(人教A版)数学必修1同步测试：综合素能检测2-Word版含答案.docx

其次章综合素能检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2021·山东德州高一期末试题)3log＋log30.125＝(　　)
A．0 　 B．1
C．2 D．4
[答案]　A
[解析]　3log23＋log0.125＝log＋log＝log8×3＝0，故选A.
2．函数y＝(m2＋2m－2)x是幂函数，则m＝(　　)
A．1 B．－3
C．－3或1 D．2
[答案]　B
[解析]　由于函数y＝(m2＋2m－2)x是幂函数，所以m2＋2m－2＝1且m≠1，解得m＝－3.
3．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则(　　)
A．a＜c＜b B．b＜c＜a
C．a＜b＜c D．b＜a＜c
[答案]　D
[解析]　∵a＝log54＜1,0＜log53＜log54＜1，
∴b＝(log53)2＜log53＜log54＝a.
又∵c＝log45＞1，∴c＞a＞b.
4．函数f(x)＝＋lg(2x＋1)的定义域为(　　)
A．(－5，＋∞) B．[－5，＋∞)
C．(－5,0) D．(－2,0)
[答案]　A
[解析]　由于所以x＞－5，
函数f(x)的定义域是(－5，＋∞)．
5．下列函数中，图象关于y轴对称的是(　　)
A．y＝log2x B．y＝
C．y＝x|x| D．y＝x－
[答案]　D
[解析]　由于y＝x－＝是偶函数，所以其图象关于y轴对称．
6．下列各函数中，值域为(0，＋∞)的是(　　)
A．y＝2－ B．y＝
C．y＝x2＋x＋1 D．y＝3
[答案]　A
[解析]　A，y＝2－＝()x的值域为(0，＋∞)．
B，由于1－2x≥0，所以2x≤1，x≤0，
y＝的定义域是(－∞，0]，
所以0＜2x≤1，所以0≤1－2x＜1，
所以y＝的值域是[0,1)．
C，y＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋的值域是[，＋∞)，
D，由于∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
所以y＝3的值域是(0,1)∪(1，＋∞)．
7．已知函数：①y＝2x；②y＝log2x；③y＝x－1；④y＝x；则下列函数图象(第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应挨次是(　　)

A．②①③④ B．②③①④
C．④①③② D．④③①②
[答案]　D
[解析]　依据幂函数、指数函数、对数函数的图象可知选D.
9．(2021·全国高考卷Ⅱ理科，5题)设函数f(x)＝，则f(－2)＋f(log)＝(　　)
A．3 　 B．6
C．9 D．12
[答案]　C
[解析]　f(－2)＝1＋log2(2－(－2))＝3，f(log)＝2log＝2log＝6，
∴f(－2)＋f(log)＝9，故选C.
10．已知函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，2) B．(－∞，]
C．(－∞，2] D．[，2)
[答案]　B
[解析]　由题意知函数f(x)是R上的减函数，于是有由此解得a≤，即实数a的取值范围是(－∞，]，选B.
11．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且它在[0，＋∞)上单调递增，若a＝f(log)，b＝f(log)，c＝f(－2)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＞b＞c B．b＞c＞a
C．c＞a＞b D．c＞b＞a
[答案]　C
[解析]　由于1＝log＜log＜log2＝2,0＜log＜log＝1，所以log＜log＜2.
由于f(log)＜f(log)＜f(2)．
由于f(x)是偶函数，
所以a＝f(log)＝f(－log)＝f(log)，
b＝f(log)＝f(－log)＝f(log)，
c＝f(－2)＝f(2)．
所以c＞a＞b.
12．(2021·汉中高一检测)假如一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点M(1,1)，N(1,2)，P(2,1)，Q(2,2)，G(2，)中，可以是“好点”的个数为(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案]　C
[解析]　设指数函数为y＝ax(a>0，a≠1)，
明显不过点M、P，若设对数函数为y＝logbx(b>0，b≠1)，明显不过N点，选C.
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知a＝(a＞0)，则loga＝________.
[答案]　4
[解析]　∵a＝(a＞0)，
∴(a)2＝[()2]2，即a＝()4，
∴a＝()4＝4.
14．若函数y＝(3x2－ax＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是________．
[答案]　(－8，－6]
[解析]　令g(x)＝3x2－ax＋5，其对称轴为直线x＝，依题意，有≤－1，
g(－1)＞0，即
15．(2021·邵阳高一检测)如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y＝logx，y＝x，y＝()x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为________．

[答案]　(，)
[解析]　由图象可知，点A(xA,2)在函数y＝logx的图象上，
所以2＝logxA，xA＝()2＝.
点B(xB,2)在函数y＝x的图象上，
所以2＝xB，xB＝4.
点C(4，yC)在函数y＝()x的图象上，
所以yC＝()4＝.
又xD＝xA＝，yD＝yC＝，
所以点D的坐标为(，)．
16．(2022·全国高考数学山东卷)若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.
[答案]　
[解析]　当a>1时，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝，此时g(x)＝－为减函数，不合题意．若0<a<1，则a－1＝4，a2＝m，故a＝，m＝，检验知符合题意．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(2021·德州高一检测)(1)计算：2log32－log3＋log38－25log53；
(2)已知x＝27，y＝64.化简并计算：
.
[解析]　(1)原式＝log34－log3＋log38－52log53
＝log3(4××8)－5log59
＝log39－9＝2－9＝－7.
(2)原式＝
＝＝24y又y＝64，
∴原式＝24×(26)＝48.
18．(本小题满分12分)(2021·福建省厦门市高一期中)已知函数f(x)＝()ax，a为常数，且函数的图象过点(－1,2)．
(1)求a的值；
(2)若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值．
[解析]　(1)由已知得()－a＝2，解得a＝1.
(2)由(1)知f(x)＝()x，又g(x)＝f(x)，则4－x－2＝()x，即()x－()x－2＝0，即[()x]2－()x－2＝0，
令()x＝t，则t2－t－2＝0，即(t－2)(t＋1)＝0，又t>0，故t＝2，即()x＝2，解得x＝－1.
19．(本小题满分12分)(2021·重庆市第49中学期中考试题)已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，(a＞0，a≠1)．
(1)设a＝2，函数f(x)的定义域为[3,63]，求f(x)的最值；
(2)求使f(x)－g(x)＞0的x的取值范围．
[解析]　(1)当a＝2时，f(x)＝log2(1＋x)，
在[3,63]上为增函数，因此当x＝3时，f(x)最小值为2.
当x＝63时f(x)最大值为6.
(2)f(x)－g(x)＞0即f(x)＞g(x)
当a＞1时，loga(1＋x)＞loga(1－x)
满足∴0＜x＜1
当0＜a＜1时，loga(1＋x)＞loga(1－x)
满足∴－1<x＜0
综上a＞1时，解集为{x|0＜x＜1}
0＜a＜1时解集为{x|－1<x＜0}．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xm－，且f(4)＝3.
(1)求m的值；
(2)求f(x)的奇偶性；
(3)若不等式f(x)－a>0在[1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．
[解析]　(1)由于f(4)＝3，所以4m－＝3，所以m＝1.
(2)f(x)＝x－，定义域为{x∈R|x≠0}，关于原点对称，
又f(－x)＝－x－＝－(x－)＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
(3)由于y＝x，y＝－在[1，＋∞)上均为增函数，
所以f(x)在[1，＋∞)上为增函数，
所以f(x)≥f(1)＝－3.
不等式f(x)－a>0在[1，＋∞)上恒成立，即不等式a<f(x)在[1，＋∞)上恒成立，所以a<－3，
所以实数a的取值范围为(－∞，－3)．
21．(本小题满分12分)(2021·北京东城期末)若函数f(x)满足f(logax)＝·(x－)(其中a＞0且a≠1)．
(1)求函数f(x)的解析式，并推断其奇偶性和单调性；
(2)当x∈(－∞，2)时，f(x)－4的值恒为负数，求a的取值范围．
[解析]　(1)令logax＝t(t∈R)，则x＝at，
∴f(t)＝(at－a－t)．
∴f(x)＝(ax－a－x)(x∈R)．
∵f(－x)＝(a－x－ax)＝－(ax－a－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
当a＞1时，y＝ax为增函数，y＝－a－x为增函数，且＞0，
∴f(x)为增函数．
当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，y＝－a－x为减函数，且＜0，
∴f(x)为增函数．
∴f(x)在R上为增函数．
(2)∵f(x)是R上的增函数，∴y＝f(x)－4也是R上的增函数．
由x＜2，得f(x)＜f(2)，要使f(x)－4在(－∞，2)上恒为负数，
只需f(2)－4≤0，即(a2－a－2)≤4.
∴()≤4，
∴a2＋1≤4a，∴a2－4a＋1≤0，
∴2－≤a≤2＋.又a≠1，
∴a的取值范围为[2－，1)∪(1,2＋]．
22．(本小题满分12分)(2021·河南中原名校期末)设f(x)＝满足f(－x)＝－f(x)，a为常数．
(1)求a的值；
(2)证明：f(x)在(1，＋∞)内单调递增；
(3)若对于[3,4]上的每一个x的值，不等式f(x)＞()x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)∵f(－x)＝－f(x)，
∴＝－⇒＝＞0⇒1－a2x2＝1－x2⇒a＝±1.
检验a＝1(舍)，∴a＝－1.
(2)证明：任取x1＞x2＞1，∴x1－1＞x2－1＞0.
∴0＜＜⇒1＜1＋＜1＋⇒1＜＜⇒＞.
即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(1，＋∞)内单调递增．
(3)依题意有f(x)－()x＞m恒成立．
令g(x)＝f(x)－()x，
则g(x)min＞m.
易知g(x)在[3,4]上是增函数，
∴g(x)min＝g(3)＝－.
∴m＜－时，原不等式在[3,4]上恒成立．