2022届高三数学一轮总复习基础练习：第三章-三角函数、解三角形3-6-.docx

第六节　正弦定理和余弦定理
时间：45分钟　分值：100分

一、选择题
1．在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则C＝(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．120°
解析　由a2－c2＋b2＝ab，得cosC＝＝＝，所以C＝30°.
答案　A
2．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为(　　)
A. B.
C．2 D．2
解析　S＝×AB·ACsin60°＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝.
答案　B
3．在△ABC中，若lg(a＋c)＋lg(a－c)＝lgb－lg，则A＝(　　)
A．90° B．60°
C．120° D．150°
解析　由题意可知lg(a＋c)(a－c)＝lgb(b＋c)，
∴(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)．∴b2＋c2－a2＝－bc.
∴cosA＝＝－.
又A∈(0，π)，∴A＝120°，选C.
答案　C
4．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的外形为(　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
解析　由正弦定理及已知条件可得sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，而B＋C＝π－A，所以sin(B＋C)＝sinA，所以sin2A＝sinA，又0<A<π，sinA>0，∴sinA＝1，即A＝.
答案　A
5．(2021·四川模拟)已知△ABC的周长为＋1，且sinA＋sinB＝sinC.若△ABC的面积为sinC，则角C的大小为(　　)
A．30° B．60°
C．90° D．120°
解析　由已知可得
∴c＝1，a＋b＝.
又absinC＝sinC，∴ab＝.
∵cosC＝＝＝.
∴C＝60°.
答案　B
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC，则sinA＋sinB的最大值是(　　)
A．1 B.
C. D．3
解析　由csinA＝acosC，
所以sinCsinA＝sinAcosC，即sinC＝cosC.
所以tanC＝，C＝，A＝－B.
所以sinA＋sinB＝sin＋sinB
＝sin.由于0<B<，
所以<B＋<.
所以当B＋＝，即B＝时，sinA＋sinB的最大值为.
答案　C
二、填空题
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则角A的大小为________．
解析　由题意知，sinB＋cosB＝，所以·sin＝，所以B＝，依据正弦定理可知＝，可得＝，所以sinA＝，又a<b，故A＝.
答案　
8．(2022·广东卷)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC＋ccosB＝2b，则＝________.
解析　本题考查解三角形中余弦定理．
∵bcosC＋ccosB＝2b.
有b×＋c×＝2b，
＝2b，∴a＝2b，即＝2.
答案　2
9．(2022·山东卷)在△ABC中，已知·＝tanA，当A＝时，△ABC的面积为________．
解析　由·＝tanA，可得||||cosA＝tanA，由于A＝，所以||||·＝，
即||||＝.
所以S△ABC＝||||·sinA＝××＝.
答案　
三、解答题
10．(2022·浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin2＋4sinAsinB＝2＋.
(1)求角C的大小；
(2)已知b＝4，△ABC的面积为6，求边长c的值．
解　(1)由已知得2[1－cos(A－B)]＋4sinAsinB＝2＋，化简得－2cosAcosB＋2sinAsinB＝，
故cos(A＋B)＝－.
所以A＋B＝，从而C＝.
(2)由于S△ABC＝absinC，
由S△ABC＝6，b＝4，C＝，得a＝3.
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得c＝.

11．(2022·湖南卷)如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.
(1)求cos∠CAD的值；
(2)若cos∠BAD＝－，
sin∠CBA＝，求BC的长．
解　(1)由余弦定理可得
cos∠CAD＝＝＝，∴cos∠CAD＝.
(2)∵∠BAD为四边形内角，
∴sin∠BAD>0且sin∠CAD>0，则由正余弦的关系可得
sin∠BAD＝＝，
且sin∠CAD＝＝，
由正弦的和差角公式可得
sin∠BAC＝sin(∠BAD－∠CAD)
＝sin∠BADcos∠CAD－sin∠CADcos∠BAD
＝×－×＝＋＝，
再由△ABC的正弦定理可得
＝⇒BC＝×＝3.

1．在锐角△ABC中，若BC＝2，sinA＝，则·的最大值为(　　)
A. B.
C．1 D．3
解析　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc×＝4，由基本不等式可得4≥bc，即bc≤3，所以·＝bccosA＝bc≤1.
答案　C
2．在△ABC中，三边长a，b，c满足a3＋b3＝c3，那么△ABC的外形为(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上均有可能
解析　由题意可知c>a，c>b，即角C最大，
所以a3＋b3＝a·a2＋b·b2<ca2＋cb2，即c3<ca2＋cb2，所以c2<a2＋b2，依据余弦定理，得cosC＝>0，所以0<C<，即三角形为锐角三角形．
答案　A
3．(2022·新课标全国卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)·(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC面积的最大值为________．
解析　由正弦定理，可得(2＋b)(a－b)＝(c－b)·c，
∵a＝2，∴a2－b2＝c2－bc，即b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理，得cosA＝＝.
∴sinA＝.由b2＋c2－bc＝4，得b2＋c2＝4＋bc.
∵b2＋c2≥2bc，即4＋bc≥2bc，∴bc≤4.
∴S△ABC＝bc·sinA≤，即(S△ABC)max＝.
答案　
4．(2022·辽宁卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知·＝2，cosB＝，b＝3.求：
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值．
解　(1)由·＝2，得c·acosB＝2.
又cosB＝，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB.
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.
解得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.
由于a>c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，sinB＝＝ ＝，
由正弦定理，得sinC＝sinB＝×＝.
由于a＝b>c，所以C为锐角．
因此cosC＝＝＝.
于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC
＝×＋×＝.