以为满足。
正确答案：210
反思：等差、等比数列各自有一些重要公式和性质（略），这些公式和性质是解题的根本，用错了公式和性质，自然就失去了方向。解决这类问题的一个基本出发点就是考虑问题要全面，把各种可能性都考虑进去，认为正确的命题给予证明，认为不正确的命题举出反例予以说明。
易错点26 用错位相减法求和时项数处理不当
【问题】:求和。
剖析：①考虑不全面，未对进行讨论，丢掉时的情形。
②将两个和式错位相减后，成等比数列的项数弄错。
③将两个和式错位相减后，丢掉最后一项。
正确答案：
反思：如果一个数列为一个等差数列和一个等比数列对应项积所得到的，那么该数列可用错位相减法求和。基本方法是设这个和式为Sn，在这个和式的两端同时乘以等比数列的公比得到另一个和式，将这两个和式错位相减，得到一个新的和式，该式分三部分①原来数列的第一项；②一个等比数列的前n-1项和；③原来数列的第n项乘以公比的相反数。在用错位相减法求和时务必要处理好这三个部分，特别是等比数列的项数，有时含原来数列的第一项共项，有时只有项。另外，如果公比为字母需分类讨论。
易错点27 数列中的最值错误
【问题】:在等差数列｛｝中，，，求此数列的前几项和最大。
剖析：①解题不细心，在用等差数列前n和求解时，解得n=12.5，误认为n=12.5。
②考虑不全面，在用等差数列性质求解得出=0时，误认为只有最大。
正确答案：
反思：数列的通项公式与前n项和公式都是关于正整数n的函数，要善于用函数的观点认识和理解数列问题。但是考生很容易忽视n为正整数的特点，有时即使考虑了n为正整数，但对于n为何值时，能够取到最值求解出错。在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴远近而定。

四、三角函数
易错点32 求解时忽略角的范围
【问题】1: 在中，=,=，求，的值。
错解：cosA=±，sinB=±
剖析：基础不实，忽视开方时符号的选取。
正确答案：cosA=，sinB=
【问题】2: 在中，为锐角，且，求的值。
错解： 先求出sin()=，∵，∴
剖析：知识残缺，由于为锐角，所以。又由于正弦函数在上不是单调函数，所以本题不宜求sin()，宜改求cos()或tan()。
正确答案：
【问题】1: 在中，已知a=,b=,B=,求角A
错解：用正弦定理求得，∴
剖析：基础不牢，忽视隐含条件出错。
正确答案：
反思：三角函数中的平方关系是三角变换的核心，也是易错点之一。解题时，务必重视“根据已知角的范围和三角函数的取值，精确确定未知角的范围，并进行定号”。
易错点33 求关于最值时忽视正、余弦函数值域
【问题】:已知，求的最大值。
错解：令，得，通过配方、作图解得的最大值为
剖析：本题虽注意到的值域，但未考虑到与相互制约，即由于-1≤siny≤1，
∴必须同时满足。
正确答案：
反思：求关于最值的常规方法是通过令（或cosx）将三角函数的最值问题转化为关于的二次函数问题求解。但由于正、余弦函数值域限制，只能在某一特定范围内取值，解题时务必要注意此点。
易错点34 三角函数单调性判断错误
【问题】:已知函数y=cos(-2x)，求它的单调减区间。
错解： ≤-2x≤
剖析：概念混淆，错因在于把复合函数的单调性与基本函数的单调性概念相混淆。应化成y=cos(2x-)求解 正确答案：
反思：对于函数来说，当时，由于内层函数是单调递增的，所以函数的单调性与函数的单调性相同，故可完全按照函数的单调性来解决；但当时，内层函数是单调递减的，所以函数的单调性与函数的单调性正好相反，就不能按照函数的单调性来解决。一般来说，应根据诱导公式将的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决。
易错点35 图象变换的方向把握不准
【问题】: 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A向右平移个单位 B向右平移个单位 C向左平移个单位 D向左平移个单位
错解一：C
剖析：知识残缺，未将函数化成同名函数。
错解二：D
剖析：基础不牢，弄错了平移方向。
正确答案：A
反思：图像的平移变换，伸缩变换因先后顺序不同平移的量不同，平移的量为，
平移的量为。
易错点37 由图象求函数解析式忽略细节
【问题】：如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数.
(1)求这段时间的最大温差.
(2)写出这段曲线的函数解析式。

剖析：解此类题前两步一般不会错。但在求时，多数学生由于点的位置取得不当，致使求得的值不好取舍。
正确答案：（1） （2）
反思：由三角函数图象求（）的解析式一般分三个步骤：①由函数的最大（小）值求振幅；②由函数的周期求；③由曲线上的最高（最低）点求初相的一般解，但有范围限制时一定要注意在指定的范围内求解。

五、平面向量
易错点40 概念模糊
【问题】：下列五个命题：
① 向量与共线，则P1、P2、O、A必在同一条直线上；
② 如果向量与平行，则与方向相同或相反；
③ 四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是=；
④ 若∣∣=∣∣，则、的长度相等且方向相同或相反；
⑤ 由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行。
其中正确的命题有______个。
错解：选①错，向量与共线，则直线P1P2与直线OA可能平行；选②错，若为零向量，则命题不正确；选③错，=则四点P1，P2，O，A可能共线；选④错，∣∣=∣∣，只能说明、的长度相等但确定不了方向；选⑤错；零向量与任何向量平行。
正确答案：0
反思：平面向量部分概念多而抽象，如零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量、向量的加法、减法、数乘、数量积、向量的模、夹角等等。在复习时不仅要理解这些概念，而且还要掌握向量与实数、向量运算与实数运算异同点。
易错点41 忽视平面向量基本定理的成立条件
【问题】：下列各组向量中，可以作为基底的是
①=（0，0），=（1，-2）; ②=（-1，2），=（5，7）;
③=（3，5），=（6，10）; ④=（2，-3），=（4，-6）;
错解：选①或③或④
正确答案：②
剖析：概念模糊，根据基底的定义，只有非零且不共线的向量才可以作为平面内的基底。
反思：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使=λ1+λ2。在平面向量知识体系中，基本定理是基石，共线向量定理是重要工具。考生在学习这部分知识时，务必要注意这两个定理的作用和成立条件。

易错点44 忽视“向量数量积运算”与“实数运算”区别
【问题】：已知向量的夹角为钝角，求实数x的取值范围为
错解：
剖析：概念模糊，错误地认为为钝角
正确答案：
反思：为钝角不共线

六、不等式
易错点45不等式性质应用不当
【问题】：已知，<β<，求函的取值范围。
错解： ∵，< β < ，∴，∴
剖析：套用错误，不等式具有同向相加性质，但两边不能分别相减。
正确答案：
反思：不等式基本性质是不等式的基础，有些性质是条件不等式，在使用这些性质解题时，务必要检验成立条件，不能想当然套用，忽视了就会出错。
易错点36 忽视等号同时成立的条件，扩大了范围
【问题】：已知函数，且，求的取值范围。
错解：先由求出a，b的范围，再用不等式性质求出的范围为[5，10]。
剖析：知识残缺，多次使用同向相加性质，从而扩大了取值范围。
正确答案：利用待定系数法或线性规划求解，的范围为[5，10]。
反思：在多次运用不等式性质时，其等号成立的条件可能有所不同，造成累积误差，结果使变量范围扩大。为了避免这类错误，必须注意①检查每次使用性质时等号成立的条件是否相同；②尽可能多的使用等式。
易错点46 去分母时没有判断分母的符号
【问题】：解不等式
错解：∵， ∴，解得
剖析：基础不实，没有考虑分母的符号，直接去分母，应对进行分类讨论，或用数轴标根法求解。
正确答案：
反思：解分式不等式的依据是分式的基本性质a>b,c>0a c >b c；a >b,c<0a c <b c。解分式不等式基本思想是通过去分母将分式不等式转化为整式不等式，但在去分母之前必须对分母的符号进行判断，必要时要对分母进行讨论。
易错点38 解含参数不等式时分类讨论不当
【问题】：解关于x的不等式
错解一：原不等式等价于，解得
剖析：基础不实，直接利用绝对值不等式的解集公式，而忽视对a-2进行分类讨论。
错解二：当时，原不等式不成立。
当时，原不等式等价于，解得
剖析：技能不熟，没有对进行讨论。
正确答案：当时，不等式解集是；当时，不等式解集是
反思：含参数不等式的解法是不等式问题的难点。解此类不等式时一定要注意对字母分类讨论，讨论时要做到不重不漏，分类解决后，要对各个部分的结论按照参数由小到大进行整合。
易错点39 忽视均值不等式应用条件
【问题】1：若x<0，求函数f(x) =的最值。
错解:当x＝时，f(x)取得最小值2
剖析：基础不实，基本不等式≥2成立条件为，本题中x<0，不能直接使用公式。
正确答案：最大值为，无最小值。
【问题】：设，求函数的最小值。
错解：
剖析：知识残缺，因为上述解法取等号条件是，，而这是不可能的。
正确答案：最小值为5
【问题】3：设，且，求函数f(x) =的最小值。
错解：∵= ()≥＝4，∴函数f(x)的最小值为4。
剖析：技能不熟，上述解法似乎很巧妙，但两次使用均值不等式时取等号的条件不一样，因此取不到。
正确答案：最小值为
反思：均值不等式≥2（）取等号的条件是“一正，二定，三相等”。
在解题过程中，务必要先检验取等号的三个条件是否成立。常规的解法是①如果积或和不是定值，设法构造“定值”；② 若是不能保证，可构造“正数”或利用导数求解；③若是等号不能成立，可根据“对勾函数”图象，利用单调性求解。
易错点40 平面区域不明
【问题】：表示的平面区域是（ ）

错解一：选A 计算错误
错解二：选B 思维不缜密
错解三：选D 审题粗心，未注意到不含等号。
正确答案：C
反思：一条直线把平面分成两个半平面，在每个半平面内的点（x，y）使值的符号一致。鉴于此，作不等式对应的平面区域方法是画线定界，取点定域，若含等号画实线，否则画虚线。
易错点41 求目标函数最值时忽视的系数的符号
【问题】：若变量满足约束条件求目标函数的最大值。
错解：先作可行域，在平移直线得最优解（-1，1）,所以
剖析：识记错误，当y的系数小于0时，使得直线在y轴上截距最大的可行解，是目标函数取得最小值的最优解。
正确答案：3
反思：解线性规划问题的基本方法是图解法。当B>0时，动直线在y轴上的截距越大，目标函数值越大，截距越小，目标函数值越小；反之，当B<0时，动直线在y轴上截距越大，目标函数值越小，截距越小，目标函数值越大。其中的系数的符号是解题的关键，也是同学们经常忽略的地方。

七、立体几何
易错点42 不会将三视图还原为几何体
【问题】：若某空间几何体的三视图如图所示，
求该几何体的体积。
错解： 如图该几何体是底面为边长正方形，高为1
的棱柱，∴该几何体的体积为
剖析：识图能力欠缺，由三视图还原几何体时出错。
正确答案：V=1
反思：在由三视图还原空间几何体时，要根据三个视图综合考虑，根据三视图的规则，可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为实线。在还原几何体形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑。
易错点43 对斜二测法规则掌握不牢
【问题】：已知的平面直观图△是边长为的正三角形，求的面积。
剖析：①对用斜二测法画平面图形的直观图不熟悉；②不会将直观图还原成实际图形；
③对一些等量关系不清楚。
正确答案：
反思：由斜二测法画直观图步骤如下：①建立坐标系；②“位置规则”——与坐标轴的平行的线段平行关系不变；③“长度规则”——图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度减为原来的一半。对此考生常见的错误有①不会建新坐标系，②不会用“倒过去”的方法还原几何体，③“位置规则”和“长度规则”不清楚。

易错点44 空间点、线、面位置关系不清
【问题】：给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；.
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中为真命题的是
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④
错解：A
剖析： ①空间想象能力欠缺，不会借助身边的几何体作出判断；
②空间线面关系模糊，定理不熟悉或定理用错。
正确答案：D
反思：空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空间点、线、面位置关系判断和性质掌握程度的重要题型。解决这类问题的基本思路有两条：一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断，但要注意定理应用准确，考虑问题全面细致。
易错点45 平行关系定理使用不当
【问题】：正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，P在对角线BD1上，且，给出下列四个命题：（1）；（2）C1Q // 面APC；（3）A，P，M三点共线；（4）面MNP // 面APC.正确序号为（ ）
A、（1）（2） B、（1）（4） C、（2）（3） D、（3）（4）
错解：A、B、D
剖析：空间线面关系模糊，定理不熟悉，未能推出MN在平面APC内而导致错误。
正确答案：C
反思：证明空间平行关系的基本思想是转化和化归，但要正确应用定理并注意定理的应用条件。如在证明直线a//平面α时，不能忽略直线a在平面α外。证明有关线线，线面，面面平行时使用定理应注意找足条件，书写规范，推理严谨。
易错点46 　垂直关系定理使用不当
【问题】：已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB= 4AN，M、S分别为PB、BC的中点。
①证明：CM⊥SN；
②求SN与平面CMN所成角的大小.
剖析：①在利用线面垂直的判定定理证明两个平面互相垂直时，只证明了该直线垂直于这个平面内的两条直线，没有说明这两条直线是否相交，不符合定理的条件；②在求线面角时，没有说明找角的过程。
反思：证明空间垂直关系的基本思想是转化和化归。如在证明线线垂直时，可先把其中一条直线视为某平面内的直线，然后再利用线面垂直的性质定理和判定定理证明另一条直线垂直于这个平面，进而达到证明线线垂直的目的。
易错点47 利用空间向量求线面角几种常见错误
【问题】：如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点 ,若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的余弦值。
剖析：本题在求得平面DCEF的一个法向量=（0，0，2）及
=(－1,1,2)后，可得cos<,> =·
可能出现的错误为：;
正确答案：
反思：若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cos<,>|。容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值；③不清楚线面角的范围。
易错57 二面角概念模糊
【问题】： 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点在侧棱上，。
①证明：是侧棱的中点；
②求二面角的余弦值。
剖析：本题在求得平面、的法向量=(，1，1)，=(，0，2)后，然后计算出cos=；接着可能错误地以为二面角余弦值为，其实本题中的二面角是钝角，仅为其补角。
正确答案：
反思：若两个平面的法向量分别为，，若两个平面所成的锐二面角为，则；若两个平面所成二面角为钝角，则。总之，在解此类题时，应先求出两个平面的法向量及其夹角，然后视二面角的大小而定。
利用空间向量证明线面位置关系基本步骤为①建立空间坐标系，写出相关点的坐标；②用向量表示相应的直线；③进行向量运算；④将运算结果转化为相应的位置关系。解此类问题常见错误有①不会将空间问题转化为向量问题；②不会建系，不会用向量表示直线，③计算错误，④使用定理出错，⑤书写不规范。

八、解析几何
易错点49 倾斜角与斜率关系不明
【问题】：下列命题正确的为_______________。
①任何一条直线都有倾斜角，都有斜率；②直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；
③平行于x轴的直线，倾斜角为00或1800；
④平行于y轴的直线，斜率不存在，所以倾斜角不存在；
剖析：知识残缺，概念模糊。
正确答案：无选项
反思：倾斜角和斜率分别从不同角度反映了直线的倾斜程度，但二者也有区别，任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。解此类题常见错误有①弄错直线倾斜角的范围；②当直线与x轴平行或重合时，误认为倾斜角为00或1800；③不了解倾斜角与斜率关系。
易错点50 判断两直线位置关系时忽视斜率不存在
【问题】：已知直线1: a x+2y+6=0和2: x+（a -1）y + a2-1=0，
试判断1与2是否平行；②当1⊥2时，求a的值。
剖析：本题中的直线为一般式，宜用②中的等价关系求解，如果用①中的等价关系求解，一定要考虑斜率不存在的情况。
正确答案：（1） （2）
反思：在解几中，判断平面内两直线的位置关系的方法有两种：
若直线1: ，2: ，则有
1与2相交； 1∥2 ，且b1≠b2； 1⊥2
②若直线，，则有1与2相交；
1∥2；1⊥2
两种方法各有优缺点，方法①简便易行，但仅适用于斜率存在的直线，方法②适用于任意的直线，但运算量较大。考生经常出错的是：用方法①但忽视对斜率的讨论。

易错点51 平行线间的距离公式使用不当
【问题】：求两条平行线1: 和2: 间的距离。
错解：
∴直线1与2的距离为2或1
剖析：技能不熟，求两条平行线间的距离时，没有把x、y的系数化成相同。
正确答案：
反思：两条平行线之间的距离是指其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离。若直线1: A x+By+C1=0和2: A x+By+C2=0(C1≠C2)，则直线1与2的距离为。常见的错误是忽视判断两直线中x、y系数是否相等。
易错点52 误解“截距”和“距离”的关系
【问题】：若直线与抛物线（y－1）2＝x －1在x轴上的截距相等，求a的值。
错解：直线在x轴上的截距为，抛物线（y－1）2＝x －1在x轴上的截距为2，∴,解得a=±1
剖析：概念模糊，错把截距当成距离。
正确答案：a=－1
反思：截距是指曲线与坐标轴交点的横（纵）坐标，它是一个实数，可为正数、负数、零，而距离一定是非负数，对此考生应高度重视。
易错点53 忽视直线点斜式和斜截式方程适用范围
【问题】：求过点（2，1）和（a，2）的直线方程。
错解：先求出斜率，故所求直线方程为y－1=（x－2）
剖析：知识残缺，未考虑k不存在的情况。
正确答案：当a=2时，直线方程为x=2,当时，直线方程为y－1=（x－2）
反思：点斜式和斜截式是两种常见的直线方程形式，应用非常广泛，但它们仅适用于斜率存在的直线。解题时一定要验证斜率是否存在，若情况不明，一定要对斜率分类讨论。
易错点54 忽视直线截距式方程适用范围
【问题】：直线经过点P（2，3），且在两坐标轴上的截距相等，求直线方程。
错解：设直线方程为（a≠0），将点P代入得a=5，∴的方程为x+y-5=0
剖析：知识残缺，不了解截距式方程适用范围，漏掉直线过原点的情况。
正确答案：x+y-5=0或3x-2y=0
反思：直线的截距式方程为( ab≠0)，