辽宁省葫芦岛市2021届高三第二次模拟考试-数学(理)-扫描版含答案.docx
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2021年葫芦岛市其次次模拟考试 数学试题(理科) 参考答案及评分标准 一.选择题:每小题5分,总计60分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D C A C A D B A C B D 二.填空题:每小题5分,总计20分. 13. 14. -2 15. -20 16.4 三.解答题: 17.(本小题满分12分) 解:(Ⅰ)由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得c2=(a+b)2-2ab(1+cosC), 又a+b=6,c=2,cosC=, 所以ab=9,解得a=3,b=3.………………………………………………………6分 y A (Ⅱ)在△ABC中,sinC==, 由正弦定理得sinA= =, 由于a=c,所以A为锐角,所以cosA== 因此 sin(A-C)=sinAcosC-cosAsinC=. ………………………………………………12分 H G 18.(本小题满分12分) F M 解:(1)分别取AB、AF中点M、H,连接FM、GH、DH,则有AG=GM,MF∥BE ∵AH=HF ∴GH∥MF z x E D C B 又∵CD∥BE,BE∥MF ∴CD∥GH ∴四边形CDHG是平行四边形 ∴CG∥DH 又∵CGË平面ADF,DHÌ平面ADF ∴CG∥平面ADF;………………………………………………4分 (2)如图,以B为原点,分别以BC、BE、BA所直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz, 则A(0,0,2),C(1,0,0),D(1,1,0),E(0,2,0),F(0,2,1),=(-1,1,0), =(-1,-1,2), =(0,-2,1) 设平面ADF的一个法向量为=(x,y,z),则有 ·=-x-y+2z=0且·= -2y+z=0 解得:x=3y,z=2y 令y=1得:=(3,1,2) 设直线DE与平面ADF所成的角为q,则有sinq=||= 所以直线DE与平面ADF所成的角的正弦值为 ………………………………………………8分 (3)由已知平面ADF的法向量=(3,1,2),=(0,2,1) 设平面BDF的一个法向量为=(x,y,z), =(1,1,0) 由·=2y+z=0且·= x+y=0 解得:z=-2y,x=-y 令y=-1得:=(1,-1,2) 设锐二面角B-DF-A的平面角为a,则cosa=|cos<,>|=||== 所以锐二面角B-DF-A的余弦值为 ………………………………………………12分 19.(本小题满分12分) 设大事“该选手回答正确第i扇门的歌曲名称”为大事Ai,“使用求助回答正确歌曲名称”为大事B,大事“每一扇门回答正确后选择连续挑战下一扇门”为大事C;则 P(A1)=, P(A2)=, P(A3)=, P(A4)=, P(A5)=, P(B)=,P(C)=; ………………………………………………2分 (1)设大事“选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭幻想基金”为大事A,则: A= A1CA2CBCA4=×××××()4= ∴选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭幻想基金的概率为;……………………………6分 (2)X的全部可能取值为:0,3000,6000,8000,12000,24000; P(X=3000)=P(A1)=×=; P(X=6000)=P(A1 CA2)=××()2=; P(X=8000)=P(A1 CA2 CA3)=×× ×()3=; P(X=12000)=P(A1 CA2 CA3 CA4)=×× ××()4=; P(X=24000)=P(A1 CA2 CA3 CA4 CA5)=×× ××()5=; P(X=0)=P()+ P(A1C)+ P(A1CA2C)+ P(A1CA2CA3C)+ P(A1CA2CA3CA4C)=++++= (或P(X=0)=1-(P(X=3000)+ P(X=6000)+ P(X=8000)+ P(X=12000)+ P(X=24000))=1-(++++)=1-=) ∴X的分布列为: X 0 3000 6000 8000 12000 24000 P ∴EX=0×+3000×+6000×+8000×+12000×+24000×=1250+1000+500+250+250=3250(元) ∴选手获得的家庭幻想基金数额为X的数学期望为3250(元)……………………………12分 20.(本小题满分12分) 解:(1)∵l与x轴垂直 ∴l的方程为:x=c 代入椭圆方程得:y=± ∴四边形A1MA2N面积:2××2a×=2b2=2 ∴解得:b2=1 ………………① ||=a+c, ||=,||=a-c ∵||=||+|| ∴a+c=·+ a-c 即:ac= ………………② 联立①②解得:a=,b=1 ∴椭圆的方程为:+y2=1 ……………………………5分 (2)由(1)可知⊙O的方程为:x2+y2=1,∵直线l:y=kx+m与⊙O相切∴=1即:m2=k2+1………6分 联立方程组: 消元整理得:(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0………………③ △=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-2)=8(2k2+1-m2)>0 即k2>0 设P(x1,y1)、Q(x2,y2),则x1,x2是方程③的两个解,由韦达定理得:x1+x2=,x1x2= y1y2=(kx1+m)(kx1+m)= ………………………………………………………………………………8分 ·=x1x2+y1y2=+==l 将m2=k2+1代入得:=l ∵lÎ[,] ∴≤≤ 解得:≤k2≤1……………………………………………………………9分 |PQ|=·=· d=1 ∴S△POQ=·|PQ|·d=·= ……………④ …………………………10分 令t=2k2+1,则k2= 代入④得:S△POQ=== ∵≤k2≤1 ∴2≤t≤3 ≤≤ ≤ (1-)≤ ∴≤S△POQ≤ 即△POQ的面积S的取值范围是[,]……………………………12分 (求面积的最值时可以有多种方法,考生用其他方法请酌情赋分) 21. (本小题满分12分) 解:(1)f′(x)=+ax+1 由题意:f′(1)=-1 即2a+1=-1 ∴a=-1 f(x)=-lnx-x2+x f(1)= 切点(1,)在切线上 ∴b=- (2)∵f(x)在(0,+∞)上单调递减 ∴f′(x)=+ax+1≤0在xÎ(0,+∞)时恒成立 即a≤-在xÎ(0,+∞)时恒成立 ∵x+≥2 ∴0<≤ ∴-Î[-,0) ∴a≤- ……………………………4分 ∵假设存在符合条件的a值,则应有:a≤- ∴<0 此时g(x)的对称轴为:x=- 若使g(x)在(0,)上单调递增,应有:-≥ 解得:a≥- 综上,存在存在实数a=-使得f(x)在(0,+∞)上单调递减,g(x)在(0,)上单调递增。………………8分 (3)H(x)=f(x+1)-g(x)=aln(x+1)+(x+1)2+(x+1)-x2-(a+1)x-=aln(x+1)+x2 x y x=-1 x=- x1 x2 H′(x)=+2x= 由题意:2x2+2x+a=0在区间(-1,+∞)内有两个不等实根x1,x2 记G(x)= 2x2+2x+a 则应有:△>0,G(-1)>0 解得:0<a<; 由韦达定理得:x1+x2=-1,x1·x2= ∴x1=-x2-1,a=2x1·x2=-2(x2+1)x2 x1Î(-1,-),x2Î(-,0) H(x)在(-1,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增 ∵x2<0 ∴H(x2)<H(0)=0 即H(x2)<0成立;下面证明:H(x2)>(-+ln2)x1 ∵H(x2)= aln(x2+1)+x22=-2(x2+1)x2ln(x2+1)+x22 (-+ln2)x1=(-+ln2)(-1-x2) ∴只需证明:-2(x2+1)x2ln(x2+1)+x22>(-+ln2)(-1-x2) 即:x22-2(x2+1)x2ln(x2+1)+(ln2-)x2>-ln2………………………………① 令j(x)=x2-2(x+1)xln(x+1)+(ln2-)x xÎ(-,0) j′(x)=2x-2(2x+1)ln(x+1)-2x+ln2-=-2(2x+1)ln(x+1)+ln2- ∵-<x<0 ∴x+1<1 ln(x+1)<0 2x+1>0 ∴-2(2x+1)ln(x+1)>0 又∵ln2-=ln2-ln=ln>0 ∴j′(x)>0 ∴j(x)在(-,0)上单调递增 ∴j(x)>j(-)=-ln2-ln2+=-ln2 即j(x)>-ln2 即①式成立 ∴H(x2)>(-+ln2)x1 综上:(-+ln2)x1<H(x2)<0成立……………………………12分 A B D C E O F G 22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 (1)由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE,∵∠ABE=∠CBE,∴∠CBE=∠BCE,BE=CE, 又∵DB⊥BE,∴DE是直径,∠DCE=,由勾股定理可得DB=DC. …………5分 (2)由(Ⅰ)知,∠CDE=∠BDE,BD=DC,故DG是BC的中垂线,∴BG=. 设DE中点为O,连结BO,则∠BOG=60°,∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°, ∴CF⊥BF, ∴Rt△BCF的外接圆半径等于,S=4pr2=3p …………10分 23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 解:(Ⅰ)由点在直线上,可得 所以直线的方程可化为 从而直线的直角坐标方程为 …………………………5分 (Ⅱ)由已知得圆的直角坐标方程为 所以圆心为,半径 ∴圆心到直线的距离,所以直线与圆相交…………………………10分 24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 解:(1)当a=1时,f(x)=|2x-1|+x-5= 由解得:x≥2; 由解得:x≤-4 ∴f(x)≥0的解集为:(-∞,4]È[2,+∞) …………………………5分 (2)由f(x)=0得:|2x-1|=-ax+5 作出y=|2x-1|和y=-ax+5的图象,由图象可知:当-2<a<2时,这两个函数的图象有两个不同的交点,函数y=f(x)有两个具不同的零点。 ∴a的取值范围是(-2,2) …………………………10分- 配套讲稿:
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