2022版数学一轮复习(理科)人教A版-课时作业-探究课二-导数问题中的热点题型.docx
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1、 (建议用时:80分钟)1(2021毕节二模)已知f(x)xln x(x0)(1)求f(x)的最小值(2)F(x)ax2f(x)(aR),争辩函数f(x)的单调性解(1)由f(x)xln x,得f(x)ln x1(x0),令f(x)0,得x.当x时,f(x)0;当x时,f(x)0,当x时,f(x)minln .(2)由题意及(1)知,F(x)ax2ln x1(x0),所以F(x)2ax(x0)当a0时,恒有F(x)0,则F(x)在(0,)上是增函数;当a0时,令F(x)0,即2ax210,解得0x;令F(x)0,即2ax210,解得x.综上,当a0时,F(x)在(0,)上是增函数;当a0时,F
2、(x)在上单调递增,在上单调递减2已知f(x)axln x,x(0,e,g(x),其中e是自然常数,aR.(1)争辩a1时,函数f(x)的单调性和极值;(2)求证:在(1)的条件下,f(x)g(x);(3)是否存在正实数a,使f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由(1)解当a1时,f(x)xln x,x(0,e,f(x)1,x(0,e,当0x1时,f(x)0,此时f(x)的单调递减;当1xe时,f(x)0时,此时f(x)的单调递增f(x)的微小值为f(1)1.(2)证明f(x)的微小值为1,即f(x)在(0,e上的最小值为1,f(x)min1.又g(x),当0xe时,g
3、(x)0,g(x)在(0,e上单调递增g(x)maxg(e),f(x)ming(x)max,在(1)的条件下,f(x)g(x).(3)解假设存在正实数a,使f(x)axln x(x(0,e)有最小值3,则f(x)a,x(0,e当0e时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,f(x)minf1ln a3,ae2,满足条件;当e时,f(x)在(0,e上单调递减,f(x)minf(e)ae13,a(舍去),所以,此时f(x)无最小值综上,存在实数ae2,使得当x(0,e时,f(x)有最小值3.3(2021南京调研)已知函数f(x)exmx,其中m为常数(1)若对任意xR有f(x)0恒成立,求m的取值范
4、围;(2)当m1时,推断f(x)在0,2m上零点的个数,并说明理由解(1)依题意,可知f(x)exm1,令f(x)0,得xm.故当x(,m)时,exm1,f(x)1,f(x)0,f(x)单调递增故当xm时,f(m)为微小值也是最小值令f(m)1m0,得m1,即对任意xR,f(x)0恒成立时,m的取值范围是(,1(2)当m1时,f(m)1m0,f(0)f(m)1时,g(m)em20,g(m)在(1,)上单调递增g(m)g(1)e20,即f(2m)0.f(m)f(2m)0,f(x)在(m,2m)上有一个零点故f(x)在0,2m上有两个零点4(2022北京卷)已知函数f(x)xcos xsin x,
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