江苏省2020—2021学年高三数学专题练习及答案-：直线与圆锥曲线(7).docx

直线与圆锥曲线（7）
1.椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则=
2.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是
3.已知圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为
4.圆在点处的切线方程为
5.由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为 .
6.设P为圆上的动点，则点P到直线的距离的最小值为 .
7.设是曲线上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为 .
8.已知抛物线的焦点为，过作两条相互垂直的弦、，设、的中点分别为.
（１） 求证：直线必过定点;
（２）分别以和为直径作圆，求两圆相交弦中点的轨迹方程．

9.设是单位圆的直径，是圆上的动点，过点的切线与过点的切线分别交于两点. 四边形的对角线和的交点为，求的轨迹．

10.椭圆的两焦点分别为、，直线是椭圆的一条准线．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点在椭圆上，且，求的最大值和最小值．

11.已知A（－2，0），B（2，0），动点P与A、B两点连线的斜率分别为和，且满足·=t (t≠0且t≠－1).
（１）求动点P的轨迹C的方程；
（２）当t＜0时，曲线C的两焦点为F1，F2，若曲线C上存在点Q使得∠F1QF2=120O，
求t的取值范围．
.

直线与圆锥曲线（7）参考答案
一、选择题
1． 2.[－1，1] 3． 4．
5.x2 + y2 = 4 6.1 7.
8.解：（１）由题可知，设，，直线AB的方程为，
则
（1）—（2）得，即，代入方程，解得

同理可得：的坐标为.
直线的斜率为，方程为，
整理得,
明显，不论为何值，均满足方程，
所以直线恒过定点 .
（２）过作准线的垂线，垂足分别为. 由抛物线的性质不难知道：准线为圆与圆的公切线.
设两圆的相交弦交公切线于点，则由平面几何的学问可知：为的中点. 所以
，
即 .
又由于公共弦必与两圆的连心线垂直，所以公共弦的斜率为
,
所以，公共弦所在直线的方程为 ,
即 ,
所以公共弦恒过原点.
依据平面几何的学问知道：公共弦中点就是公共弦与两圆连心线的交点，所以原点、定点、所求点构成以为直角顶点的直角三角形，即在以为直径的圆上．
9.解：以圆心O为原点，直径为x轴建立直角坐标系，则A（－1，0），B（1，0），单位圆的方程为设 N的坐标为，则切线DC的方程为：，
由此可得
AC的方程为
BD的方程为
将两式相乘得：，
即
当点N恰为A或B时，四边形变为线段AB，这不符合题意，所以轨迹不能包括A、B两点，所以的轨迹方程为，（）．
10.解：（１）设椭圆的方程为，则由
，椭圆方程为．
（２）由于在椭圆上，故
．
由平面几何学问，即，所以．　　　
记，设且，则
，
所以在上单调递减，于是，当时原式取最大值，当时，原式取最小值．
11. 解：(１) 设点P坐标为(x,y),依题意得=ty2=t(x2－4)+=1
轨迹C的方程为+=1（x≠2）.
(２) 当－1＜t＜0时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，
设=r1，= r2, 则r1+ r2=2a=4.
在△F1PF2中，=2c=4,
∵∠F1PF2=120O，由余弦定理，
得4c2=r+r－2r1r2= r+r+ r1r2
= (r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－()2=3a2, ∴16（1+t）≥12, ∴t≥－.
所以当－≤t＜0时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O
当t＜－1时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆，
设=r1，= r2，则r1+r2=2a=－4 t,
在△F1PF2中， =2c=4.
∵∠F1PF2=120O，由余弦定理，得
4c2=r+r－2r1r2= r+r+ r1r2= (r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－()2=3a2,
∴16（－1－t）≥－12tt≤－4.
所以当t≤－4时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O　
综上知当t＜0时，曲线上存在点Q使∠AQB=120O的t的取值范围是