2022届数学-人教B版(理科)一轮复习-第二章-函数概念与基本初等函数Ⅰ-阶段回扣练2.docx

阶段回扣练2　函数概念与基本初等函数Ⅰ
(建议用时：90分钟)
一、选择题
1．(2022·山西四校联考)函数y＝＋的定义域为 (　　)
A．[－4，＋∞) B．(－4,0)∪(0，＋∞)
C．(－4，＋∞) D．[－4,0)∪(0，＋∞)
解析　由题意知得x≥－4且x≠0.
答案　D
2．(2022·湖南卷)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是
(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2＋1
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝2－x
解析　A中f(x)＝是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，故A满足题意．B中f(x)＝x2＋1是偶函数，但在(－∞，0)上是减函数．C中f(x)＝x3是奇函数．D中f(x)＝2－x是非奇非偶函数．故B，C，D都不满足题意．
答案　A
3．已知幂函数f(x)的图象经过(9,3)，则f(2)－f(1)＝ (　　)
A．3 B．1－
C.－1 D．1
解析　设幂函数为f(x)＝xα，则f(9)＝9α＝3，即32α＝3，所以2α＝1，α＝，即f(x)＝x＝，所以f(2)－f(1)＝－1，选C.
答案　C
4．(2022·沈阳统一考试)f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当x＜0时，f(x)＝ (　　)
A．－x3－ln(1－x) B．x3＋ln(1－x)
C．x3－ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x)
解析　当x＜0时，则－x＞0，
∴f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)＝－x3＋ln(1－x)．
又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x3－ln(1－x)．
答案　C
5．(2022·西安检测)已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则(　　)
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．b＞a＞c D．c＞a＞b
解析　依题意得，a＝log43.62＞log43.6＝c＞log43.2＝b.
答案　B
6．(2021·辽宁五校协作体联考)设函数f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是 (　　)
A．f(a＋1)＞f(2) B．f(a＋1)＜f(2)
C．f(a＋1)＝f(2) D．不能确定
解析　由已知得0＜a＜1，所以1＜a＋1＜2，又易知函数f(x)为偶函数，故可以推断f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(a＋1)＞f(2)．
答案　A
7.(2022·烟台模拟)如图是函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象，则函数g(x)＝ln x＋f′(x)的零点所在区间是 (　　)

A. B．(1,2)
C. D．(2,3)
解析　由f(x)的图象知0＜b＜1，f(1)＝0，从而－2＜a＜－1，g(x)＝ln x＋2x＋a，g(x)在定义域内单调递增，g＝ln ＋1＋a＜0，g(1)＝2＋a＞0，g·g(1)＜0，故选C.
答案　C
8．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，假如在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 (　　)
A．5千米处 B．4千米处
C．3千米处 D．2千米处
解析　设仓库到车站距离为x千米，由题意得，y1＝，y2＝k2x，其中x＞0，当x＝10时，代入两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，可得k1＝20，k2＝，y1＋y2＝＋x≥2 ＝8，当且仅当＝x，即x＝5时取等号，故选A.
答案　A
9．(2022·济南四校联考)已知函数f(x)＝x2＋，则y＝f(x)的图象大致为(　　)

解析　首先确定函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，由f(－x)＝(－x)2＋＝f(x)可知f(x)＝x2＋为偶函数，故其图象关于y轴对称，可以排解A，然后结合x→＋∞时，f(x)→＋∞可以排解C，D.
答案　B
10．对任意实数a，b定义运算“⊗”：a⊗b＝设f(x)＝(x2－1)⊗(4＋x)，若函数y＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是
(　　)
A．(－2,1) B．[0,1]
C．[－2,0) D．[－2,1)

解析　当x2－1≥4＋x＋1，即x≤－2或x≥3时，f(x)＝4＋x，当x2－1＜4＋x＋1，即－2＜x＜3时，f(x)＝x2－1，如图所示，作出f(x)的图象，由图象可知，要使－k＝f(x)有三个根，需满足－1＜－k≤2，即－2≤k＜1.
答案　D
二、填空题
11．(2021·潍坊模拟)函数f(x)＝2ax＋1－3(a＞0且a≠1)的图象经过的定点坐标是________．
解析　令x＋1＝0，得x＝－1，f(－1)＝2－3＝－1.
答案　(－1，－1)
12．(2022·贵阳监测)若函数f(x)＝x2－2kx＋1在[1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是________．
解析　依题意，函数f(x)＝(x－k)2＋1－k2在[1，＋∞)上是单调递增函数，于是有k≤1，即实数k的取值范围是(－∞，1]．
答案　(－∞，1]
13．(2022·南通模拟)已知函数f(x)＝在R上是单调增函数，则实数a的取值范围________．
解析　f(x)在R上是单调增函数，需满足a＝0或解得－≤a≤0.
答案　[－，0]
14．(2022·浙江卷)设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________．
解析　

f(x)的图象如图，由图象知，满足f(f(a))≤2时，得f(a)≥－2，而满足f(a)≥－2时，得a≤.
答案　(－∞，]
15．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.
若f＝f，则a＋3b的值为________．
解析　由于f(x)的周期为2，
所以f＝f＝f，
即f＝f.
又由于f＝－a＋1，
f＝＝，
所以－a＋1＝.
整理，得a＝－(b＋1)．①
又由于f(－1)＝f(1)，
所以－a＋1＝，即b＝－2a.②
将②代入①，得a＝2，b＝－4.
所以a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10.
答案　－10
三、解答题
16．函数f(x)＝m＋logax(a＞0且a≠1)的图象过点(8,2)和(1，－1)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)令g(x)＝2f(x)－f(x－1)，求g(x)的最小值及取得最小值时x的值．
解　(1)由得
解得m＝－1，a＝2，
故函数解析式为f(x)＝－1＋log2x.
(2)g(x)＝2f(x)－f(x－1)
＝2(－1＋log2x)－[－1＋log2(x－1)]
＝log2－1(x＞1)．
∵＝＝(x－1)＋＋2≥
2 ＋2＝4.
当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．
而函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，
则log2 －1≥log24－1＝1，
故当x＝2时，函数g(x)取得最小值1.
17．对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点，已知函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求f(x)的不动点；
(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．
解　(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3，由题意可知x＝x2－x－3，得x1＝－1，x2＝3.
故当a＝1，b＝－2时，f(x)的不动点是－1,3.
(2)∵f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)恒有两个相异的不动点，∴x＝ax2＋(b＋1)x＋b－1，
即ax2＋bx＋b－1＝0恒有两相异实根，
∴Δ＝b2－4ab＋4a＞0(b∈R)恒成立．
于是Δ′＝(4a)2－16a＜0解得0＜a＜1，
故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时的a的范围是(0,1)．
18．已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab(a≠0)，当x∈(－3,2)时，f(x)>0；当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0.
(1)求f(x)在[0,1]内的值域；
(2)c为何值时，不等式ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立？
解　由题意得x＝－3和x＝2是函数f(x)的零点且a≠0，
则
解得
∴f(x)＝－3x2－3x＋18.
(1)由图象知，函数在[0,1]内单调递减，
∴当x＝0时，f(x)＝18；当x＝1时，f(x)＝12，
∴f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]．
(2)法一　令g(x)＝－3x2＋5x＋c.
∵g(x)在上单调递减，
要使g(x)≤0在[1,4]上恒成立，
则需要g(x)max＝g(1)≤0，
即－3＋5＋c≤0，解得c≤－2.
∴当c≤－2时，不等式ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立．
法二　不等式－3x2＋5x＋c≤0在[1,4]上恒成立，
即c≤3x2－5x在[1,4]上恒成立．
令g(x)＝3x2－5x，
∵x∈[1,4]，且g(x)在[1,4]上单调递增，
∴g(x)min＝g(1)＝3×12－5×1＝－2，∴c≤－2.
即c≤－2时，不等式ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立．
19．小王高校毕业后，打算利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流淌成本为W(x)万元．在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流淌成本)；
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
解　(1)由于每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元．依题意得，
当0＜x＜8时，
L(x)＝5x－－3＝－x2＋4x－3；
当x≥8时，
L(x)＝5x－－3＝35－.
所以L(x)＝
(2)当0＜x＜8时，
L(x)＝－(x－6)2＋9，
此时，当x＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9(万元)．
当x≥8时；
L(x)＝35－≤35－2＝35－20＝
15(万元)．
此时，当且仅当x＝，即x＝10时，L(x)取得最大值15万元．
∵9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．