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分式方程应用题专题训练(有解析)

华师大版数学八年级下册第16章分式方程应用题专题训练
一、 行程问题
解题策略：在解行程问题的分式方程应用题时，可以依据时间＝，利用分式来表示时间，根据时间之间的关系建立分式方程。

例：马小虎的家距离学校1800米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．
分析：设马小虎的速度是x米/分，列表分析如下。

路程（米）
速度（米/分）
时间（分）
马小虎
1600
x

马小虎的爸爸
1600
2x

依据马小虎多走10分钟建立方程。
解：设马小虎的速度是x米/分，根据题意列方程，

－＝10
解得：x＝80
经检验，x=80是原方程的根．
答：马小虎的速度是80米/分．

练习：
1、为了迎接北京和张家口共同申办及举办2020年冬奥会，全长174千米的京张高铁
于2014年底开工. 按照设计，京张高铁列车从张家口到北京最快用时比最慢用时少18
分钟，最快列出时速是最慢列车时速的倍，求京张高铁最慢列车的速度是多少？
解：设京张高铁最慢列车的速度是x千米/时. 由题意，得
，
解得
经检验，是原方程的解，且符合题意.
答：京张高铁最慢列车的速度是180千米/时.
2、早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校．已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车速度是步行速度的3倍．
（1）求小明步行速度（单位：米/分）是多少；
（2）下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的速度不变，小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2倍，那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米？
解：（1）设小明步行的速度是x米/分，由题意得：，
解得：x=60，
经检验：x=60是原分式方程的解，
答：小明步行的速度是60米/分；
（2）设小明家与图书馆之间的路程是y米，
根据题意可得：
解得：y≤600，
答：小明家与图书馆之间的路程最多是600米．

3、甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校、乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两同学同时从家发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．
（1）求乙骑自行车的速度；
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
解：（1）设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行速度是x米/分钟，公交车的速度是2x米/分钟，
根据题意得，
解得：x=300米/分钟，
经检验x=300是方程的根，
答：乙骑自行车的速度为300米/分钟；
（2）∵300×2=600米，
答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米．

二、 工程问题
解题策略：在解工程问题的分式方程应用题时，可以依据工作时间＝，利用分式来表示工作时间，根据工作时间之间的关系建立分式方程。

例：某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？
（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？
（1）分析：设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，列表分析如下。

工作量（绿化面积m2）
工作效率（每天绿化的面积m2）
工作时间（天）
甲
400
2x

乙
400
x

依据甲队比乙队少用4天建立方程。
（1） 解：设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意得：
　　　　　﹣=4，
解得：x=50，经检验x=50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m2），
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；
（2） 分析：设安排甲队工作y天，列表分析如下。

工作量（绿化面积m2）
工作效率（每天绿化的面积m2）
工作时间（天）
单价
（万元/天）
工作费用（元）
甲
100y
100
y
0.4
0.4y
乙
1800－100y
50

0.25

依据这次的绿化总费用不超过8万元建立不等式。
（2）解：设安排甲队工作x天，根据题意得：
，解得：x≥10，
答：至少应安排甲队工作10天．

练习：
1、为了把通州区打造成宜居的北京城市副中心，区政府对地下污水排放设施进行改造．某施工队承担铺设地下排污管道任务共2200米，为了减少施工对周边交通环境的影响，施工队进行技术革新，使实际平均每天铺设管道的长度比原计划多10%，结果提前两天完成任务．求原计划平均每天铺设排污管道的长度．
解：设原计划平均每天铺设排污管道x米，依题意得

解这个方程得：x＝100（米）
经检验，x＝100是这个分式方程的解，
∴这个方程的解是x＝100
答：原计划平均每天修绿道100米．
2、学校新到一批理、化、生实验器材需要整理，若实验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成，现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后，李老师因事外出，王师傅再单独整理了20分钟才完成任务．
（1）王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟？
（2）学校要求王师傅的工作时间不能超过30分钟，要完成整理这批器材，李老师至少要工作多少分钟？
解：（1）设王师傅单独整理这批实验器材需要x分钟，
由题意，得：，
解得：x=80，
经检验得：x=80是原方程的根．
答：王师傅单独整理这批实验器材需要80分钟．
（2）设李老师要工作y分钟，
由题意，得：，
解得：y≥25．
答：李老师至少要工作25分钟．

3、某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%，结果提前10天完成任务．原来每天制作多少件？
解：设原来每天制作x件，根据题意得：
，
解得：x=16，
经检验x=16是原方程的解，
答：原来每天制作16件．
4、济宁市“五城同创”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担．已知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？
（2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了x天完成，乙做另一部分用了y天完成，其中x、y均为正整数，且x＜46，y＜52，求甲、乙两队各做了多少天？
解：（1）设乙工程队单独完成这项工作需要x天，由题意得
，解之得x=80，
经检验x=80是原方程的解．
答：乙工程队单独做需要80天完成；
（2）因为甲队做其中一部分用了x天，乙队做另一部分用了y天，
所以，即y=80﹣x，又x＜46，y＜52，
所以，解得42＜x＜46，
因为x、y均为正整数，所以x=45，y=50，
答：甲队做了45天，乙队做了50天．

三、 营销问题
解题策略：在解营销问题的分式方程应用题时，可以依据数量＝，利用分式来表示数量，根据数量之间的关系建立分式方程。

例：“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？
分析：设第一批盒装花的进价是x元/盒，列表分析如下。

金额（元）
价格（元/盒）
数量（盒）
第一批
3000
x

第二批
5000
X－5

依据第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍来建立方程。
解：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则
2×=，
解得 x=30
经检验，x=30是原方程的根．
答：第一批盒装花每盒的进价是30元．

练习：
1、今年是扬州城庆2500周年，东关历史街区某商铺用3000元批发某种城庆旅游纪念品销售，由于销售状况良好，该商铺又筹集9000元资金再次批进该种纪念品，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进的纪念品数量是第一次的2倍还多300个，如果商铺按9元/个的价格出售，当大部分纪念品售出后，余下的600个按售价的8折售完．
（1）该种纪念品第一次的进货单价是多少元？
（2）该商铺销售这种纪念品共盈利多少元？
解：（1）设该种纪念品第一次的进货单价是x元，则第二次进货单价是（1+20%）x元，
由题意，得，
解得x=5，
经检验x=5是方程的解．
答：该种纪念品第一次的进货单价是5元.
（2）[　﹣600]×9+600×9×80%﹣（3000+9000）
=（600+1500﹣600）×9+4320﹣12000
=1500×9+4320﹣12000
=13500+4320﹣12000
=5820（元）．
答：商铺销售这种纪念品共盈利5820元．
2、由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元．
（1）今年甲型号手机每台售价为多少元？
（2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为1000元，乙型号手机每台进价为800元，预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？
（3）若乙型号手机的售价为1400元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金a元，而甲型号手机仍按今年的售价销售，要使（2）中所有方案获利相同，a应取何值？
解：（1）设今年甲型号手机每台售价为x元，由题意得，
，解得x=1500
经检验x=1500是方程的解．故今年甲型号手机每台售价为1500元．
（2） 设购进甲型号手机m台，由题意得，
17600≤1000m+800（20﹣m）≤18400， 8≤m≤12．
因为m只能取整数，所以m取8、9、10、11、12，共有5种进货方案．
（3）设总获利W元，则W=（1500﹣1000）m+（1400﹣800﹣a）（20﹣m），
W=（a﹣100）m+12000﹣20a．
所以当a=100时，（2）中所有的方案获利相同．
3、某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本．当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？
解：设第一次购书的进价为元，则第二次购书的进价为x元．
根据题意得：
解得：x=5
经检验，x=5是原方程的解。
所以第一次购书为=240（本）．
第二次购书为240+10=250（本）
第一次赚钱为240×（7-5）=480（元）
第二次赚钱为200×（7-5×1.2）+50×（7×0.4-5×1.2）=40（元）
所以两次共赚钱480+40=520（元）
答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了520元．
4、绵阳人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．
（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润=售价﹣进价）超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？
解：（1）设乙种牛奶的进价为每件x元，则甲种牛奶的进价为每件（x﹣5）元，
由题意得，，解得x=50．
经检验，x=50是原分式方程的解，且符合实际意义．
（2）设购进乙种牛奶y件，则购进甲种牛奶（3y﹣5）件，
由题意得， 解得23＜y≤25．
∵y为整数，
∴y=24或25，
∴共有两种方案：
方案一：购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；
方案二：购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件．