2022届数学一轮(理科)人教A版课时作业-12-6离散型随机变量的均值与方差.docx

第6讲　离散型随机变量的均值与方差

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2021·广东卷)已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P

则X的数学期望E(X)＝ (　　)
A. B．2 C. D．3
解析　E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
答案　A
2．已知随机变量X听从二项分布，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，则二项分布的参数n，p的值为 (　　)
A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4
C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1
解析　由二项分布X～B(n，p)及E(X)＝np，D(X)＝np·(1－p)得2.4＝np，且1.44＝np(1－p)，解得n＝6，p＝0.4.故选B.
答案　B
3．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为 (　　)
A．100 B．200 C．300 D．400
解析　记不发芽的种子数为Y，则Y～B(1 000，0.1)，
∴E(Y)＝1 000×0.1＝100.又X＝2Y，∴E(X)＝E(2Y)＝2E(Y)＝200.
答案　B
4．口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的数学期望E(X)的值是 (　　)
A．4 B．4.5 C．4.75 D．5
解析　由题意知，X可以取3，4，5，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝＝，
所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝4.5，
故选B.
答案　B
5．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X为取得红球的次数，则X的方差D(X)的值为 (　　)
A. B. C. D.
解析　由于是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为，连续摸4次(做4次试验)，X为取得红球(成功)的次数，则X～B，∴D(X)＝4×＝.
答案　B
二、填空题
6．(2022·浙江卷)随机变量X的取值为0，1，2.若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(X)＝________．
解析　由题意设P(X＝1)＝p，由概率分布的性质得P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝－p，
由E(X)＝1，可得p＝，所以D(X)＝12×＋02×＋12×＝.
答案　
7．某毕业生参与人才聘请会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________．
解析　由题意知P(X＝0)＝＝(1－p)2×，
∴p＝，随机变量X的可能值为0，1，2，3，
因此P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝×＋×＝，
P(X＝2)＝××2＋×＝，
P(X＝3)＝×＝，
因此E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
答案　
8．某保险公司新开设一项保险业务，规定该份保单在一年内假如大事E发生，则该公司要赔偿a元，在一年内假如大事E发生的概率为p，为使该公司收益期望值等于，公司应要求该保单的顾客缴纳的保险金为________元．
解析　设随机变量X表示公司此项业务的收益额，x表示顾客交纳的保险金，则X的全部可能值为x，x－a，且P(X＝x)＝1－p，P(X＝x－a)＝p，
所以E(X)＝x(1－p)＋(x－a)p＝，得x＝.
答案　
三、解答题
9．(2022·湖南卷)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现支配甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；
(2)若新产品A研发成功，估量企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，估量企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．
解　记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P(E)＝，P()＝，P(F)＝，P()＝，且大事E与F，E与，与F，与都相互独立．
(1)记H＝“至少有一种新产品研发成功”，则＝　，
于是P()＝P()P()＝×＝，
故所求的概率为P(H)＝1－P()＝1－＝.
(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0，100，120，220，由于P(X＝0)＝P()＝×＝，P(X＝100)＝P(F)＝×＝，
P(X＝120)＝P(E)＝×＝，
P(X＝220)＝P(EF)＝×＝.
故所求的分布列为
X
0
100
120
220
P

数学期望为
E(X)＝0×＋100×＋120×＋220×
＝＝＝140.
10．受轿车在保修期内修理费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次毁灭故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，
统计数据如下：
品牌
甲
乙

首次毁灭故障时间x(年)
0<x≤1
1<x≤2
x>2
0<x≤2
x>2
轿车数量(辆)
2
3
45
5
45
每辆利润(万元)
1
2
3
1.8
2.9
将频率视为概率，解答下列问题：
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次毁灭故障发生在保修期内的概率；
(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
(3)该厂估量今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．
解　(1)设“甲品牌轿车首次毁灭故障发生在保修期内”为大事A.
则P(A)＝＝.
(2)依题意得，X1的分布列为
X1
1
2
3
P

X2的分布列为
X2
1.8
2.9
P

(3)由(2)得，E(X1)＝1×＋2×＋3×
＝＝2.86(万元)，
E(X2)＝1.8×＋2.9×＝2.79(万元)．
由于E(X1)>E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．
力气提升题组
(建议用时：25分钟)

11．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X的期望值为 (　　)
A．2.44 B．3.376 C．2.376 D．2.4
解析　X的全部可能取值为3，2，1，0，其分布列为
X
3
2
1
0
P
0.6
0.24
0.096
0.064
∴E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.
答案　C
12．掷骰子玩耍：规定掷出1点，甲盒中放一球，掷出2点或3点，乙盒中放一球，掷出4，5或6，丙盒中放一球，共掷6次，用x，y，z分别表示掷完6次后甲，乙，丙盒中球的个数．令X＝x＋y，则E(X)＝ (　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
解析　将每一次掷骰子看作一次试验，试验的结果分丙盒中投入球为成功和丙盒中不投入球为失败且相互独立，则丙盒中投入球成功的概率为，用z表示6次试验中成功的次数，则z～B，
∴E(z)＝3，又x＋y＋z＝6，
∴X＝x＋y＝6－z，∴E(X)＝E(6－z)＝6－E(z)＝6－3＝3.
答案　B
13．随机变量X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，若E(X)＝，则D(X)的值是________．
解析　由已知条件可得
解得a＝，b＝，c＝.
∴D(X)＝×＋×＋×＝.
答案　
14．(2022·安徽卷)甲乙两人进行围棋竞赛，商定先连胜两局者直接赢得竞赛，若赛完5局仍未毁灭连胜，则判定获胜局数多者赢得竞赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局竞赛结果相互独立．
(1)求甲在4局以内(含4局)赢得竞赛的概率；
(2)记X为竞赛决出胜败时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)．
解　用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得竞赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”，
则P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1，2，3，4，5.
(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)＝
P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＝＋×＋××＝.
(2)X的可能取值为2，3，4，5.
P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)
＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝，
P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)
＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝，
P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)
＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)·P(B4)＝，
P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.
故X的分布列为
X
2
3
4
5
P

E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.