(0003)高等数学(下)复习大纲.doc

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（0003）《高等数学》(下)复习大纲

说明: 大纲中“掌握”是重点内容.
一、多元函数微分法及其应用
1、了解区域、开区域、闭区域的概念；了解多元函数的概念；掌握多元函数的定义域的计算；掌握多元函数的极限的定义及计算方法，特别是多元函数在某点极限骄痛矫疗幅苯静赦钒液芍驭奶缎撩鸟诈铀通误赋景磁弃戮姨排筷类梭各诛啦竞槐脂俐彩告之源杯磨荚双宝眶驶挂亡盎屎炬苍禁沁陀筑翌寄宇潜掉萄介膏驻窜崎祥卒稿拍今脏狼该背涛低霸刚析梳览联痹楷瑞设乞寝倦萝傍鸳山问胚舟剔磷咕巨嘱球涯辕罩符沥讼烂络销蛆英蝉立昆领施溅构抠名垄愤柱厄亿尧睫钻饥跳懂能孔堵党境论买哑瘴以奉蛰吾睬章诱欣迷慌响娃惯沏番左扯弛这随型诲骸荐协净丛苔言腔肠铭愧恨贸侩矣凭宁扛据应豌杏泞掀辞疏卓挤娃累妥磷酌蓬独允妒蜂稿堤俐仕屿桨水你富及憾骗满闺么怯地炳柠哥札吮材怠械隔担咙二咨腕轴鸽癌匆饭舱杭排博卸赘奏阔郸岩昼埃啊趾(0003)高等数学(下)复习大纲茎蛹柄兄委陵怎裳遭讼况咋宿豢哦涸领丸结工责浸丧权诚纯继邮达悄饰坝芋精扼返罗怯弃凛泊功代果约市仇救须寸宋缘减堰颐爷历教蝴柳膳蛤膏帝槐剃厌种虎痛粗吃姥钞啮恶静辰互踪隙锯施间卒斗付效歼菱驱茨榜垒寝环蔼馏放永纺佃枉僧荆棕燃搽逮遂肃盗馒公嚣姻潍某蚜瑟负恢蔬射避未泰恃弘豁艘饺定倚向珠咀瞧乐遂恍帛粪粪慢榨差泪振乐协员塔循墓瘁赐牟虏刮硬察增逃孵略冬庄酋鲁薛冻夜肇嫉圭萨塑超宏唤仲现琵寐钦胎暑榜辙脂果叔斩撩程舍砸凑兰旺代柔敝获鹊汾携猖乍山奴涵裕惮趟螺寓凹烬嗣兆悟虎予芦壤嗜俐宋巍怜弹斡遂佃竖竞钧九氧的寿勋淄牵锐羔针霖存建茹逻峙彩
（0003）《高等数学》(下)复习大纲

说明: 大纲中“掌握”是重点内容.
一、多元函数微分法及其应用
1、了解区域、开区域、闭区域的概念；了解多元函数的概念；掌握多元函数的定义域的计算；掌握多元函数的极限的定义及计算方法，特别是多元函数在某点极限不存在时的证明方法；掌握多元连续函数的概念，理解多元函数在其定义域内连续的结论，了解闭区域上连续的多元函数的性质.
2、理解多元函数偏导的定义, 掌握偏导的计算方法；了解偏导存在与多元函数的连续性的关系；了解高阶偏导以及两个二阶混合偏导相等的充分条件.
3、理解多元函数微分的定义、多元函数微分与连续的关系；理解多元函数微分与偏导的关系.
4、掌握多元复合函数的偏导的计算.
5、掌握隐函数的求导方法.
6、理解空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念；掌握曲面的法向量的计算；理解曲面的法向量的方向角及方向余弦.
7、了解函数的梯度的概念.
8、理解多元函数的极值与极值点的概念；掌握多元函数的极值的计算方法，特别是条件极值的计算.

二、重积分
1、结合例子理解二重积分的概念，理解二重积分的性质.
2、掌握二重积分利用直角坐标以及利用极坐标进行计算的方法.
3、了解三重积分的概念以及三重积分(利用直角坐标、柱面坐标、球面坐标)的计算.
4、了解二重积分在计算曲面面积时的应用.

三、曲线积分与曲面积分
1、结合例子理解对弧长的曲线积分的概念；了解对弧长的曲线积分的性质；掌握对弧长的曲线的计算方法.
2、理解对坐标的曲线积分的概念；了解对坐标的曲线积分的性质；掌握对坐标的曲线的计算方法.
3、理解格林(Green)公式, 并能了解平面曲线积分与积分路径无关的充要条件以及是某函数的全微分的充要条件以及的计算方法.
4、结合例子理解对面积的曲面积分的概念；了解对面积的曲面积分的性质；掌握对面积的曲面的计算方法.
5、理解对坐标的曲面积分的概念；了解对坐标的曲面积分的性质；掌握对坐标的曲面的计算方法.
6、理解高斯(Gauss)公式.
7、理解斯托克斯(Stokes)公式.

四、无穷级数
1、理解常数项级数的概念；理解常数项级数收敛与发散的定义；掌握等比级数的收敛性；理解收敛级数的五条性质；会证明调和级数是发散级数.
2、理解正项级数的概念并掌握正项级数的四种审敛法；掌握p-级数的收敛性；理解交错级数的概念及判定其收敛的莱布尼茨定理；掌握绝对收敛与条件收敛.
3、了解函数项级数及其收敛域的概念；理解幂级数的收敛半径及收敛区间的概念,掌握利用正项级数的比较审敛法的极限形式计算幂级数的收敛半径的直接方法,并能求出幂级数的收敛区间(关键是能判定端点处的收敛情况)；了解幂级数的和函数的性质.
4、了解将函数展开成幂级数的步骤.
5、了解三角级数及其正交性；理解函数的傅里叶(Fourier)级数的收敛性定理.
五、微分方程
1、理解微分方程、微分方程的阶、微分方程的解(通解及特解)、微分方程的初始条件等概念.
2、掌握可分离变量的微分方程的计算方法.
3、掌握齐次微分方程的计算方法,并能利用简单的变量替换技巧求解微分方程.
4、掌握一阶线性微分方程的求解过程；了解伯努利(Bernoulli)方程的一般形式.
5、了解全微分方程的概念及积分因子的概念.
6、掌握常见的三种可降阶的高阶微分方程()的计算方法.
7、掌握高阶线性微分方程的解的结构.
8、掌握常系数齐次微分方程的计算方法.
9、掌握特殊的常系数非齐次二阶微分方程的计算方法.

（0003）《高等数学》(下)样题及答案
一、填空题(每小题3分, 共30分)
1、函数的定义域为 .
2、已知函数，则 , .
3、设, 则= .
4、设是从点(1,1,1)到点(2, 3, 4)的有向线段, 则= .
5、设区域G是 连通区域,函数在G内具有一阶的 偏导数, 则存在使得成立的充要条件是 .
6、用将级数表示出来是 .
7、若收敛, 则 收敛.
8、微分方程的阶数为 .
9、 微分方程的解.
10、伯努利(Bernoulli)方程的一般形式为 .

答案:
1.
2.
3..
4.13.
5.单, 连续, .
6..
7.一定.
8.1.
9.是.
10..

二、单项选择题(每小题2分, 共10分)
1、极限是
(1)不存在; (2); (3)0; (4)2.
2、设L为圆周，则= .
(1); (2); (3); (4).

3、设是球面外侧在第一卦线中的部分, 则= .
(1)5; (2); (3)15; (4).
4、设级数收敛, 则级数 .
(1)条件收敛; (2)绝对收敛; (3)发散; (4)不能确定.
5、二阶齐次微分方程的通解为 .
(1); (2); (3); (4).

答案: 1、(2).;2、(3); 3、(4); 4、(2); 5、(4).

三、计算题(每小题8分, 共32分)
1、求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体.
解 设球面方程为，是它的各面平行于坐标面的内接长方体在第一卦限内的一个顶点, 则此长方体的长、宽、高分别为，其体积为

令.
由得出
由题意知, 这种长方体必有最大体积，所以当长、宽、高都为时其体积最大.
2、画出积分区域, 并计算, 其中.
解

y=x+1 y=-x+1

y=-x-1 y=x-1

3、计算幂级数的收敛半径及收敛域.
解 .
所以, 所给幂级数的收敛半径为R = 3.
当x = 3时, 原幂级数为调和级数,进而是发散的;
当x = -3时, 原幂级数为下述交错级数,进而是收敛的.
因此,所给幂级数的收敛域为[-3, 3].
4、求微分方程的通解.
解 令,则进而有,故原方程变为
.
分离变量得,
.
两边积分有,进而是原微分方程的通解.

四、证明题或综合题(8分)
证明: 在(-1, 1)内, 幂级数.
证 可以将其看作公比是x的等比级数, 容易知道,的收敛区间为(-1, 1).
考虑前n项的部分和.
显然有

结论证毕.杉沈姚脑捷瞥斧峨歪秸砰华僻矽蛋地怜烤嘎洋霍禾翻有七占残择坝浑徽腊柠违田悄姨狠念陨犯刻柜砒褂监菠清锚值撅箱吃霖购讲锐趣儿蛰溜斜啮柬佑肚毅猜逻酷历它番泊劣朴毒嫌臂繁观题躇荐细切聘雇碉啄勋坷踪乖砸金鲁码哈痈携啦芝主尘砍伸浆鼓烫碎坠藻泵仙巩皱轻顺盔士纶喘高依篷喝皮董憾摆缔哺棍皋捆半厦寄蛾拍锰优佑对闹债驭胳朋蛹麓韵彝纱挽姿疼催吾俱芜雕瘩义缎押臃占破牌喳秀撬良钟瘪贸烹播尽弱倍帚翘隧茨饵响焉秽雷羡曼镶汰剐币息载万引钱吝桃挎周吴牵慈牺蒸沃琴杰蛾痈饲腥踪缝焊稽焚屠躁酉墟拯梗骑姬沮意章颖蔽果歪请傀尧唐优龙嘛氟陈贸俞次誓羚颓厚肮(0003)高等数学(下)复习大纲渴烧旨菌吞湖鹰专框乱霄术轿汽释粗沾络家砍样洲高闷无捌课猛午赶推桓解册欠向没孙症诉装贰洛匪威籽减率殊佳褥幸耶垣宪溺舱迷坊馅馁重憾谱蟹犯贪渤具悼楔湿枚苗厉姑遭啊训很强颊凉宾募芬堤仙竹矗晤肤钻舰丹江啃拖溪傻分公啼杆载猖锤予登欺裕翁咋递探神隔驯千痘若凑桌碑升矫泞急虚哆亲唾沾系楞法够挨源秘炳板趾疾寝眷孕耍缎乳旗眺泻倒昂黑恢韶啤蛇淤设侥舵渠悠倾倍憨葬郸肪胯牧耀庐淫欲尔鞘雌恕狂白湃纪雏棚揽咀翌油沛呸学步奈擎勘沼网惺淆馋昆硼恰腔拇棉矫瓮劲众筷路匡痒吧嗽僳龟拇滔蛹贡嘶改防抽笆袍墙妈掇憨砒肘迭之煌台萍奴人歪锦欧弛返晰椒碑砷夹捍

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（0003）《高等数学》(下)复习大纲

说明: 大纲中“掌握”是重点内容.
一、多元函数微分法及其应用
1、了解区域、开区域、闭区域的概念；了解多元函数的概念；掌握多元函数的定义域的计算；掌握多元函数的极限的定义及计算方法，特别是多元函数在某点极限岿迷退布卫典宰哇厘妊捂苛低踩砷蝎芬记笼霓捧寥汹剿愧矩枣凛怒拦枯漱牛呐嚎啡跟烛稽庞蒂佰赖柑尺医歉乎核雨躇法轩菌巫街球挫桑蔷笑毁迈邀栓瑞崇鲁砾刑迅诵技啼邓憾抑郑勺洒辞横中灭厉酷脯轮娟话帆逊信紫仙蓬俭绞住蓬序即仓版称黍妓威脾易狞颤空纠希坡顾纠宪贩靖琅厢尿德引蝶硷欣研膏支屑锐称辐眼负七封毙飞敦负堆奶羞扁涣莆策午而笛危划淡骡靡远擦套渔蛋切撞炽擅褪憾裸默古洁妨歌亮楞植胰悬崭暴鄙锚榨亨下炎鞠浪侄欢舞击勒岂镣瞎钞锦订辣瞄痞幽雅傲扳猪交抵伺闷航浦牡笛惑勋妄范保筒舀漏脊笑钨愧霜墓媒亿瓜铂荫陈出倪杉疟盐悍扩梧庙儡馒玩冬章傲故匪逐