2020-2021学年高中人教B版数学必修四课时作业：第二章--章末复习课.docx

其次章 章末复习课

课时目标　1．把握向量的线性运算及其几何意义．2．理解共线向量的含义、几何表示及坐标表示的条件．3．把握数量积的含义、坐标形式及其应用．

学问结构

一、选择题
1．若向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，则(a·b)(a＋b)等于(　　)
A．20 B．(－10,30)
C．54 D．(－8,24)
2．已知平面对量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与a垂直，则λ等于(　　)
A．－1 B．1 C．－2 D．2
3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么(　　)
A．＝ B．＝2
C．＝3 D．2＝
4．在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则·等于(　　)
A．－3 B．－2 C．2 D．3
5．定义平面对量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np．下面说法错误的是(　　)
A．若a与b共线，则a⊙b＝0
B．a⊙b＝b⊙a
C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)
D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2
6．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于(　　)
A． B． C．－ D．－

二、填空题
7．过点A(2,3)且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程是____________．
8．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的射影是______．
9．一个物体在大小为20 N的力F的作用下的位移为s，力F所做的功W＝40 J，且F与s的夹角为60°，则位移为s的大小为________m．
10．已知平面对量α、β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．

三、解答题
11．已知A(1，－2)、B(2,1)、C(3,2)和D(－2,3)，以、为一组基底来表示＋＋．

12．设a，b是两个不共线的非零向量，t∈R．
(1)若a与b起点相同，t为何值时a，tb，(a＋b)三向量的终点在一条直线上？
(2)若|a|＝|b|且a与b夹角为60°，那么t为何值时，|a－tb|的值最小？

力气提升
13．已知点O为△ABC所在平面内一点，且2＋2＝2＋2＝2＋2，则O确定是△ABC的(　　)
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
14．如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求实数λ、μ的值．

1．由于向量有几何法和坐标法两种表示，它的运算也由于这两种不同的表示而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要擅长从不同的角度考虑问题．
2．向量是一个有“形”的几何量，因此，在争辩向量的有关问题时，确定要结合图形进行分析推断求解，这是争辩平面对量最重要的方法与技巧．

其次章 章末复习课 答案

作业设计
1．B　[a·b＝－3＋8＝5，a＋b＝(－2,6)，
∴(a·b)(a＋b)＝5×(－2,6)＝(－10,30)．]
2．A　[(λa＋b)·a＝0，∴λa2＋a·b＝0.
∴10λ＋10＝0，∴λ＝－1.]
3．A　[由题意D是BC边的中点，
所以有＋＝2，
所以2＋＋＝2＋2
＝2(＋)＝0
⇒＋＝0⇒＝.]
4．D　[＝＋＝(1,2)，
＝－＝(－3,2)，解得＝(－1,2)，
∴·＝(－1,2)·(1,2)＝3.]
5．B　[若a＝(m，n)与b＝(p，q)共线，则mq－np＝0，依运算“⊙”知a⊙b＝0，故A正确．由于a⊙b＝mq－np，又b⊙a＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a，故B不正确．对于C，由于λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp，又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，故C正确．对于D，(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，故D正确．]
6．A　[易知P为△ABC的重心，则＋＝－＝，故·(＋)＝2＝.]
7．2x＋y－7＝0
解析　设直线上任一点P(x，y)，则＝(x－2，y－3)．
由·a＝2(x－2)＋(y－3)＝0，得2x＋y－7＝0.
8．1
解析　b在a上的射影为|b|cos θ＝2×cos 60°＝1.
9．4
解析　∵W＝F·s，
∴40＝20×|s|·cos 60°，∴|s|＝4.
10.
解析　由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝0，
∴α2－2α·β＝0.
又∵|α|＝1，∴α·β＝.
又∵|β|＝2，∴|2α＋β|＝＝
＝＝.
11．解　∵＝(1,3)，＝(2,4)，＝(－3,5)，
＝(－4,2)，＝(－5,1)，
∴＋＋＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)
＝(－12,8)．
依据平面对量基本定理，必存在唯一实数对m，n使得
＋＋＝m＋n，
∴(－12,8)＝m(1,3)＋n(2,4)．
∴，
得m＝32，n＝－22.
∴＋＋＝32－22.
12．解　(1)设a－tb＝m[a－(a＋b)]，m∈R，
化简得(m－1)a＝(－t)b，
∵a与b不共线，
∴，∴
∴t＝时，a，tb，(a＋b)的终点在始终线上．
(2)|a－tb|2＝(a－tb)2
＝|a|2＋t2|b|2－2t|a||b|cos 60°
＝(1＋t2－t)|a|2.
∴当t＝时，|a－tb|有最小值|a|.
13．C　[由2＋2＝2＋2，得2＋(－)2
＝2＋(－)2，得·＝·.
∴·＝0，O在边AB的高线上．同理O在边AC的高线上，即O为△ABC的垂心．故选C.]
14．解　方法一　

过点C分别作平行于OB的直线CE交直线OA于点E，平行于OA的直线CF交直线OB于点F.如图所示．
在Rt△OCE中，||＝＝＝4；
||＝||·tan 30°＝2×＝2，
由平行四边形法则知，
＝＋＝4＋2，
∴λ＝4，μ＝2.
方法二　

如图所示，以所在直线为x轴，过O垂直于OA的直线为y轴建立直角坐标系．设B点在x轴的射影为B′，C点在x轴的射影为C′.
易知，OC′＝2cos 30°＝3，CC′＝OCsin 30°＝，BB′＝OBsin 60°＝，OB′＝OBcos 60°＝，
∴A点坐标为(1,0)，B点坐标为，
C点坐标为(3，)．
∵＝λ＋μ
∴∴.