2020-2021学年高中人教B版数学选修2-1课时作业：3.2.2.docx

3.2.2平面的法向量与平面的向量表示课时目标1.理解平面的法向量的概念，了解平面的向量表示式.2.把握线面垂直的判定定理以及三垂线定理和三垂线定理的逆定理，会证明两平面的平行和垂直1已知平面，假如向量n的基线与平面_，则向量n叫做平面的法向量或说向量n与平面_.2.设A是空间任一点，n为空间任一非零向量，则适合条件n0的点M构成的图形是过空间一点并且与一个向量垂直的_，_称作一个平面的向量表示式3设n1、n2分别是平面、的法向量，或与重合n1_n2._.4假如在_内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的_垂直，则它也和这条_垂直；反之，假如平面内的一条直线和这个平面的一条_垂直，那么它也和这条斜线在平面内的_垂直5假如一条直线和平面内的_垂直，那么这条直线_这个平面一、选择题1若n(2，3,1)是平面的一个法向量，则下列向量能作为平面的一个法向量的是()A(0，3,1) B(2,0,1)C(2，3,1) D(2,3，1)2若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为n(2,0，4)，则()Al BlCl Dl与斜交3平面的一个法向量为(1,2,0)，平面的一个法向量为(2，1,0)，则平面与平面的位置关系是()A平行 B相交但不垂直C垂直 D不能确定4已知平面上的两个向量a(2,3,1)，b(5,6,4)，则平面的一个法向量为()A(1，1,1) B(2，1,1)C(2,1,1) D(1,1，1)5.在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B、AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交 B平行C垂直 D不能确定6斜线b在平面内的射影为c，直线ac，则a与b()A垂直 B不垂直C共面或垂直 D以上都有可能题号123456答案二、填空题7已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的单位法向量坐标为_8已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面的法向量为，且l，则m_.9下列命题中：若u，v分别是平面，的法向量，则uv0；若u是平面的法向量且向量a与共面，则ua0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面确定不垂直正确的命题序号是_(填写全部正确的序号)三、解答题10已知平面经过三点A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2，0)，试求平面的一个法向量11.如图所示，在六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1平面A1B1C1D1，DD1平面ABCD，DD12.求证：(1)A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；(2)平面A1ACC1平面B1BDD1.力气提升12.已知：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是CC1的中点，F是AC与BD的交点，求证：A1F平面BED.1平行问题的证明方法证明线线平行只需证明表示两条直线的向量满足实数倍数关系，如证明ABCD只需证 ；证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明直 线在平面外；证面面平行可转化证两面的法向量平行2垂直问题的证明方法立体几何中的垂直有：线与线垂直、线与面垂直、面与面垂直，它们之间可以相互转化要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直非零向量a，b，abab0.设非零向量a，b，a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则abx1x2y1y2z1z20.3三垂线定理及其逆定理常用于判定空间直线相互垂直，在应用时关键在于构造三垂线定理的基本图形，创设应用定理的环境构造三垂线定理基本图形时要抓住下面三个环节：(1)确定投影面；(2)作出垂线；(3)确定射影32.2平面的法向量与平面的向量表示学问梳理1垂直正交2平面n03n1n2n1n204平面射影斜线斜线射影5两条相交直线垂直于作业设计1D只要是与向量n共线且非零的向量都可以作为平面的法向量故选D.2Bn2a，na，l.3C(1,2,0)(2，1,0)0，两法向量垂直，从而两平面也垂直4C明显a与b不平行，设平面的一个法向量为n(x，y，z)，则令z1，得x2，y1，n(2,1,1)5B可以建立空间直角坐标系，通过平面的法向量和的关系推断6D若a，由三垂线定理知ab.当a不在平面内时a与b的位置关系不确定7.或88解析l，l的方向向量与的法向量垂直(2，m,1)2m20，m8.910解A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，(1，2，4)，(2，4，3)，设平面的一个法向量为n(x，y，z)依题意，应有n0，n0.即，解得.令y1，则x2.平面的一个法向量为n(2,1,0)11证明如图所示，以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)，A1(1,0,2)，C1(0,1,2)，B(2,2,0)，B1(1,1,2)(1)(1,1,0)，(2,2,0)，(1，1,0)，(2，2,0)，2，2，A1C1与AC共面，B1D1与BD共面(2) (0,0,2)(2,2,0)0，(2,2,0)(2,2,0)0.，.DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线，AC平面B1BDD1.又AC面A1ACC1，平面A1ACC1平面B1BDD1.12证明AA1平面ABCD，AF是A1F在面ABCD内的射影，又ACBD，A1FBD.(三垂线定理)取BC中点G，连结FG，B1G(如图)，A1B1平面BCC1B1，FG平面BCC1B1，B1G为A1F在面BCC1B1内的射影，又正方形BCC1B1中，E，G分别为CC1，BC的中点，BEB1G，A1FBE(三垂线定理)，又EBBDB，A1F平面EBD.