2022届-数学一轮(理科)-苏教版-江苏专用-课时作业-第八章-立体几何-5-.docx
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第5讲 空间向量及其运算 基础巩固题组 (建议用时:30分钟) 一、填空题 1.空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB与CD的位置关系是________. 解析 由题意得,=(-3,-3,3),=(1,1,-1), ∴=-3, ∴与共线,又与没有公共点. ∴AB∥CD. 答案 平行 2.有以下命题:①假如向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么a,b的关系是共线;②O,A,B,C为空间四点,且向量,,不构成空间的一个基底,那么点O,A,B,C肯定共面;③已知向量a,b,c是空间的一个基底,则向量a+b,a-b,c也是空间的一个基底.其中全部正确命题的序号是________. 解析 对①易知a,b与空间任何向量共面,所以a,b共线,①正确;②明显正确; 对③可结合平行六面体说明其正确性. 答案 ①②③ 3.(2021·济南月考)O为空间任意一点,若=++,则A,B,C,P四点________(填序号). ①肯定不共面;②肯定共面;③不肯定共面;④无法推断. 解析 ∵=++,且++=1.∴P,A,B,C四点共面. 答案 ② 4.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a⊥(a-λb),则实数λ的值为________. 解析 由题意知a·(a-λb)=0,即a2-λa·b=0, ∴14-7λ=0,∴λ=2. 答案 2 5.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c三个向量共面,则实数λ等于________. 解析 ∵a,b,c共面,且明显a,b不共线, ∴c=xa+yb, ∴ 由①②解得代入③得λ=. 答案 6.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则·的值为________. 解析 如图,设=a,=b,=c, 则|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三向量两两夹角为60°. =(a+b),=c, ∴·=(a+b)·c =(a·c+b·c)=(a2cos 60°+a2cos 60°)=a2. 答案 a2 7.在四周体O-ABC中,=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则=________(用a,b,c表示). 解析 =+=+×(+) =+×(-+-) =++=a+b+c. 答案 a+b+c 8.A,B,C,D是空间不共面四点,且·=0,·=0,·=0,则△BCD的外形是________三角形(填锐角,直角,钝角中的一个). 解析 ·=(-)·(-) =·-·-·+2 =2>0, ∴∠CBD为锐角. 同理∠BCD,∠BDC均为锐角. 答案 锐角 二、解答题 9.已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=. (1)若|c|=3,且c∥,求向量c. (2)求向量a与向量b的夹角的余弦值. 解 (1)∵c∥,=(-3,0,4)-(-1,1,2)=(-2,-1,2), ∴c=m=m(-2,-1,2) =(-2m,-m,2m), ∴|c|==3|m|=3, ∴m=±1. ∴c=(-2,-1,2)或(2,1,-2). (2)∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2), ∴a·b=(1,1,0)·(-1,0,2)=-1, 又∵|a|==, |b|==, ∴cos〈a,b〉===-, 即向量a与向量b的夹角的余弦值为-. 10.如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,把△ADC沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求BD的长. 解 ∵AB与CD成60°角,∴〈,〉=60°或120°, 又∵AB=AC=CD=1,AC⊥CD,AC⊥AB, ∴||== = = =, ∴||=2或.∴BD的长为2或. 力量提升题组 (建议用时:15分钟) 1.有下列命题: ①若p=xa+yb,则p与a,b共面; ②若p与a,b共面,则p=xa+yb; ③若=x+y,则P,M,A,B共面; ④若P,M,A,B共面,则=x+y. 其中全部真命题的序号是________. 解析 其中①③为真命题. 答案 ①③ 2.已知{a,b,c}是空间的一个基底,{a+b,a-b,c}是空间的另一个基底,一向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标是________. 解析 设p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为x,y,z.则 p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,① 由于p在{a,b,c}下的坐标为(4,2,3), ∴p=4a+2b+3c,② 由①②得∴ 即p在{a+b,a-b,c}下的坐标为(3,1,3). 答案 (3,1,3) 3.已知2a+b=(0,-5,10),c=(1,-2,-2),a·c=4,|b|=12,则以b,c为方向向量的两直线的夹角为________. 解析 由题意得,(2a+b)·c=0+10-20=-10. 即2a·c+b·c=-10,又∵a·c=4,∴b·c=-18, ∴cos〈b,c〉===-, ∴〈b,c〉=120°,∴两直线的夹角为60°. 答案 60° 4.(2021·淮安检测)如图所示,以棱长为a的正方体的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系,点P在正方体的对角线AB上,点Q在棱CD上. (1)当点P为对角线AB的中点,点Q在棱CD上运动时,探究PQ的最小值; (2)当点P在对角线AB上运动,点Q在棱CD上运动时,探究PQ的最小值. 解 (1)由于B(0,0,a),A(a,a,0),P为AB的中点,所以P.又由于Q在CD上运动, 所以可设Q(0,a,z0),其中z0∈[0,a],因此 PQ= =, 可知,当z0=时,PQ取最小值a. (2)明显,当P在AB上运动时,P到坐标平面xOz、yOz的距离相等,且P在第一象限,所以可设P(t,t,a-t),t∈[0,a],又Q在CD上运动,所以可设Q(0,a,z0),z0∈[0,a], 所以PQ= = = , 当且仅当z0=t=时,PQ取最小值a.- 配套讲稿:
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