2022届高三文科数学总复习课时提升作业(三十一)-5.4数列求和.docx

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(三十一)数 列 求 和(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设数列(-1)n的前n项和为Sn,则对任意正整数n,Sn=()【解析】选D.由于数列(-1)n是首项与公比均为-1的等比数列,所以Sn=.【加固训练】若数列an的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+a10=()A.15B.12C.-12D.-15【解析】选A.由于an=(-1)n(3n-2),所以a1+a2+a10=(-1+4)+(-7+10)+(-25+28)=35=15.2.(2021青岛模拟)已知Sn=+,若Sm=10,则m=()A.11B.99C.120D.121【解析】选C.由于=-,所以Sm=-+-+-=-1.由已知得-1=10,所以m=120.故选C.3.设f(n)=2+24+27+210+23n+10(nN*),则f(n)等于()A.(8n-1)B.(8n+1-1)C.(8n+3-1)D.(8n+4-1)【解析】选D.由题意知f(n)可看作以2为首项,23为公比的等比数列的前n+4项和,所以f(n)= 4.(2021杭州模拟)已知函数f(x)=x2+2bx过(1,2)点,若数列的前n项和为Sn,则S2022的值为()A.B.C.D.【解析】选D.由已知得b=,所以f(n)=n2+n,所以=-,所以S2022=1-+-+-=1-=.5.数列an的通项公式an=ncos,其前n项和为Sn,则S2022等于()A.2022B.1008C.504D.0【解析】选B.由于an=ncos,所以当n为奇数时,an=0,当n为偶数时,an=其中mN*,所以S2022=a1+a2+a3+a4+a5+a2022=a2+a4+a6+a8+a2022=-2+4-6+8-10+12-14+2022=(-2+4)+(-6+8)+(-10+12)+(-2022+2022)=2504=1008.故选B.【加固训练】(2021合肥模拟)已知数列an满足a1=1,an+1an=2n(nN*),Sn是数列an的前n项和,则S2022=()A.22022-1B.321008-3C.321008-1D.322022-2【解析】选B.依题意得anan+1=2n,an+1an+2=2n+1,于是有=2,即=2,数列a1,a3,a5,a2n-1,是以a1=1为首项、2为公比的等比数列;数列a2,a4,a6,a2n,是以a2=2为首项、2为公比的等比数列,于是有S2022=(a1+a3+a5+a2021)+(a2+a4+a6+a2022)=+=321008-3,故选B.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设f(x)=,利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法,可求得f(-12)+f(-11)+f(-10)+f(0)+f(11)+f(12)+f(13)的值为.【解析】抓住求和式子与函数f(x)=的特征,我们对自变量进行配对,当自变量之和为1时,争辩函数值之和,即f(x)+f(1-x)=+ =+=,共计配成13对,故所求的和为.答案:7.(2021郑州模拟)设数列an的通项公式为an=2n-10(nN*),则|a1|+|a2|+|a15|=.【解析】由an=2n-10(nN*)知an是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由an=2n-100得n5,所以当n5时,an0,当n5时,an0,所以|a1|+|a2|+|a15|=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a15)=20+110=130.答案:130【加固训练】(2021郑州模拟)若数列an是1,1+,则数列an的前n项和Sn=.【解析】an=1+=2,所以Sn=2=2=2=2=2n-2+.答案:2n-2+8.(2021厦门模拟)设f(x)是定义在R上恒不为零的函数,且对任意的x,yR,都有f(x)f(y)=f(x+y),若a1=,an=f(n)(nN*),则数列an的前n项和Sn的取值范围是.【解析】由已知可得a1=f(1)=,a2=f(2)=f(1)2=,a3=f(3)=f(2)f(1)=f(1)3=,an=f(n)=f(1)n=,所以Sn=+=1-,由于nN*,所以Sn1.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2021洛阳模拟)已知等差数列an满足:a3=7,a5+a7=26,an的前n项和为Sn.(1)求an及Sn.(2)令bn=(nN*),求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)设等差数列an的公差为d,则由已知得解得所以an=3+2(n-1)=2n+1,Sn=3n+2=n2+2n.(2)由(1)知an=2n+1,即数列bn的前n项和Tn=.【误区警示】(1)在解答本题时有两点简洁造成失分:利用方程的思想联立求解在计算上简洁毁灭失误,不能精确求出首项a1和公差d;在求解数列bn的前n项和时,不能娴熟精确地利用裂项方法.(2)解决等差数列问题时,还有以下几点简洁造成失分,在备考时要高度关注:对通项公式与前n项和公式记忆错误;基本公式中的项数或奇偶项的确定不正确;推断一个数列是否为等差数列时,易忽视验证第一项.【加固训练】(2021漳州模拟)在数列an和bn中,已知a1=2,a2=6,an+2an=3(nN*),bn=,(1)求证:数列bn是等比数列.(2)求数列an的通项公式.(3)若pn=,Sn为数列pn的前n项和,求Sn.【解析】(1)由于an+2an=3(nN*),所以=3,所以数列bn是以3为公比的等比数列.(2)由(1)可得到bn=b1qn-1=qn-1=3n-1=3n,所以bn=3n,所以=31,=32,=33,=3n-1,所以=3132333n-1,所以=31+2+3+(n-1)=.又由于a1=2,所以an=a1=2.(3)由(2)得:an=2,所以pn=-,所以Sn=p1+p2+p3+pn=+=2-=.10.(2022安徽高考)数列an满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),nN*.(1)证明:数列是等差数列.(2)设bn=3n,求数列bn的前n项和Sn.【解析】(1)由已知可得所以是以1为首项,1为公差的等差数列.(2)由(1)得=1+(n-1)=n,所以an=n2,从而bn=n3n,Sn=131+232+333+n3n,3Sn=132+233+334+(n-1)3n+n3n+1.-可得-2Sn=31+32+33+3n-n3n+1=-n3n+1=【加固训练】已知数列an是首项为a1=,公比为q=的等比数列,设bn+2=3loan(nN*),数列cn满足cn=anbn.(1)求数列bn的通项公式.(2)求数列cn的前n项和Sn.【解析】(1)由题意,知an=(nN*),又bn=3loan-2,故bn=3n-2(nN*).(2)由(1),知an=,bn=3n-2(nN*),所以cn=(3n-2)(nN*).所以Sn=1+4+7+(3n-5)+(3n-2),于是Sn=1+4+7+(3n-5)+(3n-2).两式相减,得Sn=+3+-(3n-2)=-(3n+2).所以Sn=-(nN*).(20分钟40分)1.(5分)(2021重庆模拟)已知数列an:,+,+,+,那么数列bn=的前n项和Sn为()A.B.C.D.【解析】选B.an=,所以bn=4(-),2.(5分)已知数列2008,2009,1,-2008,-2009,这个数列的特点是从其次项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2021项之和S2021等于()A.2008B.2010C.1D.0【解析】选C.由已知得an=an-1+an+1(n2),所以an+1=an-an-1.故数列的前8项依次为2008,2009,1,-2008,-2009,-1,2008,2009.由此可知数列为周期数列,周期为6,且S6=0.由于2021=6335+5,所以S2021=S5=2008+2009+1+(-2008)+(-2009)=1.【加固训练】在数列an中,a1=1,an+1=(-1)n(an+1),记Sn为an的前n项和,则S2021=.【解析】由a1=1,an+1=(-1)n(an+1)可得a1=1,a2=-2,a3=-1,a4=0,该数列是周期为4的数列,a2021=a1=1,a2022=a2=-2,a2021=a3=-1,所以S2021=503(a1+a2+a3+a4)+a2021+a2022+a2021=503(1-2-1+0)+1-2-1=-1008.答案:-1008【方法技巧】数列求和的思路(1)等差数列和等比数列的前n项和公式是求和的基础.一般数列的求和问题往往通过变形整理,转化为这两类特殊数列的和的问题.例如,一类特殊数列的求和通过倒序相加法或错位相减法变形后,就可以转化为这两类数列的求和问题.(2)观看数列的特点是变形的基础.给定的数列有其自身的特点和规律,依据数列的特点和规律选择合适的方法变形是解题的突破口.3.(5分)已知定义在R上的函数f(x)=ax(0a1),且f(1)+f(-1)=,若数列f(n)(nN*)的前n项和等于,则n等于()A.4B.5C.6D.7【解析】选B.由f(1)+f(-1)=,得a+a-1=,即a+=,解得a=2(舍去)或a=,则数列f(n)是首项为a1=,公比q=的等比数列,所以Sn=1-,由1-=得=,解得n=5,故选B.4.(12分)已知数列an的前n项和为Sn=3n,数列bn满足b1=-1,bn+1=bn+(2n-1)(nN*).(1)求数列an和bn的通项公式.(2)若cn=,求数列cn的前n项和Tn.【解析】(1)由于Sn=3n,所以Sn-1=3n-1(n2),所以an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=23n-1(n2).当n=1时,231-1=2S1=a1=3,所以an=又由于bn+1=bn+(2n-1),所以b2-b1=1,b3-b2=3,b4-b3=5,bn-bn-1=2n-3.以上各式相加得bn-b1=1+3+5+(2n-3)=(n-1)2.由于b1=-1,所以bn=n2-2n.所以数列an的通项公式为an=数列bn的通项公式为bn=n2-2n.(2)由题意得cn=当n2时,Tn=-3+2031+2132+2233+2(n-2)3n-1,所以3Tn=-9+2032+2133+2234+2(n-2)3n,相减得-2Tn=6+232+233+23n-1-2(n-2)3n.所以Tn=(n-2)3n-(3+32+33+3n-1)=(n-2)3n-=.【加固训练】已知数列an和bn,数列an的前n项和记为Sn.若点(n,Sn)在函数y=-x2+4x的图象上,点(n,bn)在函数y=2x的图象上.(1)求数列an的通项公式.(2)求数列anbn的前n项和Tn.【解析】(1)由已知得Sn=-n2+4n,当n2时,an=Sn-Sn-1=-2n+5.又当n=1时,a1=S1=3,也符合上式,所以an=-2n+5.(2)由已知得bn=2n,结合(1)可得anbn=(-2n+5)2n,所以Tn=321+122+(-1)23+(-2n+5)2n,2Tn=322+123+(-1)24+(-2n+5)2n+1,可得Tn=-6+(23+24+2n+1)+(-2n+5)2n+1=+(-2n+5)2n+1-6=(-2n+7)2n+1-14.5.(13分)(2022新课标全国卷)已知数列an满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明an+是等比数列,并求an的通项公式.(2)证明:+1时, 【加固训练】等差数列an的首项a1=3,且公差d0,其前n项和为Sn,且a1,a4,a13分别是等比数列bn的b2,b3,b4项.(1)求数列an与bn的通项公式.(2)证明:+.【解析】(1)设等比数列的公比为q,由于a1,a4,a13分别是等比数列bn的b2,b3,b4,所以(a1+3d)2=a1(a1+12d).又a1=3,所以d2-2d=0,所以d=2或d=0(舍去).所以an=3+2(n-1)=2n+1.等比数列bn的公比为=3,b1=1.所以bn=3n-1.(2)由(1)知Sn=n2+2n.所以=,所以+=-.由于+=,所以-,所以+.关闭Word文档返回原板块