黑龙江省双鸭山市第一中学2022届高三上学期期中试题-数学(理)-Word版含答案.docx

双鸭山一中2022届高三上学期期中考试
数学试卷（理工类）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．函数的定义域是 （ ）
A． B． C． D．
2． 已知为虚数单位，，若为纯虚数， 则复数 在复平面内
对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知命题，命题,则（ ）
A．命题是假命题 B．命题是真命题
C．命题是真命题 D．命题是假命题
6．若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则的值为（ ）
A. B. C. 　D.
7．正方体-中，与平面所成角的余弦值为 （ ）
A． B． C． D．
8.已知、是不同的直线，、是不同的平面，有下列命题：
① 若∥，则∥ ② 若∥，∥，则∥
③ 若∥，则∥且∥ ④ 若，则∥
其中真命题的个数是 （ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
9．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，
则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(　　)

A. B. C. D.
10．已知在的内部，满足0，则的面积与的面积之比为
（ ）
A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　　 D．
11．已知数列是等差数列，其前项和为，若首项且，有下列四个命题:；；数列的前项和最大；使的最大值为；
其中正确的命题个数为（ ）
A. 1个 B.2个 C.3个 　D.4个
12.定义在上的函数满足下列两个条件：（1）对任意的恒有成立；（2）当 时，．记函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题后的横线上）
13.已知数列中，，且数列为等差数列，则 .
14．已知，若与夹角为钝角，则实数的取值范围是 __.
15.在中，、、分别为、、的对边，假如、、成等差数列，,的面积为，那么_________.
16.已知函数f(x)＝x＋sin x(x∈R)，且f(y2－2y＋3)＋f(x2－4x＋1)≤0，则当y≥1时，的取值范围是________．　
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （本小题10分）已知函数的最大值为．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程＝m在x∈上
有解，求实数m的取值范围．

18.（本小题12分）某家庭进行理财投资，依据长期收益率市场猜想，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元。
（1）分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系式；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎样支配资金才能获得最大收益？
其最大收益为多少万元？
19．（本小题12分）
如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，
DE＝3AF，BE与平面ABCD所成角为60°.
(1)求证：AC⊥平面BDE；
(2)求二面角F­BE­D的余弦值．

20. （本小题12分）数列的前项和为，且满足,.
（1）证明: 是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求证：

21. （本小题12分）在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，
圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．

22. （本小题12分）设函数，其中。
（1）当时，推断函数在定义域上的单调性；
（2）当时，求函数的极值点；
（3）证明:对任意的正整数 ，不等式都成立.
参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
D
C
A
C
A
D
B
D
B
C
B
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）
，------------------------------2分
由，解得
，所以函数的单调递增区间--------5分
（3）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，
－1（ 或写成=2cos(2x+)－1 ）
当时，，取最大值; 当时，，取最小值-3.
方程＝m在x∈上有解，即 -3≤m≤ ---------10分
18.解：（1）设两类产品的收益与投资额的函数关系分别为
（1） （x≥0）， （x≥0），，
     （），（）（两个函数各3分）…………………（6分）
（2）设：投资债券类产品万元，则股票类投资为万元。
         …………………（8分）
令，则=     …………………（10分）
=所以，当，即万元时，收益最大，万元．………（12分）
19.解：(1)证明：由于DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DE⊥AC. 由于ABCD是正方形，所以AC⊥BD.
又BD，DE相交且都在平面BDE内，从而AC⊥平面BDE. ----------4
(2)由于DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示．
由于DE⊥平面ABCD，所以BE与平面ABCD所成角就是∠DBE.已知BE与平面ABCD所成角为60°，所以∠DBE＝60°，所以＝. -------------------6
由AD＝3可知DE＝3，AF＝.
由A(3，0，0)，F(3，0，)，E(0，0，3)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，
得＝(0，－3，)，＝(3，0，－2)．设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则即令z＝，则n＝(4，2，)．
由于AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，＝(3，－3，0)，----------10
所以cos〈n，〉＝＝＝.
由于二面角为锐角，所以二面角FBED的余弦值为.------------------12
20.证明：（1），
． 又，
是首项为，公比为的等比数列，∴． 时，，
时，
．也符合上式，故．--------------------------6
（2）
．-------------------------------12
21.解　(1)由题意知，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，由题意得，＝1，解得k＝0或－，
故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0. -------------------------4
(2)由于圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.
设点M(x，y)，由于MA＝2MO，所以＝2，
化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，
所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．------------------8
由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则2－1≤CD≤2＋1，
即1≤≤3.由5a2－12a＋8≥0，得a∈R.由5a2－12a≤0，得0≤a≤.
所以圆心C的横坐标a的取值范围为.-------------------12
22.解（1）当，f’（x）=(2x+1)2/2(x+1)≥0
所以函数定义域（-1，+∞）上单调递增--------------3
（2） 当时，令=0解得两个不同解
当b＜0时，
此时在（-1，x2）减，在（x2，+∞）增，∴上有唯一的微小值点
当时，在都大于0，在上小于0，
此时有一个极大值点和一个微小值点 综上可知，
时，有一个极大值点和一个微小值点
（2）b＜0，时，在（-1，+∞）上有唯一的微小值点 -----------8
（3）当b=-1时，
令上恒正
∴在上单调递增，当x∈（0，+∞）时，恒有
即当x∈（0，+∞）时，有，
对任意正整数n，取 -------------------12分