高考湖南理科数学试题及答案word解析版.docx
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1、2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(理科)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(1)【2013年湖南,理1,5分】复数(为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限【答案】B【解析】,对应点为,故在第二象限,故选B【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,属基础题(2)【2013年湖南,理2,5分】某学校有男、女学生各500名为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是( )(A)抽签
2、法 (B)随机数法 (C)系统抽样法 (D)分层抽样法【答案】D【解析】总体由男生和女生组成,比例为500:500=1:1,所抽取的比例也是1:1故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是分层抽样法,故选D【点评】本小题主要考查抽样方法,属基本题(3)【2013年湖南,理3,5分】在锐角中,角,所对的边长分别为若,则角等于( )(A) (B) (C) (D)【答案】D【解析】在中,由正弦定理得:,又为锐角三角形,故选D【点评】本题考查正弦定理,将“边”化所对“角”的正弦是关键,属于基础题(4)【2013年湖南,理4,5分】若变量满足约束条件,则的最大值是( )(A) (B)
3、0 (C) (D)【答案】B 【解析】约束条件表示的可行域为如图阴影部分令,即,由线性规划知识可得最优点为,所以,故选B【点评】本题给出二元一次不等式组,求目标函数的最大值,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题(5)【2013年湖南,理5,5分】函数的图像与函数的图像的交点个数为( )(A)3 (B)2 (C)1 (D)0【答案】B【解析】解法一:设与图象的交点坐标为,则,联立得,令,由得,(舍)当,即时,单调递减;当,即时,单调递增又,与轴必有两个交点,故选B解法二:在同一坐标系下,画出函数的图象与函数的图象如下图:由图可知,两个函数图象共有2个交点,故
4、选B【点评】求两个函数图象的交点个数,我们可以使用数形结合的思想,在同一坐标系中,做出两个函数的图象,分析图象后,即可等到答案(6)【2013年湖南,理6,5分】已知是单位向量, 若向量满足, 则的取值范围是( )(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】由题意,不妨令,由得, 可看做到原点的距离,而点在以为圆心,以1为半径的圆上如图所示,当点在位置时到原点的距离最近,在位置时最远,故选A【点评】本题考查平面向量的数量积运算,根据题意作出图象,数形结合是解决本题的有力工具(7)【2013年湖南,理7,5分】已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能
5、等于( )(A)1 (B) (C) (D)【答案】C【解析】根据三视图中正视图与俯视图等长,故正视图中的长为,如图所示故正视图的面积为,而,故面积不可能等于,故选C【点评】正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为是解题的关键(8)【2013年湖南,理8,5分】在等腰直角三角形中,点是边上异于的一点,光线从点出发,经发射后又回到原点(如图)若光线经过的重心,则等于( )(A)2 (B)1 (C) (D)【答案】D【解析】以为原点,为轴,为轴建立直角坐标系如图所示则, 设的重心为,则点坐标为设点坐标为,则点关于轴的对称点为,因为直线方程为,所以点关于的对称点为,根据光线反射原理,均在所在直
6、线上,即,解得,或当时,点与点重合,舍去,故选D【点评】本题考查直线与点的对称问题,涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用,属中档题二、填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答,如果全做,则按全两题记分)(二)必做题(1216题)(9)【2013年湖南,理9,5分】在平面直角坐标系中,若直线 (为参数) 过椭圆(为参数)的右顶点,则常数的值为 【答案】3【解析】由题意知在直角坐标系下,直线的方程为,椭圆的方程为,所以其右顶点为由题意知,解得【点评】本题考查了参数方程和普通方程的互化,考查了直线和圆锥曲线的关系,是基础
7、题(10)【2013年湖南,理10,5分】已知,则的最小值为 【答案】12【解析】由柯西不等式得,即,当时等号成立,所以的最小值为12【点评】本题给出等式,求式子的最小值着重考查了运用柯西不等式求最值与柯西不等式的等号成立的条件等知识,属于中档题(11)【2013年湖南,理11,5分】如图,在半径为的中,弦,相交于点,则圆心到弦的距离为 【答案】【解析】如图所示,取中点,连结,由圆内相交弦定理知,所以,则,所以到距离为【点评】此题主要考查了相交弦定理,垂径定理,勾股定理等知识,题目有一定综合性,是中考中热点问题(二)必做题(1216题)(12)【2013年湖南,理12,5分】若,则常数的值为
8、【答案】3【解析】,【点评】本题考查定积分、微积分基本定理,属基础题(13)【2013年湖南,理13,5分】执行如图3所示的程序框图,如果输入,则输出的的值为 【答案】9【解析】输入,不满足,故;不满足,故;不满足,故;不满足,故,满足,终止循环输出【点评】根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处理方法是:分析流程图(或伪代码),从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多,也可使用表格对数据进行分析管理)建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型解模(14)【2013年湖南,理14,5分】设是双曲线
9、的两个焦点,是上一点,若,且的最小内角为,则的离心率为 【答案】【解析】不妨设,由,可得,得,即,【点评】本题考查双曲线的定义,双曲线的离心率的求法,考查计算能力(15)【2013年湖南,理15,5分】设为数列的前项和,则(1) ; (2) 【答案】(1)(2)【解析】(1)由,当时,有,得当时,即若为偶数,则所以(为正奇数);若为奇数,则所以(为正偶数)所以(2)(为正奇数),所以,又(为正偶数),所以则,则所以, 【点评】本题考查了数列的求和,考查了数列的函数特性,解答此题的关键在于当为偶数时能求出奇数项的通项,当为奇数时求出偶数项的通项,此题为中高档题(16)【2013年湖南,理16,5
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