【2022成才之路】(人教B版)数学必修1同步测试：第三章-基本初等函数2.3-Word版含答案.docx

第三章　3.2　3.2.3　

一、选择题
1．函数y＝x＋2，x∈R的反函数为(　　)
A．x＝2－y　　　　　 B．x＝y－2
C．y＝2－x，x∈R D．y＝x－2，x∈R
[答案]　D
[解析]　由y＝x＋2得，x＝y－2，∴y＝x－2.∵x∈R，∴y＝x＋2∈R，
∴函数y＝x＋2，x∈R的反函数为y＝x－2，x∈R.
2．下列函数中随x的增大而增大速度最快的是(　　)
A．y＝ex B．y＝100·lnx
C．y＝lgx D．y＝100·2x
[答案]　A
[解析]　∵指数函数图象的增长速度越来越快，而对数函数图象的增长速度渐渐变缓慢，又∵e>2，∴y＝ex的图象的增长速度比y＝100·2x的图象的增长速度还要快，故选A．
3．已知函数f(x)＝，则f[f()]＝(　　)
A．－1　　　 B．log2
C． D．
[答案]　D
[解析]　f[f()]＝f[log2]＝f(－1)＝3－1＝.
4．已知函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，若g(a)＝1，则实数a的值为(　　)
A．－e　　 B．－　　
C．　　 D．e
[答案]　C
[解析]　∵函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，
∴f(x)＝lnx，
又∵函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，∴g(x)＝－lnx，
∴g(a)＝－lna＝1，∴lna＝－1，∴a＝.
5．函数y＝f(x)的图象过点(1,3)，则它的反函数的图象过点(　　)
A．(1,2) B．(2,1)
C．(1,3) D．(3,1)
[答案]　D
[解析]　∵互为反函数的图象关于直线y＝x对称，
∴点(1,3)关于直线y＝x的对称点为(3,1)，故选D．
6．函数y＝1－(x≥2)的反函数为(　　)
A．y＝(x－1)2＋1(x≥1) B．y＝(x－1)2－1(x≥0)
C．y＝(x－1)2＋1(x≤1) D．y＝(x－1)2＋1(x≤0)
[答案]　D
[解析]　∵y＝1－，∴＝1－y，
∴x－1＝(1－y)2，∴y＝(1－x)2＋1＝(x－1)2＋1.
又∵x≥2，∴x－1≥1，∴≥1，
∴－≤－1，∴1－≤0.
∴函数y＝1－(x≥2)的反函数为y＝(x－1)2＋1(x≤0)．
二、填空题
7．函数y＝π－x的反函数为________．
[答案]　y＝－logπx(x>0)
[解析]　由y＝π－x，得－x＝logπy，∴y＝－logπx.
∵π－x>0，
∴函数y＝π－x的反函数为y＝－logπx(x>0)．
8．设f(x)＝，则满足f(x)＝的x值为__________．
[答案]　3
[解析]　由f(x)＝，得或，
∴x＝3.
三、解答题
9．已知f(x)＝，求f－1()的值．
[解析]　令y＝，
∴y＋y·3x＝1－3x，∴3x＝，
∴x＝log3，∴y＝log3，
∴f－1(x)＝log3.
∴f－1()＝log3＝log3＝－2.
故f－1()的值为－2.
10．求下列函数的反函数．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝1－(－1≤x<0)；
(3)f(x)＝.
[解析]　(1)设y＝f(x)＝.
∵x≠－，∴y≠0.
由y＝，解得x＝.
∴f－1(x)＝(x≠0)．
(2)设y＝f(x)＝1－.
∵－1≤x<0，∴0<y≤1.
由y＝1－，解得x＝－.
∴f－1(x)＝－(0<x≤1)．
(3)设y＝f(x)＝，
当0≤x≤1时，－1≤y≤0，
由y＝x2－1，得x＝；
当－1≤x<0时，0<y≤1，
由y＝x2，得x＝－.
∴f－1(x)＝.

一、选择题
1．若f(10x)＝x，则f(5)＝(　　)
A．log510 B．lg5
C．105 D．510
[答案]　B
[解析]　解法一：令u＝10x，则x＝lgu，∴f(u)＝lgu，
∴f(5)＝lg5.
解法二：令10x＝5，∴x＝lg5，∴f(5)＝lg5.
2．若函数y＝的图象关于直线y＝x对称，则a的值为(　　)
A．1 B．－1
C．±1 D．任意实数
[答案]　B
[解析]　由于函数图象本身关于直线y＝x对称，故可知原函数与反函数是同一函数，所以先求反函数，再与原函数作比较即可得出答案；或利用反函数的性质求解，依题意，知(1，)与(，1)皆在原函数图象上，故可得a＝－1.
3．函数y＝10x2－1(0<x≤1)的反函数是(　　)
A．y＝－(x>) B．y＝(x>)
C．y＝－(<x≤1) D．y＝(<x≤1)
[答案]　D
[解析]　由y＝10x2－1(0<x≤1)，得x2－1＝lgy，
即x＝.
又∵0<x≤1，即－1<x2－1≤0，
∴<10x2－1≤1，即原函数的值域为(，1]．
∴原函数的反函数为y＝(<x≤1)．
4．已知函数f(x)＝loga(x－k)的图象过点(4,0)，而且其反函数f－1(x)的图象过点(1,7)，则f(x)是(　　)
A．增函数 B．减函数
C．奇函数 D．偶函数
[答案]　A
[解析]　∵函数f(x)＝loga(x－k)的图象过点(4,0)，
∴loga(4－k)＝0，∴k＝3.
∴f(x)＝loga(x－3)，
又反函数f－1(x)的图象过点(1,7)，
∴f(x)过点(7,1)．
∴loga4＝1，∴a＝4，∴f(x)为增函数．
二、填空题
5．若点(1,2)既在y＝的图象上，又在其反函数的图象上，则a＝________，b＝________.
[答案]　－3　7
[解析]　由题意可知点(1,2)和点(2,1)都在y＝的图象上，
∴，解得.
6．已知函数f(x)＝e2(x－1)，y＝f－1(x)为y＝f(x)的反函数，若函数g(x)＝，则g[g(－1)]＝______.
[答案]　1
[解析]　由题意，得g(－1)＝－1＋2＝1，
g[g(－1)]＝g(1)＝f－1(1)．
设f－1(1)＝t，则有f(t)＝1，
即e2(t－1)＝1，∴t＝1，∴g[g(－1)]＝1.
三、解答题
7．已知函数f(x)＝loga(2－x)(a>1)．
(1)求函数f(x)的定义域、值域；
(2)求函数f(x)的反函数f－1(x)；
(3)推断f－1(x)的单调性．
[解析]　(1)要使函数f(x)有意义，需满足2－x>0，即x<2，
故原函数的定义域为(－∞，2)，值域为R.
(2)由y＝loga(2－x)得，2－x＝ay，即x＝2－ay.
∴f－1(x)＝2－ax(x∈R)．
(3)f－1(x)在R上是减函数．
证明如下：任取x1，x2∈R且x1<x2，
∵f－1(x2)－f－1(x1)＝2－ax2－2＋ax1＝ax1－ax2，
∵a>1，x1<x2，∴ax1<ax2即ax1－ax2<0，
∴f－1(x2)<f－1(x1)，
∴y＝f－1(x)在R上是减函数．
8．设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值．
[解析]　将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3.
如图可知，a是指数函数y＝2x的图象与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，b是对数函数y＝log2x的图象与直线y＝－x＋3交点B的横坐标．

由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以它们的图象关于直线y＝x对称，由题意可得出A、B两点也关于直线y＝x对称，于是A、B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a)．
而A、B都在直线y＝－x＋3上，
∴b＝－a＋3(A点坐标代入)，
a＝－b＋3(B点坐标代入)．
故a＋b＝3.