概率论和数理统计教程茆诗松课件省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/15/20247/15/2024第第1 1页页2.1 随机变量及其分布2.2 随机变量数学期望2.3 随机变量方差与标准差2.4 惯用离散分布2.5 惯用连续分布2.6 随机变量函数分布2.7 分布其它特征数第二章 随机变量及其分布第1页第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/15/20247/15/2024第第2 2页页2.1.1 随机变量定义定义2.1.1 设 =为某随机现象样本空间，称定义在上实值函数X=X()为随机变量.第2页第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/15/20247/15/2024第第3 3页页注 意 点(1)(1)随机变量X()是样本点函数，其定义域为，其值域为R=(，)若 X 表示掷一颗骰子出现点数，则 X=1.5 是不可能事件.(2)若 X 为随机变量，则 X=k、a X b、均为随机事件.即 a X b=；a 0,令则有 E(Y)=0,Var(Y)=1.称 Y 为 X 标准化.第31页第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/15/20247/15/2024第第3232页页2.4 惯用离散分布 2.4.1 二项分布 记为 X b(n,p).oX为n重伯努里试验中“成功”次数,当n=1时，称 b(1,p)为 0-1分布.第32页第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/15/20247/15/2024第第3333页页 试验次数为 n=4,“成功”即取得合格品概率为 p=0.8,所以,X b(4,0.8)思索：若 Y 为不合格品件数，Y？Y b(4,0.2)一批产品合格率为0.8,有放回地抽取4次,每次一件,则取得合格品件数 X 服从二项分布.第33页第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/15/20247/15/2024第第3434页页若随机变量 X 概率分布为则称 X 服从参数为 泊松分布,记为 X P().2.4.2 泊松分布第34页第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/15/20247/15/2024第第3535页页记为 X h(n,N,M).超几何分布对应于不返回抽样模型：N 个产品中有 M 个不合格品，从中抽取n个，不合格品个数为X.2.4.3 超几何分布第35页第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/15/20247/15/2024第第3636页页记为 X Ge(p)X 为独立重复伯努里试验中，“首次成功”时试验次数.几何分布含有没有记忆性，即：P(X m+n|X m)=P(X n)2.4.4 几何分布第36页第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/15/20247/15/2024第第3737页页注 意 点(1)二项随机变量是独立 0-1 随机变量之和.(2)负二项随机变量是独立几何随机变量之和.第37页第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/15/20247/15/2024第第3838页页惯用离散分布数学期望 几何分布Ge(p)数学期望 =1/p 0-1 分布数学期望 =p 二项分布 b(n,p)数学期望 =np 泊松分布 P()数学期望 =第38页第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/15/20247/15/2024第第3939页页惯用离散分布方差 0-1 分布方差 =p(1p)二项分布 b(n,p)方差=np(1p)泊松分布 P()方差=几何分布Ge(p)方差=(1p)/p2第39页第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/15/20247/15/2024第第4040页页2.5 惯用连续分布正态分布、均匀分布、指数分布、伽玛分布、贝塔分布。第40页第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/15/20247/15/2024第第4141页页记为X N(,2),其中 0，是任意实数.是位置参数.是尺度参数.2.5.1 正态分布第41页第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/15/20247/15/2024第第4242页页yxO第42页第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/15/20247/15/2024第第4343页页正态分布性质(1)p(x)关于 是对称.p(x)x0在 点 p(x)取得最大值.(2)若 固定,改变,(3)若 固定,改变,小大p(x)左右移动,形状保持不变.越大曲线越平坦;越小曲线越陡峭.第43页第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/15/20247/15/2024第第4444页页p(x)x0 xx标准正态分布N(0,1)密度函数记为(x),分布函数记为(x).第44页第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/15/20247/15/2024第第4545页页普通正态分布标准化定理2.5.1 设 X N(,2),则 Y N(0,1).推论:若 X N(,2),则第45页第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/15/20247/15/2024第第4646页页若 X N(,2),则 P(Xa)=第46页第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/15/20247/15/2024第第4747页页 设 X N(10,4),求 P(10X13),P(|X10|2).解:P(10X13)=(1.5)(0)=0.9332 0.5P(|X10|2)=P(8X12)=2(1)1=0.6826=0.4332例2.5.3第47页第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/15/20247/15/2024第第4848页页正态分布 3 标准设 X N(,2),则 P(|X|)=0.6828.P(|X|2)=0.9545.P(|X|3,则 P(A)=P(X 3)=2/3设 Y 表示三次独立观察中 A 出现次数,则 Y b(3,2/3)，所求概率为 P(Y2)=P(Y=2)+P(Y=3)=20/27例2.5.5第50页第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/15/20247/15/2024第第5151页页2.5.3 指数分布记为 X Exp(),其中 0.尤其：指数分布含有没有忆性，即：P(X s+t|X s)=P(X t)第51页第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/15/20247/15/2024第第5252页页惯用连续分布数学期望 均匀分布 U(a,b):E(X)=(a+b)/2 指数分布 Exp():E(X)=1/正态分布 N(,2):E(X)=第52页第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/15/20247/15/2024第第5353页页惯用连续分布方差 均匀分布 U(a,b)方差=(b a)2/12 指数分布 Exp()方差=1/2 正态分布 N(,2)方差=2第53页第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/15/20247/15/2024第第5454页页例2.5.6 已知随机变量 X 服从二项分布，且 E(X)=2.4,Var(X)=1.44,则参数 n,p 值为多少？例2.5.7 设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标 次数,每 次射中目标概率为0.4,则 E(X2)值为多少？解：从 2.4=np,1.44=np(1p)中解得解：因为 E(X)=np=4,Var(X)=2.4,所以n=6,p=0.4.E(X2)=Var(X)+(E(X)2=2.4+16=18.4第54页第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/15/20247/15/2024第第5555页页2.7 分布其它特征数o矩、变异系数、分位数、中位数第55页第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/15/20247/15/2024第第5656页页2.7.1 k 阶原点矩和中心矩 k 阶原点矩：k=E(Xk)，k=1,2,.注意:1=E(X).k 阶中心矩：k=EXE(X)k，k=1,2,.注意:2=Var(X).定义2.7.1第56页第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/15/20247/15/2024第第5757页页2.7.2 变异系数定义2.7.2 为 X 变异系数.作用：称CV 是无量纲量,用于比较量纲不一样两个随机变量波动大小.第57页第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/15/20247/15/2024第第5858页页2.7.3 分位数P(X xp)=F(xp)=p定义2.7.3 设 0 p 1，若 xp 满足则称 xp 为此分布 p-分位数，亦称 xp 为下侧 p-分位数.第58页第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/15/20247/15/2024第第5959页页注 意 点(1)因为 X 小于等于 xp 可能性为 p，所以 X 大于 xp 可能性为 1 p.(2)对离散分布不一定存在 p-分位数.(3)第59页第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/15/20247/15/2024第第6060页页上侧 p-分位数若记 xp 为上侧 p-分位数，即则P(X xp)=p 第60页第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/15/20247/15/2024第第6161页页2.7.4 中位数定义2.7.4 称 p=0.5 时p 分位数 x0.5 为中位数.第61页第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/15/20247/15/2024第第6262页页中位数与均值 相同点：都是反应随机变量位置特征.不一样点：含义不一样.第62页第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/15/20247/15/2024第第6363页页统计中惯用 p-分位数(1)N(0,1)：Z,U(2)2(n)：(3)t(n)：(4)F(n,m)：第63页