【全国百强校】东北师大附中高三数学第一轮复习导学案：用样本估计总体A.docx

用样本去估量总体(教案)A
学问梳理：(必修3教材65-83)
1．作频率分布直方图的步骤：
（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；
（2）打算组距与组数；
（3）将数据分组；
（4）列频率分布表；
（5）画频率分布直方图
注：频率分布直方图中小正方形的面积=组距×=频率。
2．频率分布折线图和总体密度曲线
折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图
总体密度曲线：当样本容量足够大，分组越多，折线越接近于一条光滑的曲线，此光滑曲线为总体密度曲线。
3．用茎叶图刻画数据的两个优点,
(1)全部数据都可以从数据中得到;
(2)茎叶图便于记录和表示,能够呈现数据的分布状况,但当样本数据较多或数据较大时,茎叶图的效果就不是很好了.
4.平均数、众数、中位数、标准差和方差
（1）、平均数：平均数是用来表示数据的平均水平。一般用x来表示，计算公式：

（2）、众数：一组数据中毁灭次数最多的数。
（3）、中位数：将数据从小到大的挨次排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数。若有偶数个数，则中间两个数的平均数是中位数。
（4）、标准差：是样本数据到平均数的一种平均距离，用来刻画数据的分散程度，一般用s来表示，计算公式： ，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小。
（5）方差：方差是标准差的平方，它也可以用来刻画数据的分散程度，计算公式： 。
5．有样本频率分布估量总体分布通常分为两种状况：
（1）、当总体中的个体取不同值很少时，其频率分布表由所取样本的不同值及其相应频率表示，就是相应的条形图；
（2）、当总体中的个体不同值很多时，就用频率分布直方图来表示相应的样本的频率分布。
6、利用频率分布直方图来估量众数、中位数、平均数
在频率分布直方图中，众数的估量值是其中最高矩形底边中点的横坐标；中位数的左边和右边的直方图面积相等；平均数的估量值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。
二、题型探究
[探究一]图形信息题
例1：为了解某学校五班级女生身高（单位：cm）状况，对五班级一部分女生的身高进行了测量，所得数据整理后，列出频率分布表（如下表）
（1）、求表中m，n，M，N所表示的两个数分别是多少？

（2）、画出频率分布直方图，并利用它估量五班级全体女生身高的众数、中位数、和平均数；

（3）、试问：全体女生 中身高在哪个组范围内的人数最多？并估量五班级女生身高在161.5cm以上的概率。
分组
频数
频率
145.5-149.5
1
0．02
149.5-153.5
4
0．08
153.5-157.5
20
0．40
157.5-161.5
15
0．30
161.5-165.5
8
0．16
165.5-169.5
m
N
合计
M
N

[探究二]用样分布估量总体分布
例2：为估量一次性木质筷子的用量，1999年从某县共600家高、中、低档饭店抽取10家作样本，这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为：
0.6 3.7 2.2 1.5 2.8
1.7 1.2 2.1 3.2 1.0
(1)通过对样本的计算，估量该县1999年消耗了多少盒一次性筷子（每年按350个营业日计算）；
(2)2001年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查，调查的结果是10个样本饭店，每个饭店平均每天使用一次性筷子2.42盒．求该县2000年、2001年这两年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率（2001年该县饭店数、全年营业天数均与1999年相同）；
(3)在(2)的条件下，若生产一套同学桌椅需木材0.07m3，求该县2001年使用一次性筷子的木材可以生产多少套同学桌椅。计算中需用的有关数据为：每盒筷子100双，每双筷子的质量为5g，所用木材的密度为0.5×103kg/m3；
(4)假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用统计学问去做，简要地用文字表述出来。
解析：(1)
所以,该县1999年消耗一次性筷子为2×600×350=420000（盒）。
(2)设平均每年增长的百分率为X，则2（1+X）2=2.42,
解得X1=0.1=10%，X2=－2.1（不合题意，舍去）。
所以,平均每年增长的百分率为10%；
(3)可以生产同学桌椅套数为（套）。
[探究三]平均数、标准差（方差）的计算问题
例3：在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手甲、乙打出的分数如下：
甲：9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7
乙：9.5 8.8 9.5 9.5 9.9 9.5 9.6
依据以上数据,推断他们谁更优秀?
解析：7个数据中去掉一个最高分和一个最低分后，余下的5个数为：
甲:9.4, 9.4, 9.6, 9.4, 9.5; 乙: 9.5 9.5 9.5 9.5 9.6

甲的平均数为：，即。
方差为：
即
乙的平均数:
乙的方差为:
[探究四]综合问题
例4: 对某校高一班级同学参与社区服务次数进行统计，随机抽取名同学作为样本，得到这名同学参与社区服务的次数．依据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
分组
频数
频率

10
0.25

25

2
0.05
合计
M
1

⑴求出表中、及图中的值；
⑵若该校高一同学有360人，试估量他们参与社区服务的次数在区间内的人数；
⑶在所取样本中，从参与社区服务的次数不少于20次的同学中任选2人，求至多一人参与社区服务次数在区间内的概率.
解析：【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关学问，具体涉及到频率分布表、频率分布直方图以及概率的初步应用.
【试题解析】解：⑴由题可知， ， ， .
又 ，解得 ，，，.
则组的频率与组距之比为0.125. (5分)
⑵参与在社区服务次数在区间内的人数为人. (8分)
⑶在样本中，处于内的人数为3，可分别记为，处于内的人数为2，可分别记为. 从该5名同学中取出2人的取法有共10种；至多一人在 内的状况有共7种，所以至多一人 参与社区服务次数在区间内的概率为.
三、方法提升
1．统计是为了从数据中提取信息，学习时依据实际问题的需求选择不同的方法合理地选取样本，并从样本数据中提取需要的数字特征。不应把统计处理成数字运算和画图表。对统计中的概念（如"总体"、"样本"等）应结合具体问题进行描述性说明，不应追求严格的形式化定义
2．当总体中个体取不同值很少时，我们党用样本的频率分布标记频率分布梯形图取估量总体体分布,总体分布排解了抽样造成的错误，精确反映了总体取值的概率分布规律。对于所取不同数值较多或可以在实数区间范围内取值的总体，需用频率分布直方图来表示相应的频率分布。当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小时，频率分布直方图无限接近一条光滑曲线——总体密度曲线．由于总体分布通常不易知道，往往是用样本的频率分布估量总体分布。样本容量越大，估量就越精确
四、反思感悟：

五、课时作业
一、选择题
1．一个容量为20的样本数据，分组后，组别与频数如下：
组别
(10,20]
(20,30]
(30,40]
(40,50]
(50,60]
(60,70]
频数
2
3
4
5
4
2

则样本在(20,50]上的频率为 (　　)
A．12%　　　　　　　　　B．40% C．60% D．70%
解析：本题考查样本的频率运算．据表知样本分布在(20,50]的频数3＋4＋5＝12，故其频率为＝0.6.答案：C
2．甲、乙两名同学在五次《数学基本力气》测试中，成果统计用茎叶图表示如下，若甲、乙两人的平均成果分别是X甲、X乙，则下列结论正确的是 (　　)

A．X甲＞X乙，甲比乙成果稳定 B．X甲＞X乙，乙比甲成果稳定
C．X甲＜X乙，甲比乙成果稳定 D．X甲＜X乙，乙比甲成果稳定
解析：由茎叶图学问，可知道甲的成果为68、69、70、71、72，平均成果为70；乙的成果为63、68、69、69、71，平均成果为68；再比较标准差：甲的标准差为

＝，乙的标准差为

＝＞，故甲比乙的成果稳定．答案：A
3．200辆汽车通过某一段大路时的时速的频率分布直方图如图所示，时速在[50,60)的汽车大约有 (　　)

A．30辆 B．40辆 C．60辆 D．80辆
解析：面积为频率，在[50,60)的频率为0.3，所以大约有200×0.3＝60辆．答案：C
组别
频数
(0,10]
12
(10,20]
13
(20,30]
24
(30,40]
15
(40,50]
16
(50,60]
13
(60,70]
7
4．一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：
则样本数据落在(10,40]上的频率为 (　　)
A．0.13 B．0.39 C．0.52 D．0.64
解析：由列表知样本数据落在(10,40]上的频数为52，
∴频率为0.52.答案：C
5．甲、乙两射击运动员进行竞赛，射击相同的次数，已知两运动员射击的环数稳定在7,8,9,10环，他们的成果频率分布条形图如下：

由乙击中8环及甲击中10环的概率与甲击中环数的平均值都正确的一组数据依次是(　　)
A．0.35　0.25　8.1 B．0.35　0.25　8.8
C．0.25　0.35　8.1 D．0.25　0.35　8.8
解析：乙击中8环的概率为1－0.2－0.2－0.35＝0.25；
甲击中10环的概率为1－0.2－0.15－0.3＝0.35；
甲击中环数的平均值为7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8.
答案：D
6．设矩形的长为a，宽为b，其比满足b：a＝≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：
甲批次：0.598　0.625　0.628　0.595　0.639
乙批次：0.618　0.613　0.592　0.622　0.620
依据上述两个样原来估量两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是(　　)
A．甲批次的总体平均数与标准值更接近
B．乙批次的总体平均数与标准值更接近
C．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同
D．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定
解析：＝＝0.617，
＝＝0.613，
∴与0.618更接近．答案：A
二、填空题
7．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是____________．
解析：这10个数的中位数为＝10.5.这10个数的平均数为10.
要使总体方差最小，即(a－10)2＋(b－10)2最小．
又∵(a－10)2＋(b－10)2＝(21－b－10)2＋(b－10)2
＝(11－b)2＋(b－10)2＝2b2－42b＋221，
∴当b＝10.5时，(a－10)2＋(b－10)2取得最小值．
又∵a＋b＝21，∴a＝10.5，b＝10.5.答案：10.5,10.5
8．某地训练部门为了解同学在数学答卷中的有关信息，从上次考试的10 000名考生的数学试卷中，用分层抽样的方法抽取500人，并依据这500人的数学成果画出样本的频率分布直方图(如图)．则这10 000人中数学成果在[140,150]段的约是________人．

解析：本题考查了频率直方图的一些学问，由图在[140,150]的频率为0.008×10，所以在10 000人中成果在[140,150]的同学有10 000×0.008×10=800人．
答案：800
9．如图是CBA篮球联赛中，甲乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，则平均得分高的运动员是________.

解析：从茎叶图上可得甲得分：8,10,15,16,22,23,25,26,27,32，平均值为20.4；乙得分：8,12,14,17,18,19,21,27,28,29，平均值为19.3，∴平均得分高的运动员是甲．
答案：甲
三、解答题
10．甲、乙两台机床同时加工直径为100 mm的零件，为了检验产品的质量，从产品中各随机抽取6件进行测量，测得数据如下(单位 mm)：
甲：99,100,98,100,100,103 乙：99,100,102,99,100,100
(1)分别计算上述两组数据的平均数和方差；
(2)依据(1)的计算结果，说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求．
解：(1) ＝＝100 mm，
＝＝100 mm，
＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝ mm2.
＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1 mm2.
(2)由于＞，说明甲机床加工零件波动比较大，因此乙机床加工零件更符合要求．
11．甲、乙两位同学参与数学竞赛培训，在培训期间，他们参与的5项预赛成果记录
如下：
甲
82
82
79
95
87
乙
95
75
80
90
85

(1)用茎叶图表示这两组数据；
(2)从甲、乙两人的成果中各随机抽取一个，求甲的成果比乙高的概率；
(3)现要从中选派一人参与数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位同学参与合适？说明理由．
解：(1)作出茎叶图如下：

(2)记甲被抽到的成果为x，乙被抽到的成果为y，用数对(x，y)表示基本大事：
(82,95)　(82,75)　(82,80)　(82,90)　(82,85)
(82,95)　(82,75)　(82,80)　(82,90)　(82,85)
(79,95)　(79,75)　(79,80)　(79,90)　(79,85)
(95,95)　(95,75)　(95,80)　(95,90)　(95,85)
(87,95)　(87,75)　(87,80)　(87,90)　(87,85)
基本大事总数n＝25.
记“甲的成果比乙高”为大事A，大事A包含的基本大事：
(82,75)　(82,80)　(82,75)　(82,80)　(79,75)　(95,75)
(95,80)　(95,90)　(95,85)　(87,85)　(87,75)　(87,80)
大事A包含的基本大事数是m＝12.所以P(A)＝＝.
(3)派甲参赛比较合适．理由如下：
甲＝85，乙＝85，＝31.6，＝50.
∵甲＝乙，＜，
∴甲的成果较稳定，派甲参赛比较合适．
12．从高三同学中抽取50名同学参与数学竞赛，成果的分组及各组的频数如下(单位：分)：
[40,50),2；[50,60),3；[60,70),10；[70,80),15；[80,90),12；[90,100),8.
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图；
(3)估量成果在[60,90)分的同学比例；
(4)估量成果在85分以下的同学比例．
解：(1)频率分布表如下：
成果分组
频数
频率
频率/组距
[40,50)
2
0.04
0.004
[50,60)
3
0.06
0.006
[60,70)
10
0.2
0.02
[70,80)
15
0.3
0.03
[80,90)
12
0.24
0.024
[90,100)
8
0.16
0.016
合计
50
1
0.1

(2)频率分布直方图和折线图为：

(3)所求的同学比例为0．2+0.3+0.24=0.74=74%.(4)所求的同学比例为1-(0.12+0.16)=1-0.28=0.72=72%.