2020年人教A版数学文(广东用)课时作业：8.4直线与圆、圆与圆的位置关系.docx

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课时提升作业(五十)
一、选择题
1.(2021·广州模拟）圆C1:x2+y2+2x-3=0和圆C2:x2+y2-4y+3=0的位置关系为( )
(A)外离 (B)相交 (C)外切 (D)内含
2.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为( )
（A）(x+1)2+y2=2 （B）(x-1)2+y2=2
（C）(x+1)2+y2=4 （D）(x-1)2+y2=4
3.(2021·中山模拟）若直线2x-y+a=0与圆(x-1)2+y2=1有公共点，则实数a的取值范围是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
4.若圆心在x轴上、半径为的圆C位于y轴左侧，且被直线x+2y=0截得的弦长为4，则圆C的方程是( )
（A）(x-)2+y2=5 （B）(x+)2+y2=5
（C）(x-5)2+y2=5 （D）(x+5)2+y2=5

5.(2021·东莞模拟）设O为坐标原点，C为圆（x-2)2+y2=3的圆心，且圆上有一点M（x,y)满足则=( )
(A) (B) 或-
(C) (D)或-
6.已知点P（a,b)(ab≠0)是圆x2+y2=r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax+by=r2,那么( )
(A)m∥l,且l与圆相交
(B)m⊥l，且l与圆相切
(C)m∥l,且l与圆相离
(D)m⊥l,且l与圆相离
7.（2021·惠州模拟）设直线kx-y+1=0被圆O:x2+y2=4所截弦的中点的轨迹为C，则轨迹C与直线x+y-1=0的位置关系为( )
（A）相离 （B）相切 （C）相交 （D）不确定
8.（力气挑战题）从原点向圆x2+y2-12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( )
(A)π (B)2π (C)4π (D)6π
二、填空题
9.(2021·南通模拟）已知圆O：x2+y2=5和点A（1，2），则过点A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于_________.
10.已知直线l:x+2y+k+1=0被圆C：x2+y2=4所截得的弦长为2，则的值为__________.
11.与直线l:x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是______________.
12.在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是___________.
三、解答题
13.已知圆O1的方程为x2+(y+1)2=6，圆O2的圆心坐标为（2，1）.若两圆相交于A，B两点，且|AB|=4，求圆O2的方程.
14.(2021·清远模拟）已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
15.(力气挑战题）已知圆O的方程为x2+y2=1，直线l1过点A（3，0），且与圆O相切.
（1）求直线l1的方程.
（2）设圆O与x轴交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2,直线PM交直线l2于点P′,直线QM交直线l2于点
Q′.
求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标.

答案解析
1.【解析】选B.圆C1方程可化为：(x+1)2+y2=4,其圆心C1：（-1，0），半径r1=2,
圆C2方程可化为：x2+(y-2)2=1,其圆心C2(0,2),半径r2=1.
∴|C1C2|==,r1+r2=3,r1-r2=1,
∴r1-r2<|C1C2|<r1+r2,故两圆相交.
2.【解析】选A.直线x-y+1=0,令y=0得x=-1，所以直线x-y+1=0与x轴的交点为（-1,0）,由于直线x+y+3=0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即所以圆C的方程为(x+1)2+y2=2.
3.【解析】选B.若直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，故有解得
4.【解析】选B.设圆心为(a,0)(a<0)，由于截得的弦长为4，所以弦心距为1，则解得a=-，所以，所求圆的方程为(x+)2+y2=5．
5.【解析】选D.∵∴OM⊥CM，
∴OM是圆的切线，设OM的方程为y=kx,
由得k=±,即
6.【解析】选C.直线m的方程为y-b=-(x-a),
即ax+by-a2-b2=0,
∵P在圆内，∴a2+b2<r2,∴m∥l,
∵圆心到直线l的距离
∴直线l与圆相离.
7.【解析】选C.直线kx-y+1=0恒过定点A（0，1），设弦的中点为P，则OP⊥AP，则轨迹C是以线段OA为直径的圆，其方程为x2+(y-)2=,圆心（0，）到直线x+y-1=0的距离
∴直线x+y-1=0与轨迹C相交.
8.【思路点拨】作出图形，利用几何法求解.
【解析】选B.如图，圆x2+y2-12y+27=0可化为
x2+(y-6)2=9，圆心坐标为（0，6），半径为3.
在Rt△OBC中可得：∠OCB=,∴∠ACB=
∴所求劣弧长为2π.
9.【解析】∵点A（1，2）在圆x2+y2=5上，
∴过点A与圆O相切的切线方程为x+2y=5，易知切线在坐标轴上的截距分别为5，，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为.
答案：
10.【解析】如图所示，OD⊥AB，
则|DA|=|DB|=1，
∴ 在Rt△ADO中，

∴=2×2×cos =2.
答案：2
11.【思路点拨】数形结合得最小圆的圆心确定在过x2+y2-12x-12y+54=0的圆心与直线x+y-2=0垂直的垂线段上.
【解析】∵圆A：（x-6)2+(y-6)2=18,
∴A(6,6)，半径，且OA⊥l，A到l的
距离为，明显所求圆B的直径2r2=2，
即r2=，又OB=OA-r1-r2=2，
由与x轴正半轴成45°角，
∴B(2,2)，∴方程为(x-2)2+(y-2)2=2．
答案：(x-2)2+(y-2)2=2
12.【解析】画图可知，圆上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，该圆的半径为2，即圆心O（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离d<1,即
∴-13<c<13.
答案：(-13,13)
【变式备选】若⊙O：x2+y2=5与⊙O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线相互垂直，则线段AB的长是________.
【解析】依题意得且△OO1A是直角三角形，

因此
答案：4
13.【解析】设圆O2的方程为（x-2)2+(y-1)2=r2(r>0).
∵圆O1的方程为x2+(y+1)2=6,
∴直线AB的方程为4x+4y+r2-10=0.
圆心O1到直线AB的距离
由d2+22=6,得
∴r2-14=±8,r2=6或22.
故圆O2的方程为（x-2)2+(y-1)2=6或(x-2)2+(y-1)2=22.
【方法技巧】求解相交弦问题的技巧
把两个圆的方程进行相减得:x2+y2+D1x+E1y+F1-(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0即(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0 ①
我们把直线方程①称为两圆C1，C2的根轴,
当两圆C1，C2相交时，方程①表示两圆公共弦所在的直线方程；
当两圆C1，C2相切时，方程①表示过圆C1,C2切点的公切线方程.
14.【解析】假设存在斜率为1的直线l满足题意，则OA⊥OB.
设直线l的方程是y=x+b,其与圆C的交点A，B的坐标分别为A（x1,y1),B(x2,y2),
则即x1x2+y1y2=0①
由
消去y得：2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0,
∴x1+x2=-(b+1), ②
y1y1=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2
=(b2+4b-4)-b2-b+b2=(b2+2b-4). ③
把②③式代入①式，得b2+3b-4=0，解得b=1或b=-4,且b=1或b=-4都使得
Δ=4(b+1)2-8(b2+4b-4)>0成立.故存在直线l满足题意，其方程为y=x+1或y=x-4.
15.【解析】(1)∵直线l1过点A（3，0），且与圆C:x2+y2=1相切，设直线l1的方程为y=k(x-3)（斜率不存在时，明显不符合要求),即kx-y-3k=0,
则圆心O（0，0）到直线l1的距离为
解得∴直线l1的方程为y=±(x-3).
(2)对于圆方程x2+y2=1,
令y=0，得x=±1,故可令P（-1，0），Q（1，0）.
又直线l2过点A且与x轴垂直，
∴直线l2的方程为x=3,
设M（s,t)，则直线PM的方程为
解方程组得P′(3,).
同理可得，Q′(3,),
∴以P′Q′为直径的圆C的方程为
（x-3)(x-3)+(y-)(y-)=0,
又s2+t2=1,
∴整理得（x2+y2-6x+1)+y=0,
若圆C经过定点，只需令y=0,
从而有x2-6x+1=0,解得
∴圆C总经过定点，坐标为（,0).
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