广东省培正中学2020-2021学年高二下学期期末考试文科数学试题-Word版含答案.docx

广州市培正中学2022-2021学年其次学期期末考试
高二数学试题
（满分：150分；考试时间：120分钟）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足，则复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限
3．函数的定义域是（ ）
A． B． C．D．
4．在△中，，，，则的值是（ ）
A． B．
C． D．
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）
A． B．
C． D．
6．如图是某算法的程序框图，则输出的（ ）
A． B． C． D．
7．已知异面直线、分别在平面、内，且，则直
线与、的位置关系是（ ）
A．与、都相交 B．至多与、中的一条相交
C．与、都不相交 D．至少与、中的一条相交
8．过点和，圆心在轴上的圆的方程是（ ）
A． B． C． D．
9．小明同学每天下午到之间放学到家学习，小刚同学每天下午到之
间到达小明家给他辅导功课，则小刚到小明家时就能见到小明的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．在直角坐标系平面中，已知点，，，…，，其中
是正整数，对于平面上任意一点，记为关于点的对称点，为关于点
的对称点，…，为关于点的对称点，则对任意偶数，用表示向量的
坐标为（ ）
A． B．
C． D．

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11～13题）
11．已知等差数列，满足，则此数列的前项的和 ．
12．函数，已知是函数的一个极值点，则实数 ．
13．已知平面直角坐标系上的区域D由不等式组给定．若为
上动点，点的坐标为，则的最大值是 ．
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（，）中，曲线
与的交点的直角坐标系坐标为 ．
15．（几何证明选讲选做题）如图，两圆相交于、两点，为两圆公共弦上任一
点，从引两圆的切线、，若，则 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数，．
（1）求的值；
（2）若，，求．

17．（本小题满分12分）
在某中学进行的环保学问竞赛中，随机抽取名参
赛同学的成果（得分的整数）进行整理后分成五组，绘制
出如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第
一、第三、第四、第五小组的频率分别为，，
，，其次小组的频数为．
（1）求其次小组的频率，并补全这个频率分布直方图，画出频率分布折线图；
（2）若接受分层抽样的方法，从样本中随机取人，则第三组和第四组各抽取多少
人？
（3）在（2）的条件下，从第三组和第四组抽取的人中任选取人，则她们不在同一
组别的概率是多少？

18．（本小题满分14分）
如图，是长方体，已知 ，，、分别是上下底面和的对角线的交点，是的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面；
（3）求点到平面的距离．

19．（本小题满分14分）
设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，．
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）令，证明：对一切正整数，有．

20．（本小题满分14分）
在平面直角坐标中，动点到定直线：的距离比到定点的距离大，是轴上一动点．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）当时，过作直线，交动点的轨迹于、两点，证
明：为定值；
（3）设是轨迹方程在轴上方的点，过作垂直于轴，垂足为，
为的中点，以为圆心，为半径作圆，争辩直线与圆的位
置关系．

21．（本小题满分14分）
已知函数（且）．
（1）当时，求函数的极值；
（2）求函数在区间上的最小值。

班级___________ 姓名____________ 学号_________

--------------------------------------------密----------------------------------------封------------------------------------线----------------------------------------------------------
广州市培正中学2022-2021学年其次学期期末考试
高二数学答卷
选择题成果
非选择题成果
总分

第Ⅱ卷 非选择题 （共 分 ）

以下为非选择题答题区，必需用黑色字迹的签字笔或钢笔在指定的区域内作答，否则无效。

二、填空题
11． 12． 13．
14． 15．

三、解答题

16．

17．

18．

19．

20．

21.

广州市培正中学2022-2021学年其次学期期末考试
高二数学参考答案
一、选择题
1．A．【解析】，．
2．A．【解析】由得，所以对应的点位于第一象限．
3．C．【解析】由可得且，于是．
4．D．【解析】由与垂直，可得，所以．
5．B．【解析】由三视图可知，该几何体为一个三棱柱，体积为相对应的长方体的体积一
半，所以体积为．
6．C．【解析】第一次执行循环，，；其次次执行循环，，；第三
次执行循环，，；第四次执行循环，，．此时退出循环，输
出．
7．D．【解析】不能选C，否则与、分别平行，进而∥，与、为异面直线相
冲突；若与、中一条平行，而与另一条相交，由直观性易知，这是可能的；同样，
与、都相交也是可能的．
8．C．【解析】线段的垂直平分线方程为，即为．令，得，
即圆心为．由两点间的距离公式，得．所以适合题意的圆的方
程为．
9．B．【解析】设小明时刻到家，则，小刚时刻到
小明家，则，两人若要相见，需，即小刚
在小明到家之后到达．如图所示，由几何概型求得．
10．A．【解析】设为任意偶数，则
，由条件可知，所以
．
二、填空题
11．填．【解析】．
12．填．【解析】，则为方程的根，所以．
13．填．【解析】，画出不等式组所表示
的平面区域，平移代表直线，可得直线过点
时目标函数取得最大值．
14．填．【解析】两式相除得，所以，
．于是，，所以
交点的直角坐标系坐标为．
15．填．【解析】由切割线定理可得，，所以，
即．
三、解答题
16．（本小题满分12分）
【解析】（1）由于，所以． ……4分
（2）由于，，所以．
……6分
所以，． ……8分
所以
．……12分
17．（本小题满分12分）
【解析】（1）由于各小组的频率之和为，第一、三、四、五组的频率分别是，，，，所以其次小组的频率为． ……2分
由于其次小组的频率为，所以落在的其次小组的小长方形的高，由此可补全频率分布直方图（图阴影部分）和频率分布折线图如图所示．

……4分

（2）由于其次小组的频数为，频率为，所以，得（人）．
……6分
所以第三组抽取的人数为（人），第四组抽取的人数为（人）． ……8分
（3）用、、表示第三组抽取的三位同学，第四组抽取的二位同学用、表示，则全部的基本大事为：、，、、、、、、、，共种． ……10分
其中满足条件的基本大事为：、、、、、，共种． ……11分
所以所求概率为． ……12分
18．（本小题满分14分）
【证明】（1）如图，设的中点为，连结、．因
为、分别是上下底面和的对角线的交点，
是的中点，所以∥，且． ……1分
而，又由于∥，且，所以
∥，且，所以四边形是平行四边形，所以∥． ……3分
又由于平面，平面，所以∥平面． ……4分
（2）由于是长方体，且 ，，所以，所以四边形是正方形，所以． ……6分
连结，由于、分别是上下底面和的对角线的交点，所以平面，从而有． ……7分
由于、平面，且，所以平面．……8分
【解析】（3）由于，，所以△是等腰三角形，连结，，且． ……9分
所以． ……10分
设点到平面的距离为，则三棱锥的体积． ……11分
又三棱锥的体积．……12分
由于，即，所以，即点到平面的距离为．
……14分
19．（本小题满分14分）
【解析】（1）令，得，即． ……1分
由于，所以，即． ……2分
（2）由得．
……4分
由于，，所以，从而，所以．
……6分
当时，． ……8分
当时，上式也成立，所以数列的通项公式为．……9分
【证明】（3）由于，所以．
……11分
所以
． ……14分
20．（本小题满分14分）
【解析】（1）依题意得，动点到定直线：的距离与到定点的距离相等，所以动点的轨迹是以直线：为准线，定点为焦点的抛物线．
……2分
由于，所以，所以动点的轨迹方程为． ……4分
【证明】（2）当时，设过、的直线方程为．
……5分
由，可得，于是，即为定值．
……8分
【解析】（3）由（1）和条件得，所以、的坐标分别为、，所以圆的圆心是点，半径为． ……9分
当时，直线的方程为，此时直线与圆相离． ……10分
当时，直线的方程为，即，圆心到直线的距离．令，解得；令，解得；令，解得． ……12分
综上所述，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交． ……14分
21．（本小题满分14分）
【解析】（1）函数（且）的定义域为．当时，． ……2分
令，解得． ……4分
当时，，当时，，所以函数在处取得微小值，微小值为． ……6分
（2）由于函数的定义域为，且．
……7分
①若，则有，所以函数在定义域为内为增函数，所以函数在区间上为增函数，所以函数在区间上的最小值为． ……9分
②若，由于，所以函数在区间上为减函数，在区间上为增函数． ……10分
（i）若，即时，，函数在区间上为增函数，所以函数在的最小值为． ……11分
（ii）若，即时，函数在区间为减函数，在上为增函数，所以函数在区间上的最小值为．
……12分
（iii）若，即时，，函数在区间上为减函数，所以函数在的最小值为． ……13分
综上所述，当且时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为． ……14分