【优化设计】2020-2021学年高一下学期数学(人教版必修4)第二章2.3.1课时作业.docx

[学业水平训练]
1．已知向量e1，e2不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是(　　)
A．e1－e2与e2－e1
B．2e1－3e2与e1－e2
C．－e1－2e2与2e1＋4e2
D．e1－2e2与2e1－e2
解析：选D.依据基底的定义，只要两向量不共线便可作为基底，易知选D.
2．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1、e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是(　　)
A．不共线　　　　　　　　 B．共线
C．相等 D．不确定
解析：选B.∵a＋b＝3e1－e2，
∴c＝2(a＋b)．∴a＋b与c共线．
3. 如图，在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则＝(　　)

A.(5e1＋3e2)
B.(5e1－3e2)
C.(3e2－5e1)
D.(5e2－3e1)
解析：选A.＝＝(＋)＝(＋)＝(5e1＋3e2)．
4．设点O是▱ABCD两对角线的交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与，可作为该平面其他向量基底的是(　　)
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
解析：选B.易知与不共线，与不共线，故选B.
5．若D在△ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.由题意得＝＝－，
∴r＝，s＝－，∴3r＋s＝.
6. 如图，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M是DC的中点，以a，b为基底表示向量＝________．

解析：＝＋＝＋＝＋＝b＋a.
答案：b＋a
7．设a，b是两个不共线向量，已知＝2a＋kb，＝a＋b，＝2a－b，若A、B、D三点共线，则k＝________．
解析：∵＝a＋b，＝2a－b，
∴＝－＝(2a－b)－(a＋b)＝a－2b.
∵A、B、D三点共线，
∴＝λ，
∴2a＋kb＝λ(a－2b)＝λa－2λb.
又a，b是两个不共线向量，
∴，
∴k＝－4.
答案：－4
8. 如图，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．

解析：由点D是圆O外一点，可设＝λ(λ＞1)，则＝＋λ＝λ＋(1－λ).又C，O，D三点共线，令＝－μ(μ＞1)，则＝－－(λ＞1，μ＞1)，所以m＝－，n＝－，且m＋n＝－－＝－∈(－1，0)．
答案：(－1，0)
9．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.
解：∵a，b不共线，∴可设c＝xa＋yb，
则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.
又∵e1，e2不共线，
∴
解得
∴c＝a－2b.
10. 如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M是AD，DC的中点，BF＝BC，以a，b为基底表示向量与.

解：由H，M，F所在位置有：
＝＋＝＋＝＋＝b＋a，
＝－＝＋－＝＋－＝＋－＝a－b.
[高考水平训练]
1．AD与BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且＝a，＝b，则＝(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a－b D．－a＋b
解析：选B.设AD与BE交点为F，
则＝a，＝b.
由＋＋＝0，得＝(a－b)，
所以＝2＝2(－)＝a＋b.
2．已知e1与e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，且a与b可作为一组基底，则实数λ的取值范围是________．
解析：当a∥b时，设a＝mb，则有e1＋2e2＝m(λe1＋e2)，即e1＋2e2＝mλe1＋me2，
∴解得λ＝，即当λ＝时，a∥b.
又a与b可作为一组基底，∴a与b不共线，∴λ≠.
答案：(－∞，)∪(，＋∞)
3. 如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a，b表示.

解：易知＝，＝.
设＝λ，则由平行四边形法则可得
＝λ(＋)＝2λ＋2λ，
由于E，G，F三点共线，则2λ＋2λ＝1，
则λ＝，从而＝，
从而＝＝(a＋b)．

4. 已知△OAB中，延长BA到C，使AB＝AC，D是将分成2∶1两部分的一个分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.

(1)用a，b表示向量，；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
解：(1)∵A为BC的中点，
∴＝(＋)，＝2a－b.
＝－＝－
＝2a－b－b＝2a－b.
(2)∵＝λ，
∴＝－＝λ－
＝λa－2a＋b＝(λ－2)a＋b.
∵与共线，
∴存在实数m，使得＝m，
即(λ－2)a＋b＝m(－2a＋b)，
即(λ＋2m－2)a＋(1－m)b＝0.
∵a，b不共线，
∴
解得λ＝.