2022届数学一轮课时作业(文科)(浙江专用)-第四章-三角函数、解三角形-4-3.docx

第3讲　平面对量的数量积

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)　
一、选择题
1．(2022·大纲全国卷)已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b＝
(　　)
A．－1 B．0 C． 1 D．2
解析　(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2×1×1×cos 60°－12＝0，故选B.
答案　B
2．(2022·云南统一检测)已知平面对量a与b的夹角等于，若|a|＝2，|b|＝3，则|2a－3b|＝
(　　)
A. B. C．57 D．61
解析　由题意可得a·b＝|a|·|b|cos ＝3，所以|2a－3b|＝＝＝＝，故选B.
答案　B
3．已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin 2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tan x的值等于
(　　)
A．1 B．－1 C. D.
解析　设a与b的夹角为θ.由|a·b|＝|a||b|，得|cos θ|＝1，所以向量a与b共线，则sin 2x＝2sin2x，即2sin xcos x＝2sin2x.又x∈(0，π)，所以2cos x＝2sin x，即tan x＝1.
答案　A
4．(2021·杭州质量检测)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在CD上，若·＝，则·的值是
(　　)

A. 　　　 B．2
C．0 　　　 D．1
解析　依题意得·＝(＋)·(－)＝·－2＋·－·＝－2＋1×2－0＝，故选A.
答案　A
5．(2022·大庆二模)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角为
(　　)
A. B. C. D.
解析　由题意作图(如图)，设＝b，＝a，结合向量的几何意义可知∠ABD＝∠CAB＝，故向量a＋b与a－b的夹角为与的夹角，为，选D.

答案　D
二、填空题
6．(2022·上海八校联合调研)向量a＝(3,4)在向量b＝(1，－1)方向上的投影为________．
解析　依题意得a·b＝－1，|b|＝，因此向量a在向量b方向上的投影为＝－.
答案　－
7．(2022·江西卷)已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cos α＝，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________.
解析　由向量数量积的定义知e1·e2＝|e1||e2|cos α＝1×1×＝，而a2＝(3e1－2e2)2＝9e－12e1·e2＋4e＝9×12－12×＋4×12＝9，所以|a|＝3.
答案　3
8．(2022·四川卷)平面对量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝______.
解析　a＝(1,2)，b＝(4,2)，则c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，|a|＝，|b|＝2，a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20.
∵c与a的夹角等于c与b的夹角，
∴＝，∴＝，解得m＝2.
答案　2
三、解答题
9．已知平面对量a＝(，－1)，b＝.
(1)证明：a⊥b；
(2)若存在不同时为零的实数k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，试求函数关系式k＝f(t)．
(1)证明　∵a·b＝×－1×＝0，∴a⊥b.
(2)解　∵c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，
∴c·d＝[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)
＝－ka2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]a·b＝0.
又a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，a·b＝0，
∴c·d＝－4k＋t3－3t＝0，
∴k＝f(t)＝(t≠0)．
10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．
解　(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，
∴a·b＝－6.∴cos θ＝＝＝－.
又0≤θ≤π，∴θ＝.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝.
(3)∵与的夹角θ＝，∴∠ABC＝π－＝.
又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，
∴S△ABC＝||||sin∠ABC＝×4×3×＝3.
力气提升题组
(建议用时：35分钟)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
11．(2022·郑州质量检查)若△ABC满足A＝，AB＝2，则下列三个式子：
①·，②·，③·中为定值的式子的个数为
(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
解析　依题意得知·＝0，·＝·(＋)＝2＋·＝2＝4，·的值不确定，故选C.
答案　C
12．(2021·金华质量检测)在△ABC中，设2－2＝2·，那么动点M的轨迹必通过△ABC的
(　　)
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
解析　假设BC的中点是O.则2－2＝(＋)·(－)＝2·＝2·，即(－)·＝M·B＝0，所以⊥，所以动点M在线段BC的中垂线上，所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心，选C.
答案　C
13．(2022·东北三省四市联考)在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为(3，a)，a∈R，点P满足＝λ，λ∈R，||·||＝72，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为________．
解析　点A的坐标为(3，a)，则||≥3，又＝λ，则O，P，A三点共线，||||＝72，故||＝.设OP与x轴夹角为θ，则OP在x轴上的投影长度为||cos θ＝||＝≤24，即线段OP在x轴上的投影长度的最大值为24.
答案　24
14．已知平面上三点A，B，C，＝(2－k,3)，＝(2,4)．
(1)若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；
(2)若△ABC为直角三角形，求k的值．
解　(1)由三点A，B，C不能构成三角形，得A，B，C在同始终线上，即向量与平行，
∴4(2－k)－2×3＝0，解得k＝.
(2)∵＝(2－k,3)，∴＝(k－2，－3)，
∴＝＋＝(k,1)．若△ABC为直角三角形，
则当A是直角时，⊥，即·＝0，
∴2k＋4＝0，解得k＝－2；
当B是直角时，⊥，即·＝0，
∴k2－2k－3＝0，解得k＝3或k＝－1；
当C是直角时，⊥，即·＝0，∴16－2k＝0，
解得k＝8.综上得k的值为－2，－1,3,8.
15．(2022·北京海淀模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若·＝·＝k(k∈R)．
(1)推断△ABC的外形；
(2)若c＝，求k的值．
解　(1)∵·＝cbcos A，·＝cacos B，
又·＝·，∴bccos A＝accos B，
∴sin Bcos A＝sin Acos B，
即sin Acos B－sin Bcos A＝0，∴sin(A－B)＝0，
∵－π＜A－B＜π，∴A＝B，即△ABC为等腰三角形．
(2)由(1)知，·＝bccos A＝bc·＝＝k，
∵c＝，∴k＝1.