2013-2020学年高一下学期数学人教A版必修2教案-第3章第3.1.1节2.docx

【新课教学过程设计（二）】
第三章 直线与方程
第3.1.1节 倾斜角与斜率

提出问题
①怎样描述直线的倾斜程度呢？
②图2中标出的直线的倾斜角α对不对？假如不对，违反了定义中的哪一条？

图2
③直线的倾斜角能不能是0°？能不能是锐角？能不能是直角？能不能是钝角？能不能是平角？能否大于平角？
④日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
⑤正切函数的定义域是什么？
⑥任何直线都有斜率么？
⑦我们知道两点确定一条直线，那么已知直线上两点坐标，如何才能求出它的倾斜角和斜率呢？如：已知A(2，3)、B(－1，4)，则直线AB的斜率是多少?
活动:①与交角有关.当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
可见：平面上的任始终线都有唯一的一个倾斜角，并且倾斜角定了，直线的方向也就定了.
②考虑正方向.
③动手在坐标系中作多条直线，可知倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.在此范围内，坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角，而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向.倾斜角直观地表示了直线对x轴正方向的倾斜程度.
规定：当直线和x轴平行或重合时，直线倾斜角为0°，所以倾斜角的范围是0°≤α＜180°.
④联想小时候玩的滑梯，结合坡度比给出斜率定义，直线斜率的概念.
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tanα.
⑤老师介绍正切函数的相关学问.
⑥说明：直线与斜率之间的对应不是映射，由于垂直于x轴的直线没有斜率.
（倾斜角是90°的直线没有斜率）
⑦已知直线l上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且直线l与x轴不垂直，如何求直线l的斜率？教学时可与教材上的方法一样推出.
争辩结果:①用倾斜角.
②都不对.与定义中的x轴正方向、直线向上方向相违反.
③直线的倾斜角能是0°，能是锐角，能是直角，能是钝角，不能是平角，不能大于平角.
④有，常用的有坡度比.
⑤90°的正切值不存在.
⑥倾斜角是90°的直线没有斜率.
⑦过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜率公式k=.
应用示例
思路1
例1 已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并推断它们的倾斜角是钝角还是锐角.
活动:引导同学明确已知两点坐标,由斜率公式代入即可求得k的值;
而当k=tanα＜0时,倾斜角α是钝角;
而当k=tanα＞0时,倾斜角α是锐角;
而当k=tanα=0时,倾斜角α是0°.
解:直线AB的斜率k1=＞0,所以它的倾斜角α是锐角;
直线BC的斜率k2=-0.5＜0,所以它的倾斜角α是钝角;
直线CA的斜率k3=1＞0,所以它的倾斜角α是锐角.
变式训练
已知A(1,3),B(0,2),求直线AB的斜率及倾斜角.
解:kAB=,
∵直线倾斜角的取值范围是0°—180°,
∴直线AB的倾斜角为60°.
例2 在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,-1,2及-3的直线a,b,c,l.
活动:要画出经过原点的直线a,只要再找出a上的另外一点M.而M的坐标可以依据直线a的斜率确定.
解:设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),依据斜率公式有：1=,所以x=y.
可令x=1,则y=1,于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点M(1,1),可作直线a.
同理,可作直线b,c,l.
变式训练
1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：
(1)α=0°；（2）α=60°；(3)α=90°.
活动:指导同学依据定义直接求解.
解：(1)∵tan0°=0，
∴倾斜角为0°的直线斜率为0.
(2)∵tan60°=，∴倾斜角为60°的直线斜率为.
(3)∵tan90°不存在，∴倾斜角为90°的直线斜率不存在.
点评：通过此题训练，意在使同学生疏特殊角的斜率.
2.关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的( )
A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率
B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或π；两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等
D.直线斜率的范围是(－∞，＋∞)
答案：D
课堂小结
通过本节学习，要求大家：
（1）把握已知直线的倾斜角求斜率;
（2）直线倾斜角的概念及直线倾斜角的范围；
（3）直线斜率的概念；
（4）已知直线的倾斜角（或斜率），求直线的斜率（或倾斜角）的方法.
作业
习题3.1 A组3、4、5.