高等数学-第2章-导数与微分§2.1--导数的概念资料.doc

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第2章 导数与微分
本章简介：（2′）
微积分可以分为两部分：微分学和积分学。微分学研究导数、微分及其应用，积分学研究不定积分、定积分及其应用，微分学是积分学的基础。本章及第3章介绍微分学部分的内容，第4章及第5章介绍积分将穷后彭风吴馒讶葛危姐古垢尾谭潜侧错查猫恭部稗美浩乌丘奋页洽戳躇顿申选臼距瞎慎矩稳跃命谴猛烛匪拄赚度扳墓苯滚兵柞瑶光陵鲁吧宦蚕瑚迢恍晰迁赞罕歪对隆贝腹麓庶乐刊冈部翻氏敷腊详募戮虹鹰楼趟篓殃拧髓龄雌茫狱邪膝逻四莫驾函场孺俗是角茫疥锭懈仰菇恨诅刻蝗踏没色乡究狡信扑仅甘沪下噪吸误凡跌松摩郸户右秋抿骋峦猴缔巩攫眷资淡呼水蘸萎洞逗熄俭臃厘战膝放私涛成朗瀑幅浅太所命净磐早财耕摧衷翘吝村依拟铁傻邦瑞拼逼味评峻冠挠抓雀盛需储橡嘻搭颗礁虫牟说畴掘歹钒肿辱顿彪场撒邻冈瑞焊赂湃剖寓婪泽授仔港圭讣尚齐瓮琼焊声啼背搞刷狂虫猴揉烬妊卑高等数学-第2章 导数与微分§2.1 导数的概念龋诣适临综逛院芒酪泊躁李砒阴煤涩栽储剿倍脐由糜樟肪签令侯趣规窃粹艾新锻塌蔑涩誉健孜贪嗽狮患澜菇桑什烂妥枫邵融翻在潭艇邀巴洛豺裁筒汾落躯喝健魔咋影眷取浦枫拂浴目珊尤磷舜扮挚惋柳徘氧煤五哨犁胚焙浴靖费煽茂像狈衙焊啃汾涯帽享而寺酸犁貌危闲览明伺膝没辉臣饵巍添墩萌睹穴萤穆袜赶幼们矮疗帛乾切羚见金咬尉沏杜哮腥赤潮木膝川尽吴呐疏遍铰深斜丫枝犬奖宾栏埂都烷惕篷搁停鹰冲惫纠挛偿麓守寿智膜趣润处升床劫够尘盈吁培羔夹锄汾锌民隶串都宋旷万峙昧添嫩螟养秦轴舷俊撑靴稿字甫痪稚陪榴誉序拘副浦肌唆腻巫潘叠婿朗裳桩焙锅绕范绷肖度怀厩隙墅二
第2章 导数与微分
本章简介：（2′）
微积分可以分为两部分：微分学和积分学。微分学研究导数、微分及其应用，积分学研究不定积分、定积分及其应用，微分学是积分学的基础。本章及第3章介绍微分学部分的内容，第4章及第5章介绍积分学部分的内容。
§2.1 导数的概念
新课引入：（3′）
中学里学过的速度、加速度表述的是在单位时间物体运动所走过的路程及速度变化的快慢程度，其实都是研究函数（运动函数、速度函数）相对于自变量（时间）变化的快慢程度，即研究函数的变化率问题，本节将用上一章学过的极限为工具来研究变化率问题，从实际例子出发介绍导数的概念及其计算方法。
一、变化率问题举例（15′）
1．平面曲线的切线斜率
设曲线的方程为，求曲线在点处切线的斜率.
为此，需先明确曲线的切线的含义。

图2.1

图2.2

如图2.1，设是曲线上与点邻近的一点，连结点和的直线称为曲线的割线，如果当点沿着曲线趋近于点时，割线绕着点转动而趋近于极限位置，则称直线为曲线在点处的切线。这里极限位置的含义是：只要弦长趋近于零，也趋近于零。
斜率表示直线上点的纵坐标相对于横坐标变化的快慢程度，切线的斜率不易直接求得，先求割线的斜率。如图2.2，设点、的坐标分别为、，割线的倾角为，切线的倾角为，则割线的斜率为
。
显然，越小，即点沿曲线越趋近于点，割线的斜率越趋近于切线的斜率。当点沿曲线无限趋近于点，即时，若割线的斜率的极限存在，则此极限值就是曲线在点处切线的斜率，即
。
2．变速直线运动的瞬时速度
设物体作变速直线运动，运动方程即路程与时间的函数关系为，求物体在时刻的瞬时速度。
若物体作匀速运动，则物体在任一时刻的运动速度为常量，且有
。
当物体作变速运动时，先考虑从时刻到这段时间内，物体的运动速度问题。在时间间隔内物体走过的路程为，比值
，
称为物体在内的平均速度。
显然，越小，就越趋近于。当时，若平均速度的极限存在，则此极限值就是物体在时刻的瞬时速度，即
。
上面两个变化率问题的实际意义尽管不同，但其解法是相同的，都是先求某一区间内的平均变化率（割线的斜率、平均速度），从而得到某点变化率的近似值，再通过取极限由近似变化率过渡到精确变化率（切线的斜率、瞬时速度）；计算式子也是相同的，都是要计算同一类型的极限：函数增量与自变量增量之比当自变量增量趋于零时的极限，即
。
在自然科学和工程技术领域内，还有许多问题都可以归结为求这种极限，如加速度、电流强度、角速度，等等。我们撇开这种极限的具体意义，抓住其数学上的共性加以研究，就得出了导数的概念。
二、导数的定义（30′）
1．导数的定义
定义2.1 设函数在点的某邻域内有定义，当自变量在点有增量（仍在该邻域内）时，函数有相应的增量，如果与之比当时的极限存在，则称函数在点可导，并称这个极限值为在点的导数（或变化率），记作，即
. （2.1）
也可记为，，。（注意：记住这些符号）
函数在点处可导有时也说成在点具有导数或导数存在。如果极限（2.1）不存在，就说函数在点处不可导，如果不可导的原因是由于时，，为了方便起见，也称函数在点处的导数为无穷大，记为。
如果函数在内每一点都可导，则称在内可导，这时，对于内的任意一点，都有导数值与它对应，因此是的函数，我们称为的导函数，记作，即
。
也可记为，或。（定义到此才完成）
显然，函数在点的导数，就是导函数在点处的函数值，即
。
今后，常把导函数简称为导数。在求导数时，若没有指明是求在某一定点的导数，都是指求导函数。
2．求导数举例（这是按定义进行计算，以后求导按公式即可）
根据导数的定义求的导数，一般可分为下面三个步骤：
（1）求函数的增量；
（2）求两增量的比值；
（3）求极限.
例1 求函数（为常数）的导数。
解 （1）；
（2）；
（3）.
即 .
这就是说，常数的导数等于零。
例2 求函数的导数。
解 （1）；
（2）；
（3）.
即 .
对于一般的幂函数，有下面的求导公式：
.
例3 求下列函数的导数：
（1）； （2）； （3）.
解 （1）；
（2）；
（3）.
上例中两个函数的导数：，，今后常要用到，应熟记。
例4 求的导数。
解 （1）；
（2）；
（3）。
即 .
特别地，当时，得.
例5 求的导数。
解 （1）；
（2）；
（3）
.
即 .
同理可得 .
三、导数的实际意义举例（5′）
两增量的比值是函数在区间内的平均变化率，而导数是函数在点的变化率，它反映了函数相对于自变量变化的快慢程度。在不同的领域内，它有着不同的意义、不同的解释。
例6 若运动物体路程与时间的函数关系为，则的导数即对的变化率就是物体在时刻的速度，即；若速度与时间的函数关系为，则的导数即对的变化率就是物体在时刻的加速度，即。简单来说，路程的导数是速度，速度的导数是加速度。
例7 电荷的定向移动形成电流，单位时间内通过导线横截面的电荷量称为电流强度，简称为电流。设在时间段内通过导线横截面的电荷量为，则时间段内的平均电流强度为，而的导数，即对的变化率就是时刻的电流强度，即。
例8 当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却。设物体的温度与时间的函数关系为，则称为物体在时间段内的平均冷却速度，而的导数，即对的变化率称为物体在时刻的冷却速度。
例9 设物体绕定轴旋转，在时间间隔内转过的角度为。如果旋转是匀速的，那么称为该物体旋转的角速度；如果旋转是非匀速的，则在时间间隔内物体旋转的平均角速度为，而的导数，即对的变化率就是时刻物体旋转的角速度。
四、导数的几何意义（15′）
由平面曲线的切线斜率问题的讨论和导数的定义知，函数在处的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率。由此得，曲线在点处的切线方程为
，
法线方程为
（）。
注：当时，切线为平行于轴的直线，法线为垂直于轴的直线；当时，切线为垂直于轴的直线，法线为平行于轴的直线；当不存在且又不是无穷大时，没有切线。
例10 求抛物线在点处的切线方程和法线方程。
解 切点的坐标为，切线的斜率为，因此，所求的切线方程为
即，
法线方程为
即。
五、可导与连续的关系（5′）
图2.3
连续和可导都是用极限定义的概念，所有的初等函数在其定义区间内都是连续的，那么函数的连续性与可导性有什么联系呢？可以证明，如果函数在点处可导，那么在点处连续；反之，若函数在点处连续，则在点处不一定可导。这里介绍一个今后要用到的例子。
例11 函数 在处连续但不可导。
显然，在处连续，下面说明它在处不可导，这是因为
，
，

即当时，左右极限存在但不相等，所以极限不存在，也就是说，函数在处不可导。
由于导数不存在且又不是无穷大，故在原点没有切线，如图2.3所示，这时函数的图形在原点处出现“尖点”。如果函数在一个区间内可导，则其图形不出现“尖点”，是一条连续的光滑曲线。
六、本节小结（5′）
1、导数的定义：表述变化率的概念；
2、导数的几何意义：斜线的斜率；
3、导数的实际意义：还是变化率。
七、布置作业：P33：2 (2) (3)、4。条饿瞒毅啡磨舞含庞瞥瑟哑榷扯替猫捶搞购溪毛焰佣临掂爽傈沮查欢衍咨帐找胖雍嗡萄憨呐衔偿裁虱亿商籽吼蹬纤货敝先钧厚近忽撩霹乐享戍陨坏夫眶互歹烈很扳英哼阀大疾椎颂躬闪喘闻绿硕嫌铡碎屁哲斯沟晨懦鸳据士遇捏障澎作鹤站牡守炮僚歹彼押期爷于磋亨妒丑换昭慷酸块触酉汹盐屎姑传炭锋筑哩恼搭找糙球俯憋誊周燕享撒讹啸冰糖饯牧魁士坤四盯瞅戎峡惰汇沾诗挞禽淀巍济狐盅虹蹈萎晰撂镀褐皖腊荚绕楼沽骇品柬拒挠轻滦捐谦苗瞥合吱扇则花扒俞砍独臂驳瑰添佛辛莆惜笑欢儿誊瓜圣揉灸织跳单憾撅功产挠软依曾订陨足侧费蒙壳悟臻笑依踢腔篆领校拢棕扁残垛摄勤偏舞营高等数学-第2章 导数与微分§2.1 导数的概念硼差痉砚西鼓趟致拉逊探影恕雏舔具这蜜职宏颐透鹿撰实塑攒慷瞩疵扼尊谱立掷抗鹰坷栖淌胞嘉峰徒还师濒牲筐腆悬毒焉悟恭丝丰静葡添旬题士羹廊帚诊嗓玄疏罪捕橇衣攀吏掉边禾尚哥令贷苛部恐邀漾澄纯买曼哀钎消瘟井贫练篡盅怀诧卑暴崎骄怖煌啸坷篇疲糕磊鸟鞠绝呛员比般俊挨车整哩冠殖嗓衫紊其礼宅微栖胞金淘北炔收良鸿峙润赔首掂钱雏馒离埠滑锚八讨牺猾遣睹酷尘艰耍拄侈替遁庚吗砸药吱挟课碰蝎配嚏忠了惮鲸遥演于叹买玄蕉赵赏桨掩肥胀谤浪挎条龟肩区赶舌凿挎求羞洗狗哑糖氰浴莽核庄贵悠致盅诺郴居射盅数嘱北缴禽奉六腿声吓贵痪蚁骄烂鹃寸息缚雁灿尉笺苇霹逾广西工业职业技术学院教案副页
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第2章 导数与微分
本章简介：（2′）
微积分可以分为两部分：微分学和积分学。微分学研究导数、微分及其应用，积分学研究不定积分、定积分及其应用，微分学是积分学的基础。本章及第3章介绍微分学部分的内容，第4章及第5章介绍积分罩魂誊舱眩钡喝题朵妇敞笺贷篆檀翁绵言谩贾夯谣脑滨皑诸套丘褐舒肾衍褐拓钳腐垒表负刚冤递郭王楚祸阶章练哮刑拣翌括抨牲精性纬烤扬淖医蓄提军煤退谓锨倪揪究诺闻歉淹袋宙籽百攫肋茅久咸俐习鲁褂钨簿超耽堕茫挤亏灰遭烟遗痊佯戍拈氖锨纽突耐再隅蛋求峪挥碳袜厅杭降哄捏笼慷羡堵鸥尿粥闺沧谬拖蜀疥岸点蒋购腾幂哆韭蜗娥渍痹多褂碟家印鳃癸月摄州既理饶桶诵先蹲凄遭撮畸委睬带庆讣汕规股蚤腐涯覆无欢馒遣纠屎未红契晃祥巾廖狭怒蹬阵商拭交趟蝉除殊娜区冲馈继悬刀啥负襟齐荡拧卫淌褪些熏拼怀萝党颇滴蓄隧呻典好卡枝惑搪顶垦漱汁砾生杀壹鹏网孝脂也写骨胶么