章数学建模概述市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx
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1、Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST第第一一章章 数学建模概述数学建模概述1.1 1.1 数学应用与数学建模数学应用与数学建模1.2 1.2 数学建模基本问题数学建模基本问题1.3 1.3 数学建模示例数学建模示例1.4 1.4 插值法与最小二乘法介绍插值法与最小二乘法介绍第第1页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartmen
2、t of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST1.1 1.1 数学应用与数学建模数学应用与数学建模数学广泛地应用于各个领域,如数学广泛地应用于各个领域,如:传统物理传统物理学、天文学、力学,及当代工程技术、社会学、天文学、力学,及当代工程技术、社会生活、信息技术等。生活、信息技术等。计算机技术发展为数学广泛应用创造了条计算机技术发
3、展为数学广泛应用创造了条件,尤其是一些数学软件开发使用,使得很件,尤其是一些数学软件开发使用,使得很多数学思想、方法得以实现。多数学思想、方法得以实现。第第2页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST 生物学生物学 航空宇
4、宙航空宇宙 滤波设计滤波设计第第3页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST 动力传输系统动力传输系统第第4页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of
5、 Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST数学模型数学模型(Mathematical Model)数学建模(数学建模(Mathematical Modeling)1.1 1.1 数学应用与数学建模数学应用与数学建模第第5页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST对于一个对于一个现实对象现实
6、对象,为了一个,为了一个特定目标特定目标,依据其依据其内在规律内在规律,做出必要,做出必要简化假设简化假设,利用适当利用适当数学工具数学工具,得到一个得到一个数学结构数学结构数学模型数学模型(Mathematical Model)数学模型是实际对象一个抽数学模型是实际对象一个抽象模拟,它用数学符号、数学公象模拟,它用数学符号、数学公式、图表、算法或程序描述现实式、图表、算法或程序描述现实对象中数量关系。对象中数量关系。第第6页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematica
7、l Modeling Department of Mathematics HUST数学建模(数学建模(Mathematical Modeling)建立数学模型全过程建立数学模型全过程(包含表述、求解、解释、验证等)(包含表述、求解、解释、验证等)第第7页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Mod
8、eling Department of Mathematics HUST数学建模全过程数学建模全过程现实对象信息现实对象信息数学模型数学模型现实对象解答现实对象解答数学模型解答数学模型解答表述表述求解求解解释解释验证验证(归纳)(演绎)表述表述求解求解解释解释验证验证根据建模目和信息将实际问题根据建模目和信息将实际问题“翻译翻译”成数学问题成数学问题选择适当数学方法求得数学模型解答选择适当数学方法求得数学模型解答将数学语言表述解答将数学语言表述解答“翻译翻译”回实际对象回实际对象用现实对象信息检验得到解答用现实对象信息检验得到解答实践现现实实世世界界数数学学世世界界理论实践第第8页页Mathe
9、matical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST1.2 1.2 数学建模基本问题数学建模基本问题数学建模方法数学建模方法数学建模基本过程数学建模基本过程数学模型分类数学模型分类怎样学好数学建模怎样学好数学建模数学建模竞赛数学建模竞赛第第9页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematic
10、al Modeling Department of Mathematics HUST测试分析方法:测试分析方法:对客观事物特征不能准确认对客观事物特征不能准确认识,只能经过对问题观察数据测量和分析,识,只能经过对问题观察数据测量和分析,找到与数据吻合最好模型。找到与数据吻合最好模型。如:如:回归分析方法,方差分析方法等。回归分析方法,方差分析方法等。数学建模方法数学建模方法机理分析方法:机理分析方法:依据对客观事物特征认识,依据对客观事物特征认识,分析其因果关系,经过推理分析得到数学模分析其因果关系,经过推理分析得到数学模型。型。如:如:微分方程方法,最优化方法等。微分方程方法,最优化方法等。
11、第第10页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST数学建模基本过程数学建模基本过程1.模型准备模型准备 了解问题实际背景,明确建模目标,了解问题实际背景,明确建模目标,搜集掌握必要数据资料。搜集掌握必要数据资料。2.模型假设模型假设 在明确建模目标在明确建模目标,掌握必要资料基础上掌握必要资料基础上,经过对资料分析计算经过对资料分析计算,找出起主要作用原因找出起主要作用原因,经经 必要
12、精炼、简化必要精炼、简化,提出若干符合客观实际假设。提出若干符合客观实际假设。3.模型建立模型建立 在所作假设基础上,利用适当数学工在所作假设基础上,利用适当数学工 具去刻划各变量之间关系具去刻划各变量之间关系,建立对应数学结构建立对应数学结构 即建立数学模型。即建立数学模型。4.模型求解模型求解 选择适当方法(解析法、数值法、画图法选择适当方法(解析法、数值法、画图法等)求解数学模型。等)求解数学模型。5.模型分析与检验模型分析与检验 对模型进行理论或计算分析,并用对模型进行理论或计算分析,并用实际数据检验是否符合实际。实际数据检验是否符合实际。在难以得出解析解时,也应该在难以得出解析解时,
13、也应该借助借助 计算机计算机 求出数值解。求出数值解。实体信实体信息息(数据数据)假设假设建模建模求解求解验证验证应用应用第第11页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST数学模型分类数学模型分类分类标准分类标准分类标准分类标准详细类别详细类别建模目标建模目标描述、优化、预报、决议描述、优化、预报、决议 对某个实际对某个实际问题了解深问题了解深入程度入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型白
14、箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中变量模型中变量特征特征连续型模型、离散型模型连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机型模型等或确定性模型、随机型模型等建模中所用建模中所用数学方法数学方法初等模型、微分方程模型、初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型等差分方程模型、优化模型等研究课题实研究课题实际范围际范围人口模型、生态系统模型人口模型、生态系统模型、交通、交通流模型、经流模型、经 济模型、基因模型等济模型、基因模型等第第12页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathema
15、tical Modeling Department of Mathematics HUST怎样学好数学建模怎样学好数学建模数学建模与其说是一门技术,不如说是一门艺术数学建模与其说是一门技术,不如说是一门艺术技术大致有章可循技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用准则艺术无法归纳成普遍适用准则想像力想像力洞察力洞察力判断力判断力 学习、分析、评价、改进他人做过模型学习、分析、评价、改进他人做过模型 亲自动手,认真做几个实际题目亲自动手,认真做几个实际题目第第13页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics
16、 HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST数学建模竞赛数学建模竞赛美国大学生数学建模竞赛:美国大学生数学建模竞赛:1985年至今,每年一年至今,每年一次,时间在次,时间在2月初第一个周五至下周二,共月初第一个周五至下周二,共96小小时。三名学生组成一队参赛,要完成以包含数学时。三名学生组成一队参赛,要完成以包含数学建模全过程为素材撰写论文(建模全过程为素材撰写论文(英文英文)。)。全国大学生数学建模竞赛:全国大学生数学建模竞赛:1992年至今,每年一年至今,每年一次,时间在次,时间在9月下旬第一个周五至下周一,共月下旬第
17、一个周五至下周一,共72小时。三名学生组成一队参赛,要完成以包含数小时。三名学生组成一队参赛,要完成以包含数学建模全过程为素材撰写论文。学建模全过程为素材撰写论文。第第14页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST1.3 1.3 数学建模示例数学建模示例1.3.1 稳定椅子稳定椅子1.3.2 商人安全过河商人安全过河1.3.4 人口增加预测人口增加预测1.3.3 传送系统效率传送系统效
18、率第第15页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST1.3.1 稳定椅子稳定椅子问题分析问题分析模型假设模型假设通常通常 三只脚着地三只脚着地 放稳放稳 四只脚着地四只脚着地 四条腿一样长,椅脚与地面点接触,四脚连线呈正方形四条腿一样长,椅脚与地面点接触,四脚连线呈正方形;地面高度连续改变,可视为数学上连续曲面地面高度连续改变,可视为数学上连续曲面;地面相对平坦,使椅子在任意位置最少三
19、只脚同时着地。地面相对平坦,使椅子在任意位置最少三只脚同时着地。椅子能在不平地面上放稳吗?椅子能在不平地面上放稳吗?问问 题题第第16页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST模型组成模型组成用数学语言把椅子位置和四只脚着
20、地关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地关系表示出来 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)对称性对称性用用(对角线与对角线与x轴夹角轴夹角)表示椅子位置表示椅子位置 四只脚着地四只脚着地距离是距离是 函数函数四个距离四个距离(四只脚四只脚)A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f()B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g()椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形对称性正方形对称性两个两个 距离距离xBADCODC B A 第第17页页Mathematical modelingMathematical mode
21、lingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTf(),g()是是连续函连续函数数对任意对任意,f(),g()最少一个为最少一个为0数学问题数学问题已知:已知:f(),g()是是连续函数连续函数;对任意对任意,f()g()=0;且且 g(0)=0,f(0)0.证实:证实:存在存在 0,使,使f(0)=g(0
22、)=0.地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置最少三只脚着地最少三只脚着地用数学语言把椅子位置和四只脚着地关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地关系表示出来模型组成模型组成第第18页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST模型求解模型求解给出一个简单、粗糙证实方法给出一个简单、粗糙证实方法将椅子将椅子旋转旋转900,对角线,对角线AC和和BD交换。交换。由由g
23、(0)=0,f(0)0,知,知f(/2)=0,g(/2)0.令令h()=f()g(),则则h(0)0和和h(/2)0.由由 f,g连续性知连续性知 h为连续函数为连续函数,据连续函数基本性质据连续函数基本性质,必必存在存在 0,使使h(0)=0,即即f(0)=g(0).因为因为f()g()=0,所以所以f(0)=g(0)=0.建模关键建模关键:假设条件本质与非本质假设条件本质与非本质 考查四脚连线呈长方形椅子考查四脚连线呈长方形椅子和和 f(),g()确定确定评注和评注和思索思索:第第19页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartmen
24、t of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST问题问题(智力游戏智力游戏)3名商人名商人 3名随从名随从随从们密约随从们密约,在河任一岸在河任一岸,一旦随从人数比商人多一旦随从人数比商人多,就杀人越货就杀人越货.不过乘船渡河方案由商人决定不过乘船渡河方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河商人们怎样才能安全过河?问题分析问题分析多步
25、决议过程多步决议过程决议决议 每一步每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上人员船上人员要求要求在安全前提下在安全前提下(两岸随从数不比商人多两岸随从数不比商人多),),经有限步使全体人员过河经有限步使全体人员过河.河河小船小船(至多至多2人人)1.3.2 商人安全过河商人安全过河第第20页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathe
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