2022届高三数学一轮总复习基础练习：第三章-三角函数、解三角形3-4-.docx

第四节　三角函数的图象与性质
时间：45分钟　分值：100分

一、选择题
1．(2021·青岛模拟)下列函数中周期为π且为偶函数的是(　　)
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
解析　y＝sin＝－cos2x为偶函数，且周期是π，所以选A.
答案　A
2．已知函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的值不行能是(　　)
A. B.
C．π D.
解析　画出函数y＝sinx的草图分析知b－a的取值范围为.

答案　A
3．函数y＝2cos2图象的一条对称轴方程可以为(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝π D．x＝π
解析　易得y＝1－cos2x，令2x＝kπ，得x＝，k∈Z，当k＝2时，x＝π.
答案　D
4．下列关系式中正确的是(　　)
A．sin11°<cos10°<sin168°
B．sin168°<sin11°<cos10°
C．sin11°<sin168°<cos10°
D．sin168°<cos10°<sin11°
解析　由于sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝cos(90°－80°)＝sin80°，由于正弦函数y＝sinx在0°≤x≤90°上为递增函数，因此sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°.
答案　C
5．已知函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数(ω>0,0<θ<π)，其图象与直线y＝2的交点的横坐标为x1，x2，若|x1－x2|的最小值为π，则(　　)
A．ω＝2，θ＝ B．ω＝，θ＝
C．ω＝，θ＝ D．ω＝2，θ＝
解析　y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数且0<θ<π，则y＝2cosωx，θ＝，所以y＝2cosωx，y∈[－2,2]．故y＝2与y＝2cosωx的交点为最高点，于是最小正周期为π.所以＝π，所以ω＝2，故选A.
答案　A
6．(2021·枣庄期末)若函数f(x)＝sin(2x＋φ)(φ∈R)在x＝处取得最大值，则f(x)在[0，π]上的单调递增区间为(　　)
A. B.
C. D.和
解析　由题意得2×＋φ＝，∴φ＝.
令2kπ－<2x＋<2kπ＋(k∈Z)．
解得kπ－<x<kπ＋(k∈Z)，
∵x∈[0，π]，∴x∈∪.
答案　D
二、填空题
7．函数y＝cos的单调减区间为________．
解析　由y＝cos＝cos得
2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
故kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数的单调减区间为(k∈Z)．
答案　(k∈Z)
8．当－≤x≤，函数y＝sinx＋cosx的最大值为________，最小值为________．
解析　y＝2sin，－≤x＋≤，
∴－≤sin≤1.∴－1≤y≤2.
故ymax＝2，ymin＝－1.
答案　2　－1
9．已知函数f(x)＝cosxsinx(x∈R)，给出下列四个命题：
①若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2；
②f(x)的最小正周期是2π；
③f(x)在区间上是增函数；
④f(x)的图象关于直线x＝对称．
其中真命题的是________．
解析　f(x)＝sin2x，当x1＝0，x2＝时，f(x1)＝－f(x2)，但x1≠－x2，故①是假命题；f(x)的最小正周期为π，故②是假命题；当x∈时，2x∈，故③是真命题；由于f
＝sin＝－，故f(x)的图象关于直线x＝对称，故④是真命题．
答案　③④
三、解答题
10．已知向量a＝，b＝(sinx，cos2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在上的最大值和最小值．
解　f(x)＝·(sinx，cos2x)
＝cosxsinx－cos2x＝sin2x－cos2x
＝cossin2x－sincos2x＝sin.
(1)f(x)的最小正周期为T＝＝＝π，
即函数f(x)的最小正周期为π.
(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.由正弦函数的性质，知当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1，
当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值－.因此，f(x)在[0，]上的最大值是1，最小值是－.
11．已知函数f(x)＝(sin2x－cos2x)－2sinxcosx.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)设x∈，求f(x)的单调递增区间．
解　(1)∵f(x)＝－(cos2x－sin2x)－2sinxcosx＝－cos2x－sin2x
＝－2sin，
∴f(x)的最小正周期为π.
(2)∵x∈，∴－≤2x＋≤π.
当y＝sin单调递减时，f(x)单调递增．
∴≤2x＋≤π，即≤x≤.
故f(x)的单调递增区间为.

1．关于函数f(x)＝2sinxcosx－2cos2x，下列结论中不正确的是(　　)
A．f(x)在区间上单调递增
B．f(x)的一个对称中心为
C．f(x)的最小正周期为π
D．当x∈时，f(x)的值域为[－2，0]
解析　由题可得f(x)＝2sin－.逐一推断可知A，B，C都正确．
答案　D
2．已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，若是f(x)的一个单调递增区间，则φ的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.∪
解析　由于2kπ＋≤2x＋φ≤2kπ＋，k∈Z，所以kπ＋－≤x≤kπ＋－，k∈Z，又由于是f(x)的一个单调递增区间，|φ|<π，所以≤kπ＋－，k∈Z，解得φ≤，同理由≥kπ＋－，k∈Z，可得φ≥，所以≤φ≤.
答案　C
3．已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)－|sinx－cosx|，则f(x)的值域是________．
解析　f(x)＝(sinx＋cosx)－|sinx－cosx|
＝

画出函数f(x)的图象(实线)，如图，可得函数的最小值为－1，最大值为，故值域为.
答案　
4．已知向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx,2cosωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围．
解　(1)f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sinωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx＋sin2ωx＋λ
＝2sin＋λ.
由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得
sin＝±1.
所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)．
又ω∈(，1)，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.
所以f(x)的最小正周期是.
(2)由y＝f(x)的图象过点，得f＝0.
即λ＝－2sin＝－2sin＝－.
故f(x)＝2sin－.
故0≤x≤，有－≤x－≤.
所以－≤sin≤1，
得－1－≤2sin－≤2－.
故函数f(x)在上的取值范围为[－1－，2－]．