曲线拟合的最小二乘法市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx
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1、理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析第三章第三章 函数迫近函数迫近第1页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析曲线拟合最小二乘法问题曲线拟合最小二乘法问题在工程技术中经常需要依据试验数据求变量间函数在工程技术中经常需要依据试验数据求变量间函数关系,或依据测量坐标求出某条曲线方程。关系,或依据测量坐标求出某条曲线方程。给出一组
2、离散点,我们能够用插值方法确定一个给出一组离散点,我们能够用插值方法确定一个函数迫近原函数。在实际问题中,数据不可防止会函数迫近原函数。在实际问题中,数据不可防止会有误差,插值函数会将这些误差也包含在内。另外,有误差,插值函数会将这些误差也包含在内。另外,有时这些数据大量,或看似杂乱无章。有时这些数据大量,或看似杂乱无章。第2页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析 况且,有时依据前人经验或数据特点能够分况且,有时依据前人经验或数据特点能够分析出经验公式大致形
3、式,只是其中有些参数需要析出经验公式大致形式,只是其中有些参数需要依据确定依据确定,不便使用插值迫近。,不便使用插值迫近。这就需要新迫近方这就需要新迫近方法。法。引例、引例、某种合成纤维强度与其拉伸倍数有直接某种合成纤维强度与其拉伸倍数有直接关系,下表是实际测定关系,下表是实际测定24个纤维样品强度与个纤维样品强度与对应拉伸倍数统计。对应拉伸倍数统计。第3页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析数据表格数据表格第4页理学院University of Shang
4、hai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析将数据描绘到坐标纸上将数据描绘到坐标纸上第5页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析这种迫近方法要求:这种迫近方法要求:1)不要求迫近函数严格过已知数据点;不要求迫近函数严格过已知数据点;2)但要求迫近函数在某种意义下尽可能靠近已但要求迫近函数在某种意义下尽可能靠近已知数据点;知数据点;第6页理学院University of Sha
5、nghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析 设设 f(x)为定义在区间为定义在区间a,b上函数,已知上函数,已知f(x)一组一组对应数据对应数据(xi,f(xi),(i=1,2,m),Span 0,1,n为某一函数类为某一函数类,这一问题称为这一问题称为最小二乘问题。其中最小二乘问题。其中 (x)称为称为权函数权函数。曲线拟合最小二乘法曲线拟合最小二乘法定义定义在在 中求一个函数中求一个函数s(x)=a0 0+a1 1+an n使得使得第7页理学院University of Shanghai for S
6、cience and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析即要求:即要求:最小。最小。当取当取权函数权函数(x)1 时有时有第8页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析因为它关于系数因为它关于系数a0,a1,an最小,所以有:最小,所以有:记记称为函数称为函数 k和和 j内积内积。第9页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege o
7、f Science 上海理工大学上海理工大学数值分析则有则有于是有方程组:于是有方程组:法方程法方程由由线性无关性,知道该方程存在唯一解线性无关性,知道该方程存在唯一解第10页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析 多项式拟合多项式拟合当取当取 0 1,1 x,n xn时时,s(x)=a0+a1 x+an xn为一个多项式。为一个多项式。此时此时法方程为法方程为第11页理学院University of Shanghai for Science and Tech
8、nologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析1.线性拟合线性拟合已知已知f(x)一组对应数据一组对应数据(xi,f(xi),(i=1,2,m),取取 Span1,x,(x)1.用线性函数用线性函数:y=a+bx拟拟合曲线合曲线f(x)。法方程为法方程为第12页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析例例:炼炼钢钢是是个个氧氧化化脱脱碳碳过过程程,钢钢水水含含碳碳量量多多少少直直接接影影响响冶冶炼炼时时间间长长短短,下下表表给
9、给出出某某厂厂平平炉炉生生产产统统计计。xi表表示示熔熔毕毕碳含量,碳含量,yi表示冶炼时间表示冶炼时间 ,已知已知y=a+bx。i12345xi165123150123141yi187126170125148试试依依据据数数据据确确定定参参数数a 和和b,并并预预计计熔熔毕毕碳碳含含量量为为130时时冶冶炼时间。炼时间。第13页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析i12345 xi165123150123141702yi187126170125148758
10、xi2272251512922500151291988199864xi yi3085515498255001537520868108096法方程:法方程:5a+702b=758 ,702a+99864b=108096解之得:解之得:a=-28.61878453038674,b=1.283609576427256y-28.61878453038674+1.283609576427256x解:准备数据:解:准备数据:第14页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析f
11、(130)138.25.第15页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析2.抛物拟合抛物拟合已知已知 f(x)一组对应数据一组对应数据(xi,f(xi),(i=1,2,m),取取 Span1,x,x2,(x)1.用抛物曲线用抛物曲线:y=a+bx+cx2拟合曲线拟合曲线f(x)。法方程为法方程为第16页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工
12、大学数值分析 拟拟合合函函数数类类型型经经常常是是依依据据经经验验或或理理论论推推导导结结果果来来选选择择。当当无无法法分分析析拟拟合合函函数数类类型型时时,可可依依据据已已知知数数据据散散点点图图分分布布情况和特点选择适当拟合曲线类型。情况和特点选择适当拟合曲线类型。下下面面给给出出几几个个惯惯用用曲曲线线图图形形,并并可可经经过过适适当当变变换换将将其其化化为为较简单拟合:较简单拟合:几个常见曲线拟合线性化几个常见曲线拟合线性化第17页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上
13、海理工大学数值分析1.双曲双曲线线:(a0)第18页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析2.指数函数:指数函数:第19页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析3指数函数:指数函数:(a0)第20页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Sc
14、ience 上海理工大学上海理工大学数值分析4对对数函数:数函数:第21页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析5幂幂函数:函数:第22页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析6S曲线曲线第23页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Sci
15、ence 上海理工大学上海理工大学数值分析 现有一组测量数据以下表:现有一组测量数据以下表:xi0.00.51.01.52.02.5yi=f(xi)2.01.00.90.60.40.3用曲线拟合最小二乘法求形如用曲线拟合最小二乘法求形如y=beax经验公式,并用该经验公式,并用该公式预计公式预计x1.4时时y=f(1.4)近似值近似值.例例第24页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析解:解:将将y=beax变形,变形,lny=lnb+ax 令令Y=lny,a
16、0=lnb,则有线性关系:则有线性关系:Y=a0+ax,准备数据:,准备数据:于是法方程为:于是法方程为:解之得:解之得:a0=0.562303,a=-0.722282,于是于是b 1.754709.经验公式为经验公式为y=1.754709 e-0.722282 x,y=f(1.4)0.68335第25页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析散点图散点图第26页理学院University of Shanghai for Science and Technolo
17、gyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析拟合曲线图拟合曲线图第27页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析拟合曲线图与散点图对照拟合曲线图与散点图对照第28页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析加入点加入点 y=f(1.4)0.68335第29页理学院University of Shangh
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