河北省石家庄市2021届高三下学期一模考试数学(文)试题word版含答案.docx

2021届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷
数学（文科）A卷

第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知i是虚数单位，则复数
A． B． C． D．
2、已知集合，则
A． B． C． D．
3、命题若，则；命题，下列命题为假命题的是
A．或 B．且 C． D．
4、设函数为偶数，当时，，则
A． B． C．2 D．-2
5、已知，则
A． B． C． D．
6、函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是
A． B． C．1 D．
7、执行下面的程序框图，假如输入的依次是，
则输出的S为
A．2 B．
C．4 D．6
8、在棱长为3的正方体中，P在线段BD上，且，M为线段上的动点，则三棱锥的体积为
A．1 B． C． D．与M点的位置有关
9、已知三地在同一水平面内，A第在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线大路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，劜其补超过km的范围内会崔测绘仪等电子形成干扰，使测绘结果不精确，则该测绘队员能够得到精确数据的概率是
A． B． C． D．
10、已知抛物线的交点F恰好是双曲线的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
11、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
A．64 B．72
C．80 D．112
12、已知函数，若关于的方程有8个不同的实数根，则的取值范围为
A． B． C． D．

第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。.
13、已知平面对量的夹角为，则
14、已知等差数列是递增数列，是的前n项和，若是方程的两个根，则的值为
15、若不等式组表示的区域为一个锐角三角形及其内部，则时速的范围是
16、设过曲线为自然数的底数）上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围是

三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（本小题满分12分）
设数列的前n项和，且为等差数列的前三项。
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前n项和。

18、（本小题满分12分）
某商品方案每天购进某商品若干件，商品每销售一件该商品可获利润50元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元，若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润30元。
（1）若商品一天购进商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，）的函数解析式；
（2）商品记录了50天该商品的日需求量n（单位：件），整理得下表：

若商品一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为个需求量发生的概率，求当天的利润在区间的概率。

18、（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，ABC=BAD=，BC=，AP=AD=AB=，
PAB=PAD=
（1）试在棱PA上确定一个点E，使得PC//平面BDE，并求出此时的值；
（2）当，求证：CD平面PBD。

20、（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，若该动圆圆心的轨迹为曲线E。
（1）求曲线E的方程；
（2）已知点，倾斜角为的直线与线段OA相交（不经过点O或点A）且与曲线E交于M、N两点，求AMN的面积的最大值，及此时直线的方程。

21、（本小题满分13分）
已知函数
（1）若函数在定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；
（2）证明：若，则对于任意，，有。

请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
22、（本小题满分10分）
如图，已知和相交于A、B两点，AD为的直径，延长DB交于C，点G为弧BD中点，连结AG分别交，BD于点E、F，连结CE。
（1）求证：
（2）求证：

23、（本小题满分10分）
已知曲线的参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。
（1）分别写出的一般方程，的直角坐标方程；
（2）已知M、N分别为曲线的上下顶点，点P为曲线上任意一点，求的最大值。

24、（本小题满分10分）
已知函数的定义域为R。
（1）求实数的取值范围；
（2）若的最大值为，当正数满足时，求的最小值。

2021年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试
高三数学(文科A卷答案)
一、 选择题（A卷）
1-5CCBBA 6-10 DBBAC 11-12 CD
一、 选择题(B卷)
1-5DDBBA 6-10 CBBAD 11-12 DC
二、 填空题
13 14 24
15 16
三、 解答题
17．（本小题满分12分）
解：（1）解法1∵
∴
∴，即，
又
∴数列为以1为首项，公比为的等比数列，…………………………………2分
∴，
∴，整理得，得……………………4分
∴，………………………………………………6分
解法2：∵
∴
∴，整理得，得………………………2分
∴
∴
∴，即，
又
∴数列为以1为首项，公比为2的等比数列，………………………………………4分
∴，
………………………………………………………………………6分
（2）
∴………………………①
∴………②…………8分
① —②得
…………………………………10分
整理得：…………………………………………………………12分

18.
解：（1）当日需求量时，
利润为； ………2分
当日需求量时，利润为 …………4分
所以，关于日需求量函数关系式为：
. ………6分
（2）50天内有9天获得的利润380元，有11天获得的利润为440，有15天获得利润为500，有10天获得的利润为530，有5天获得的利润为560.……………8分
②若利润在区间时，日需求量为9件、10件、11件该商品，其对应的频数分别为11天、15天、10天.…………10分
则利润区间的概率为：
. …………12分

19.

(1) 证明一
连接交于点,在平面中做∥交于,
由于平面，平面
∥平面，---------------2
∥
由于∥,
此时，.-------------4
证明二
在棱上取点，使得,------------2
连接交于点,
∥

所以，∥
由于平面，平面
所以∥平面-------------4
（2）证明一
取的中点,连结,则为正方形.
连接交于点，连接，
，

-------------7
所以 -------------8

所以,-------------10
所以，平面．-------------12
证明二
取的中点,连结,则为正方形.
过作⊥平面,垂足为.
连结.
，
所以和都是等边三角形，因此,
所以,
即点为正方形对角线的交点, -------------7
所以 -------------8

所以,-------------10
又由于-------------11
所以，平面．-------------12
证明三

20
解：（1）由题意可知圆心到的距离等于到直线的距离，
由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：.----------（4分）
（2）解法一 由题意，可设l的方程为y=x-m,其中0＜m＜5
由方程组,消去y,得x2-(2m+4)x+m2=0 ①
当0＜m＜5是，方程①的判别式Δ=(2m+4)2－4m2=16(1+m)＞0成立.　
设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4+2m，x1·x2=m2, ----------（6分）
∴|MN|==
又由于点A到直线l的距离为d=
∴S△=.----------（９分）
令，

所以函数在（0,1）上单调递增，在（1,5）上单调递减.
当m=1时，有最大值32，.----------（1１分）
故当直线l的方程为y=x－1时，△AMN的最大面积为8 .---------- （12分）
解法二 由题意，可设l与x轴相交于B（m,0）, l的方程为x = y +m,其中0＜m＜5
由方程组,消去x,得y 2－4 y －4m=0 ①
∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，
∴方程①的判别式Δ=(－4)2+16m=16(1+m)＞0必成立,
设M(x1,y1),N(x2,y2)则y 1+ y 2=4，y 1·y 2=－4m. .---------- （6分）
∴S△=
=.----------（９分）
令，

所以函数在（0,1）上单调递增，在（1,5）上单调递减.
当m=1时，有最大值32，.----------（1１分）
故当直线l的方程为y=x－1时，△AMN的最大面积为8 .----------（12分）
21．

（1）解析：函数的定义域为
令，
由于函数在定义域内为单调函数，说明或恒成立，……………2分
即的符号大于等于零或小于等于零恒成立，
当时，，，在定义域内为单调增函数；
当时，为减函数，
只需，即，不符合要求；
当时，为增函数，
只需即可，即，解得，
此时在定义域内为单调增函数；……………5分
综上所述………………6分
（2）在区间单调递增，
不妨设，则，
则
等价于
等价于………………8分
设，
则，
由于，故，即在上单调增加，……………10分
从而当时，有成立，命题得证！………………12分
解法二：

令

即在恒成立
说明，即在上单调增加，………………10分
从而当时，有成立，命题得证！
………………12分

22. 证明：（1）连结，，
∵为的直径，∴，
∴为的直径, ∴,
∵，∴,
∵为弧中点，∴，
∴,
∴∽，……………3分
∴， ∴。
…………………5分
（2）由（1）知，,
∴∽,……………7分
∴,
由（1）知，∴． ………………10分
23.解：（1）曲线的一般方程为，……………………2分
曲线的一般方程为. ……………………4分
（2）
法一：由曲线：，可得其参数方程为，所以点坐标为，由题意可知.
因此
……………………6分
.
所以当时，有最大值28，……………………8分
因此的最大值为. ……………………10分
法二：设点坐标为，则，由题意可知.
因此
……………………6分
.
所以当时，有最大值28，……………………8分
因此的最大值为. ……………………10分
24.解：（1）：由于函数定义域为，所以0恒成立，…………………2分
设函数，则不大于函数的最小值，
又，即的最小值为4，所以.…………5分
（2）：由（1）知，
所以 ……………………6分

……………………8分
当且仅当
……………………10分