[教案设计]高中数学人教B版教案-余弦定理教学提纲.doc
《[教案设计]高中数学人教B版教案-余弦定理教学提纲.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《[教案设计]高中数学人教B版教案-余弦定理教学提纲.doc(28页珍藏版)》请在咨信网上搜索。
1、精品文档教学设计整体设计教学分析对余弦定理的探究,教材是从直角三角形入手,通过向量知识给予证明的一是进一步加深学生对向量工具性的认识,二是感受向量法证明余弦定理的奇妙之处,感受向量法在解决问题中的威力课后仍鼓励学生探究余弦定理的其他证明方法,推出余弦定理后,可让学生用自己的语言叙述出来,并让学生结合余弦函数的性质明确:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角是直角;如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角;如果大于第三边的平方,那么第三边所对的角是锐角由上可知,余弦定理是勾股定理的推广还要启发引导学生注意余弦定理的几种变形式,并总结余弦定理的适用题型的特点,在解题时
2、正确选用余弦定理达到求解、化简的目的应用余弦定理及其另一种形式,并结合正弦定理,可以解决以下问题:(1)已知两边和它们的夹角解三角形;(2)已知三角形的三边解三角形在已知两边及其夹角解三角形时,可以用余弦定理求出第三条边,这样就把问题转化成已知三边解三角形的问题在已知三边和一个角的情况下,求另一个角既可以应用余弦定理的另一种形式,也可以用正弦定理用余弦定理的另一种形式,可以(根据角的余弦值)直接判断角是锐角还是钝角,但计算比较复杂用正弦定理计算相对比较简单,但仍要根据已知条件中边的大小来确定角的大小根据教材特点,本内容安排2课时一节重在余弦定理的推导及简单应用,一节重在解三角形中两个定理的综合
3、应用三维目标1通过对余弦定理的探究与证明,掌握余弦定理的另一种形式及其应用;了解余弦定理与勾股定理之间的联系;知道解三角形问题的几种情形2通过对三角形边角关系的探索,提高数学语言的表达能力,并进一步理解三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系,加深对数学具有广泛应用的认识;同时通过正弦定理、余弦定理数学表达式的变换,认识数学中的对称美、简洁美、统一美3加深对数学思想的认识,本节的主要数学思想是量化的数学思想、分类讨论思想以及数形结合思想;这些数学思想是对于数学知识的理性的、本质的、高度抽象的、概括的认识,具有普遍的指导意义,它是我们学习数学的重要组成部分,有利于加深学生对具体数学知识的理
4、解和掌握重点难点教学重点:掌握余弦定理;理解余弦定理的推导及其另一种形式,并能应用它们解三角形教学难点:余弦定理的证明及其基本应用以及结合正弦定理解三角形课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(类比导入)在探究正弦定理的证明过程中,从直角三角形的特殊情形入手,发现了正弦定理现在我们仍然从直角三角形的这种特殊情形入手,然后将锐角三角形转化为直角三角形,再适当运用勾股定理进行探索,这种导入比较自然流畅,易于学生接受思路2.(问题导入)如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判断方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形,能否把这个边角关系准确量化出来呢?也就是从已知的两边
5、和它们的夹角能否计算出三角形的另一边和另两个角呢?根据我们掌握的数学方法,比如说向量法,坐标法,三角法,几何法等,类比正弦定理的证明,你能推导出余弦定理吗?推进新课 (1)通过对任意三角形中大边对大角,小边对小角的边角量化,我们发现了正弦定理,解决了两类解三角形的问题.那么如果已知一个三角形的两条边及这两边所夹的角,根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.怎样已知三角形的两边及这两边夹角的条件下解三角形呢?(2)能否用平面几何方法或向量方法或坐标方法等探究出计算第三边长的关系式或计算公式呢?(3)余弦定理的内容是什么?你能用文字语言叙述它吗?余弦定理与以前学过的关于三
6、角形的什么定理在形式上非常接近?(4)余弦定理的另一种表达形式是什么?(5)余弦定理可以解决哪些类型的解三角形问题?怎样求解?(6)正弦定理与余弦定理在应用上有哪些联系和区别?活动:根据学生的认知特点,结合课件“余弦定理猜想与验证”,教师引导学生仍从特殊情形入手,通过观察、猜想、证明而推广到一般如下图,在直角三角形中,根据两直角边及直角可表示斜边,即勾股定理,那么对于任意三角形,能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面,我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题如下图,在ABC中,设BCa,ACb,ABc,试根据b、c、A来表示a.教师引导学生进行探究由于初中平面几何所接触的是解直角
7、三角形问题,所以应添加辅助线构成直角三角形在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作,故作CD垂直于AB于点D,那么在RtBDC中,边a可利用勾股定理通过CD、DB表示,而CD可在RtADC中利用边角关系表示,DB可利用AB,AD表示,进而在RtADC内求解探究过程如下:过点C作CDAB,垂足为点D,则在RtCDB中,根据勾股定理,得a2CD2BD2.在RtADC中,CD2b2AD2,又BD2(cAD)2c22cADAD2,a2b2AD2c22cADAD2b2c22cAD.又在RtADC中,ADbcosA,a2b2c22bccosA.类似地可以证明b2c2a22cacosB.c2a2b22a
8、bcosC.另外,当A为钝角时也可证得上述结论,当A为直角时,a2b2c2也符合上述结论这就是解三角形中的另一个重要定理余弦定理下面类比正弦定理的证明,用向量的方法探究余弦定理,进一步体会向量知识的工具性作用教师与学生一起探究余弦定理中的角是以余弦的形式出现的,又涉及边长问题,学生很容易想到向量的数量积的定义式:ab|a|b|cos,其中为a,b的夹角用向量法探究余弦定理的具体过程如下:如下图,设a,b,c,那么cab,|c|2cc(ab)(ab)aabb2aba2b22abcosC.所以c2a2b22abcosC.同理可以证明a2b2c22bccosA,b2c2a22cacosB.这个定理用
9、坐标法证明也比较容易,为了拓展学生的思路,教师可引导学生用坐标法证明,过程如下:如下图,以C为原点,边CB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,设点B的坐标为(a,0),点A的坐标为(bcosC,bsinC),根据两点间距离公式AB,c2b2cos2C2abcosCa2b2sin2C,整理,得c2a2b22abcosC.同理可以证明:a2b2c22bccosA,b2c2a22cacosB.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系,每一个等式中都包含四个不同的量,它们分别是三角形的三边和一个角,
10、知道其中的三个量,就可以求得第四个量从而由三角形的三边可确定三角形的三个角,得到余弦定理的另一种形式:教师引导学生进一步观察、分析余弦定理的结构特征,发现余弦定理与以前的关于三角形的勾股定理在形式上非常接近,让学生比较并讨论它们之间的关系学生容易看出,若ABC中,C90,则cosC0,这时余弦定理变为c2a2b2.由此可知,余弦定理是勾股定理的推广;勾股定理是余弦定理的特例另外,从余弦定理和余弦函数的性质可知,在一个三角形中,如果两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角是直角;如果两边的平方和小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角;如果两边的平方和大于第三边的平方,那么第三边所对的
11、角是锐角从以上可知,余弦定理可以看作是勾股定理的推广应用余弦定理,可以解决以下两类有关解三角形的问题:已知三角形的三边解三角形,这类问题是三边确定,故三角也确定,有唯一解;已知两边和它们的夹角解三角形,这类问题是第三边确定,因而其他两个角也唯一确定,故解唯一不会产生利用正弦定理解三角形所产生的判断解的取舍的问题把正弦定理和余弦定理结合起来应用,能很好地解决解三角形的问题教师引导学生观察两个定理可解决的问题类型会发现:如果已知的是三角形的三边和一个角的情况,而求另两角中的某个角时,既可以用余弦定理也可以用正弦定理,那么这两种方法哪个会更好些呢?教师与学生一起探究得到:若用余弦定理的另一种形式,可
12、以根据余弦值直接判断角是锐角还是钝角,但计算比较复杂用正弦定理计算相对比较简单,但仍要根据已知条件中边的大小来确定角的大小,所以一般应该选择用正弦定理去计算比较小的边所对的角教师要点拨学生注意总结这种优化解题的技巧讨论结果:(1)、(2)、(3)、(6)见活动(4)余弦定理的另一种表达形式是:(5)利用余弦定理可解决两类解三角形问题:一类是已知三角形三边,另一类是已知三角形两边及其夹角例1如图,在ABC中,已知a5,b4,C120,求c.活动:本例是利用余弦定理解决的第二类问题,可让学生独立完成解:由余弦定理,得c2a2b22abcos120,因此c.例2如图,在ABC中,已知a3,b2,c,
13、求此三角形各个角的大小及其面积(精确到0.1)活动:本例中已知三角形三边,可利用余弦定理先求出最大边所对的角,然后利用正弦定理再求出另一角,进而求得第三角教材中这样安排是为了让学生充分熟悉正弦定理和余弦定理实际教学时可让学生自己探求解题思路,比如学生可能会三次利用余弦定理分别求出三个角,或先求出最小边所对的角再用正弦定理求其他角,这些教师都要给予鼓励,然后让学生自己比较这些方法的不同或优劣,从而深刻理解两个定理的内涵解:由余弦定理,得cosBCA,因此BCA120,再由正弦定理,得sinA0.596 0,因此A36.6或A143.4(不合题意,舍去)因此B180ABCA23.4.设BC边上的高
14、为AD,则ADcsinBsin23.41.73.所以ABC的面积31.732.6.点评:在既可应用正弦定理又可应用余弦定理时,体会两种方法存在的差异当所求的角是钝角时,用余弦定理可以立即判定所求的角,但用正弦定理则不能直接判定 变式训练在ABC中,已知a14,b20,c12,求A、B和C.(精确到1)解:cosA0.725 0,A44.cosC0.807 1,C36.B180(AC)180(4436)100.例3如图,ABC的顶点为A(6,5),B(2,8)和C(4,1),求A.(精确到0.1)活动:本例中三角形的三点是以坐标的形式给出的,点拨学生利用两点间距离公式先求出三边,然后利用余弦定理
15、求出A.可由学生自己解决,教师给予适当的指导解:根据两点间距离公式,得AB,BC,AC2.在ABC中,由余弦定理,得cosA0.104 7,因此A84.0.点评:三角形三边的长作为中间过程,不必算出精确数值 变式训练用向量的数量积运算重做本例解:如例3题图,(8,3),(2,4),|,|.cosA0.104 7.因此A84.0.例4在ABC中,已知a8,b7,B60,求c及SABC.活动:根据已知条件可以先由正弦定理求出角A,再结合三角形内角和定理求出角C,再利用正弦定理求出边c,而三角形面积由公式SABCacsinB可以求出若用余弦定理求c,可利用余弦定理b2c2a22cacosB建立关于c
16、的方程,亦能达到求c的目的解法一:由正弦定理,得,A181.8,A298.2.C138.2,C221.8.由,得c13,c25,SABCac1sinB6或SABCac2sinB10.解法二:由余弦定理,得b2c2a22cacosB,72c28228ccos60.整理,得c28c150,解之,得c13,c25.SABCac1sinB6或SABCac2sinB10.点评:在解法一的思路里,应注意用正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程的观点去解决,故解法二应引起学生的注意综合上述例题,要求学生总结余弦定
17、理在求解三角形时的适用范围;已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形,同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法,即已知两边及一角解三角形可用余弦定理解之 变式训练在ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c.已知c2,C60.(1)若ABC的面积等于,求a,b;(2)若sinB2sinA,求ABC的面积解:(1)由余弦定理及已知条件,得a2b22abcos60c2,即a2b2ab4,又因为ABC的面积等于,所以absinC,ab4.联立方程组解得a2,b2.(2)由正弦定理及已知条件,得b2a,联立方程组解得a,b.所以ABC的面积SabsinC.1在ABC中,已知C
18、120,两边a与b是方程x23x20的两根,则c的值为()A. B7 C3 D.2已知三角形的三边长分别为x2x1,x21,2x1(x1),求三角形的最大角答案:1D解析:由题意,知ab3,ab2.在ABC中,由余弦定理,知c2a2b22abcosCa2b2ab(ab)2ab7,c.2解:比较得知,x2x1为三角形的最大边,设其对角为A.由余弦定理,得cosA.0A180,A120,即三角形的最大角为120.1教师先让学生回顾本节课的探究过程,然后再让学生用文字语言叙述余弦定理,准确理解其实质,并由学生回顾可用余弦定理解决哪些解三角形的问题2教师指出:从方程的观点来分析,余弦定理的每一个等式都
19、包含了四个不同的量,知道其中三个量,便可求得第四个量要通过课下作业,从方程的角度进行各种变形,达到辨明余弦定理作用的目的3思考本节学到的探究方法,定性发现定量探讨得到定理课本习题11A组4、5、6;习题11B组15.设计感想本教案的设计充分体现了“民主教学思想”,教师不主观、不武断、不包办,让学生充分发现问题,合作探究,使学生真正成为学习的主体,力求在课堂上人人都会有“令你自己满意”的探究成果这样能够不同程度地开发学生的潜能,且使教学内容得以巩固和延伸“发现法”是常用的一种教学方法,本教案设计是从直角三角形出发,以归纳猜想证明应用为线索,用恰当的问题通过启发和点拨,使学生把规律和方法在愉快的气
20、氛中探究出来,而展现的过程合情合理,自然流畅,学生的主体地位得到了充分的发挥纵观本教案设计流程,引入自然,学生探究到位,体现新课程理念,能较好地完成三维目标,课程内容及重点难点也把握得恰到好处环环相扣的设计流程会强烈地感染着学生积极主动地获取知识,使学生的探究欲望及精神状态始终处于最佳状态在整个教案设计中学生的思维活动量大,这是贯穿整个教案始终的一条主线,也应是实际课堂教学中的一条主线备课资料一、与解三角形有关的几个问题1向量方法证明三角形中的射影定理如图,在ABC中,设三内角A、B、C的对边分别是a、b、c.,().|2|cos(180C)|cosA.|cosC|cosA.bacosCcco
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 教案设计 高中 学人 教案 余弦 定理 教学 提纲
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【a199****6536】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【a199****6536】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。