湖北版2022届高三上学期第二次月考-数学(理)-Word版含答案.docx

其次次月考数学理试题【湖北版】
本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟
第Ⅰ卷 （选择题，50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1、已知集合，则
A． B． C． D．
2、下列命题中真命题的个数是
（1）若命题中有一个是假命题，则是真命题．
（2）在中，“”是“”的必要不充分条件．
（3）表示复数集，则有．
A．0 B．1 C．2 D．3
3、已知四个函数：①；②；③；④的图象如下，但挨次打乱，则依据图象从左到右的挨次，对应的函数正确的一组是

A．①④②③ B．①④③② C．④①②③ D．③④②①
4、已知，则的大小关系是
A． B． C． D．
5、将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
A．由最大值，最大值为 B．对称轴方程是
C．是周期函数，周期 D．在区间上单调递增

6、已知函数的导函数，
，则中最大的数是
A． B． C． D．
7、已知，若函数满足，则称为区间上的一组“等积分”函数，给出四组函数：
①； ②；
③；
④函数分别是定义在上的奇函数且积分值存在．
其中为区间上的“等积分”函数的组数是
A．1 B．2 C．3 D．4
8、已知，若对任意实数恒成立，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
9、已知由不等式组，确定的平面区域的面积为7，定点M的坐标为，若，O为坐标原点，则的最小值是
A． B． C． D．
10、已知函数设两曲线有公共点，且在该点处的切线相同，则时，实数的最大值是
A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上
11、已知向量与向量的夹角为，若且，则在上的投影为
12、已知偶函数在上满足：当且时，总有， 则不等式的解集为
13、点O是锐角的外心，，若，
则
14、定义在正整数集上的函数满足（1）；（2），则有
15、（选修4-4：坐标系与参数方程）
曲线C的参数方程是（为参数，且），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D的方程为，取线C与曲线D的交点为P，则过交点P且与曲线C相切的极坐标方程是
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤
16、（本小题满分12分）
已知集合，集合，函数的定义域为集合B．
（1） 若，求集合；
（2） 命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围．

17、（本小题满分12分）
在中，所对的边分别为，向量，向量
若．
（1）求角A的大小；
（2）若外接圆的半径为2，，求边的长．

18、（本小题满分12分）
据气象中心观看和猜想：发生于沿海M地的台风已知向正南方向移动，其移动速度与时间的函数图象如图所示，过线段OC上一点作横轴的垂线，梯形OABC在直线左侧部分的面积即为内台风所经过的路程．
（1）当时，求的值，并将随变化的规律用数学关系式表示出来；
（2）若N城位于M地正南方向，且距N地，试推断这场台风师父会侵袭到N城，假如会，在台风发生后多出时间它将侵袭到N城？假如不会，请说明理由．

19、（本小题满分12分）
某地一天的温度（单位：）随时间（单位：小时）的变化近似满足函数关系：
，且早上8时的温度为，．
（1）求函数的解析式，并推断这一天的最高温度是多少？毁灭在何时？
（2）当地有一通宵营业的超市，我节省开支，跪在在环境温度超过时，开启中心空调降温，否则关闭中心空调，问中心空调应在何时开启？何时关闭？

20、（本小题满分13分）
已知函数（其中为常数）
（1）假如函数和有相同的极值点，求的值，并写出函数的单调区间；
（2）求方程在区间上实数解的个数．

21、（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）若不等式对任意的正实数恒成立，求正实数的取值范围；
（Ⅲ）求证：
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．解析：D 依题意；化简集合，，
利用集合的运算可得：.故选D.
2．解析：C 命题（1）（2）是真命题，（3）是假命题，故选C
3．解析：A ①是偶函数，其图象关于轴对称；②是奇函数，其图象关于原点对称；③是奇函数，其图象关于原点对称．且当时，；④为非奇非偶函数，且当时，；当时，；故选A.
4．解析：B 由指数函数和对数函数的性质可知，而，
，所以有，故选B.
5．解析：D
化简函数得，所以
易求最大值是2，周期是，由，得对称轴方程是
由，故选D.
6．解析：A 由于函数是可导函数且为单调递减函数，分别表示函数在点处切线的斜率，由于，，故分别表示函数图象上两点和两点连线的斜率，由函数图象可知确定有，四个数中最大的是，故选.
7．解析：C 对于①，，或者利用积分的几何意义（面积）直接可求得，而，所以①是一组“等积分”函数；对于②，，而，所以②不是一组“等积分”函数；对于③，由于函数的图象是以原点为圆心，1为半径的半圆，故，而，所以③是一组“等积分”函数；对于④，由于函数分别是定义在上的奇函数且积分值存在，利用奇函数的图象关于原点对称和定积分的几何意义，可以求得函数的定积分，所以④是一组“等积分”函数，故选C
8．解析：B 由柯西不等式得, ,
即,即的最大值为3，当且仅当时等号成立；
所以对任意实数恒成立等价于对任意实数恒成立，又由于对任意恒成立，因此有即，解得，故选B.
9．解析： B 依题意：画出不等式组所表示的平面区域（如右图所示）可知其围成的区域是等腰直角三角形面积为，由直线恒过点，且原点的坐标恒满足，
当时，，此时平面区域的面积为，由于，由此可得.
由可得，依题意应有，因此（，舍去）
故有，设，故由，可化为，所以当直线过点时，截距最大，即取得最小值，故选B．
10．解析：D
依题意：，，由于两曲线，有公共点，设为 ，所以，由于，
所以，因此
构造函数，由，当时，即 单调递增；当时，即单调递减，所以即为实数的最大值.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.
11．解析： 由于向量与向量的夹角为，所以在上的投影为，问题转化为求，
由于
故
所以在上的投影为.
12．解析： 依题意：偶函数在上单调递减，所以在上单调递增，直接构造函数，问题转化为解不等式，解之得：，
所以不等式的解集为.
另解：依题意：偶函数在上单调递减，所以在上单调递增，
由于，即
所以不等式的解集为.

13．解析：
如图，点在上的射影是点，它们分别为的中点，由数量积的几何意义，可得，

依题意有
，即，
同理，即
综上，将两式相加可得：，即
14．解析： (2分) （3分） 留意到和，
易求得；
由于，所以
故有
15．解析：
曲线即直线的一般方程为，又曲线即圆心为，半径为2的半圆，其方程为，留意到，所以，联立方程组得，解之得，故交点的坐标为.过交点且与曲线相切的直线的一般方程是，对应的极坐标方程为.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
解析：
（1）由于集合，由于
函数，由，
可得集合…………2分
， …………………………………………4分
故. ……………………………6分
（2）由于是的必要条件等价于是的充分条件，即
由，而集合应满足，
由于
故， ……………………8分
依题意就有：
， ………………………………………10分
即或
所以实数的取值范围是. …………………12分

17．（本小题满分12分）
解析：（Ⅰ）依题意：，由于
所以 ，化简得：
，
故有. …………………6分
（Ⅱ）依题意，在中，由正弦定理，所以，
由余弦定理可得：，
化简得：，解得：（负值舍去）.…………12分

18．（本小题满分12分）
解析：（Ⅰ）由图象可知：
直线的方程是：，直线的方程是：
当时，，所以
. …………………………………2分
当时，； ………………………3分
当时，…………………4分
当时，
…………5分
综上可知随变化的规律是
………………………………………7分
（Ⅱ），
， …………………………………………8分
, …………………………9分
当时，令，解得，（舍去）…………………………11分
即在台风发生后30小时后将侵袭到城. ……………………12分

19．（本小题满分12分）
解析：
（Ⅰ）依题意
……………………2分
由于早上时的温度为，即，
……………………3分
，故取，，
所求函数解析式为
. …………………………………5分
由，，可知，
即这一天在时也就是下午时毁灭最高温度，最高温度是.…………7分
（Ⅱ）依题意：令，可得
……………………………9分
，或，
即或，………………11分
故中心空调应在上午时开启，下午时（即下午时）关闭…………12分

20．（本小题满分13分）
解析：（Ⅰ），
则， ……………………1分
令，得或，而二次函数在处有极大值，
∴或；
综上：或． ………………………4分
当时，的单调增区间是，减区间是……5分
当时，的单调增区间是，减区间是； ………………6分
（Ⅱ）
， …………8分
，
当时，，无解，故原方程的解为，满足题意，即原方程有一解，； ……………9分
当时，，的解为，故原方程有两解，；
当时，，的解为，故原方程有一解，；
当时，，由于
若时，在上有一解，故原方程有一解；
若时，在上无解，故原方程有无解；
当时，，由于
在上有一解，故原方程有一解； …………………11分
综上可得：当时，原方程在上无解；当或时，原方程在上有一解；当时，原方程在上有两解.……………13分

21．（本小题满分14分）
解析：
（Ⅰ）令函数，定义域是
由，可知函数在上单调递减
故当时，，即.………………………3分
（Ⅱ）由于，故不等式可化为……
问题转化为式对任意的正实数恒成立，
构造函数，
则，……………6分
（1）当时，，即在上单调递增，
所以，即不等式对任意的正实数恒成立.
（2）当时，
因此，函数单调递减；
，函数单调递增，
所以
，令，
由(Ⅰ)可知，不合题意.
综上可得，正实数的取值范围是. ………………10分
（Ⅲ）要证，即证，
由（Ⅱ）的结论令，有对恒成立，
取可得不等式成立，
综上，不等式成立. ………………………………14分