【全国百强校】东北师大附中高三数学第一轮复习导学案：圆的方程A.docx

圆的方程(教案)A
一、学问梳理
1.圆的方程
（1）圆的标准方程
圆心为（a，b），半径为r的圆的标准方程为（x－a）2+（y－b）2=r2.
说明：方程中有三个参量a、b、r，因此三个独立条件可以确定一个圆.
（2）圆的一般方程
二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.（*）
将（*）式配方得（x+）2+（y+）2=.
当D2+E2－4F＞0时，方程（*）表示圆心（－，－），半径r=的圆，把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2－4F＞0）叫做圆的一般方程.
说明：
①圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：（Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0）
a.x2、y2项系数相等且不为零.b.没有xy项.
②当D2+E2－4F=0时，方程（*）表示点（－，－），当D2+E2－4F＜0时，方程（*）不表示任何图形.
③据条件列出关于D、E、F的三元一次方程组，可确定圆的一般方程.
（3）圆的参数方程（4-4选讲内容）
①圆心在O（0，0），半径为r的圆的参数方程为
（θ为参数）. ①
x=rcosθ，
y=rsinθ
②圆心在O1（a，b），半径为r的圆的参数方程为
（θ为参数）. ②
x=a+rcosθ，
y=b+rsinθ
说明：在①中消去θ得x2+y2=r2，在②中消去θ得（x－a）2+（y－b）2=r2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做一般方程.
2.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件
若上述二元二次方程表示圆，则有A=C≠0，B=0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分.
在A=C≠0，B=0时，二元二次方程化为x2+y2+x+y+=0，
仅当（）2+（）2－4·＞0，即D2+E2－4AF＞0时表示圆.故Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是：①A=C≠0②B=0③D2+E2－4AF＞0.
二、题型探究
[题型探究一]圆的标准方程
1.方程x2+y2－2（t+3）x+2（1－4t2）y+16t4+9=0（t∈R）表示圆方程，则t的取值范围是
A.－1<t< B.－1<t< C.－<t<1 D.1<t<2
解析：由D2+E2－4F>0，得7t2－6t－1<0，即－<t<1.答案：C
2.点P（5a+1，12a）在圆（x－1）2+y2=1的内部，则a的取值范围是
A.｜a｜＜1 B.a＜
C.｜a｜＜ D.｜a｜＜
解析：点P在圆（x－1）2+y2=1内部（5a+1－1）2+（12a）2＜1 ｜a｜＜.答案：D
3.已知圆的方程为（x－a）2+（y－b）2=r2（r>0），下列结论错误的是
A.当a2+b2=r2时，圆必过原点 B.当a=r时，圆与y轴相切
C.当b=r时，圆与x轴相切 D.当b<r时，圆与x轴相交
解析：已知圆的圆心坐标为（a，b），半径为r，当b<r时，圆心到x轴的距离为|b|，只有当|b|<r时，才有圆与x轴相交，而b<r不能保证|b|<r，故D是错误的.故选D.答案：D
4.（2005年北京海淀区期末练习）将圆x2+y2=1按向量a平移得到圆（x+1）2+（y－2）2=1，则a的坐标为____________.
解析：由向量平移公式即得a=（－1，2）.答案：（－1，2）
5.已知P（1，2）为圆x2+y2=9内确定点，过P作两条相互垂直的任意弦交圆于点B、C，则BC中点M的轨迹方程为____________.
解析：Rt△OMC中，|MP|=|BC|（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）.

故所求轨迹方程为x2+y2－x－2y－2=0.
答案：x2+y2－x－2y－2=0

[题型探究二]圆的方程的应用：
【例1】 （2003年春季北京）设A（－c，0）、B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），求P点的轨迹.
剖析：给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是依据方程争辩曲线的外形、性质，即用代数的方法争辩几何问题.
解：设动点P的坐标为（x，y），由=a（a>0）得=a，化简，得（1－a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1－a2）+（1－a2）y2=0.
当a=1时，方程化为x=0.
当a≠1时，方程化为（x－c）2+y2=（）2.
所以当a=1时，点P的轨迹为y轴；
当a≠1时，点P的轨迹是以点（c，0）为圆心，||为半径的圆.
评述：本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本学问，考查运用解析几何的方法解决问题的力气，对代数式的运算化简力气有较高要求.同时也考查了分类争辩这一数学思想.
【例2】 一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程.
剖析： 利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.
解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，故设圆方程为（x－3b）2+（y－b）2=9b2.又由于直线y=x截圆得弦长为2，
则有（）2+（）2=9b2，解得b=±1.故所求圆方程为
（x－3）2+（y－1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9.
评述：在解决求圆的方程这类问题时，应当留意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）依据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a、b、r或D、E、F；（3）待定系数法的应用，解答中要尽量削减未知量的个数.
【例3】 已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相切，一动圆与l相切，并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程.
剖析：问题中的几何性质格外突出，切线、直径、垂直、圆心，如何利用这些几何性质呢？
解：取过O点且与l平行的直线为x轴，过O点且垂直于l的直线为y轴，建立直角坐标系.
设动圆圆心为M（x，y），
⊙O与⊙M的公共弦为AB，⊙M与l切于点C，则|MA|=|MC|.

∵AB为⊙O的直径，∴MO垂直平分AB于O.
由勾股定理得|MA|2=|MO|2+|AO|2=x2+y2+9，而|MC|=|y+3|，
∴=|y+3|.化简得x2=6y，这就是动圆圆心的轨迹方程.
评述：求轨迹的步骤是“建系，设点，找关系式，除瑕点”.
三、方法提升：
1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a、b、r或D、E、F）的值需要确定，因此需要三个独立的条件.利用待定系数法得到关于a、b、r（或D、E、F）的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值.
2.求圆的方程的一般步骤：
（1）选用圆的方程两种形式中的一种（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）；
（2）依据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组；
（3）解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程.
3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质挂念解题.
四、反思感悟
1.在二元二次方程中x2和y2的系数相等并且没有x、y项只是表示圆的必要条件而不是充分条件.
2.假如问题中给出了圆心两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程.假如给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程.
3.在一般方程中，当D2+E2－4F=0时，方程表示一个点（－，－），当D2+E2－4F<0时，无轨迹.
4.在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的特殊几何性质，这样会使问题简洁化.
5.数形结合、分类争辩、函数与方程的思想在解决圆的有关问题时经常运用，应娴熟把握.
五、课时作业：
1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形，则
A.D+E=0B. B.D+F=0
C.E+F=0 D. D+E+F=0
解析：曲线关于x+y=0成轴对称图形，即圆心在x+y=0上.
答案：A
2.在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解析：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求.
答案：B
3.圆x2+y2+x－6y+3=0上两点P、Q关于直线kx－y+4=0对称，则k=____________.
解析：圆心（－，3）在直线上，代入kx－y+4=0，得k=2.
答案：2
4.设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x－4y－10=0的 距离的最小值为____________.
解析：圆心（0，0）到直线3x－4y－10=0的距离d==2.
再由d－r=2－1=1，知最小距离为1.
答案：1
5.设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x－6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足·=0.
（1）求m的值；
（2）求直线PQ的方程.
解：（1）曲线方程为（x+1）2+（y－3）2=9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆.
∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，
∴圆心（－1，3）在直线上.代入得m=－1.
（2）∵直线PQ与直线y=x+4垂直，
∴设P（x1，y1）、Q（x2，y2），PQ方程为y=－x+b.
将直线y=－x+b代入圆方程，得2x2+2（4－b）x+b2－6b+1=0.
Δ=4（4－b）2－4×2×（b2－6b+1）>0，得2－3<b<2+3.
由韦达定理得x1+x2=－（4－b），x1·x2=.
y1·y2=b2－b（x1+x2）+x1·x2=+4b.
∵·=0，∴x1x2+y1y2=0，
即b2－6b+1+4b=0.解得b=1∈（2－3，2+3）.
∴所求的直线方程为y=－x+1.
6.已知实数x、y满足x2+y2+2x－2y=0，求x+y的最小值.
解：原方程为（x+1）2+（y－）2=4表示一个圆的方程，可设其参数方程为
（θ为参数，0≤θ<2π），则x+y=－1+2（sinθ+cosθ）=－+1
x=－1+2cosθ，
y=+2sinθ
2sin（θ+），当θ=，即x=－1－，y=－时，x+y的最小值为－1－2.
培育力气
7.已知实数x、y满足方程x2+y2－4x+1=0.求
（1）的最大值和最小值；
（2）y－x的最小值；
（3）x2+y2的最大值和最小值.
解：（1）如图，方程x2+y2－4x+1=0表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆.

设=k，即y=kx，由圆心（2，0）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由=，
解得k2=3.
所以kmax=，kmin=－.
（也可由平面几何学问，有OC=2，OP=，∠POC=60°，直线OP的倾斜角为60°，直线OP′的倾斜角为120°解之）
（2）设y－x=b，则y=x+b，仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值.由点到直线的距离公式，得
=，即b=－2±，故（y－x）min=－2－.
（3）x2+y2是圆上点与原点距离之平方，故连结OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，则（x2+y2）max=｜OC′｜=2+，（x2+y2）min=｜OB｜=2－.
8.（文）求过两点A（1，4）、B（3，2），且圆心在直线y=0上的圆的标准方程.并推断点M1（2，3），M2（2，4）与圆的位置关系.
解：依据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可.
由于圆过A、B两点，所以圆心在线段AB的垂直平分线上.由kAB==－1，
AB的中点为（2，3），
故AB的垂直平分线的方程为y－3=x－2，即x－y+1=0.
又圆心在直线y=0上，因此圆心坐标是方程组
的解，即圆心坐标为（－1，0）.
x－y+1=0，
y=0
半径r==，
所以得所求圆的标准方程为（x+1）2+y2=20.
由于M1到圆心C（－1，0）的距离为=，|M1C|<r，所以M1在圆C内；而点M2到圆心C的距离|M2C|==>，所以M2在圆C外.
（理）已知动圆M：x2+y2－2mx－2ny+m2－1=0与圆N：x2+y2+2x+2y－2=0交于A、B两点，且这两点平分圆N的圆周.
（1）求动圆M的圆心的轨迹方程；
（2）求半径最小时圆M的方程.
解：（1）如图所示（坐标系省略了），圆心N（－1，－1）为弦AB的中点，在Rt△AMN中，

|AM|2=|AN|2+|MN|2，∴（m+1）2=－2（n+2）.（*）
故动圆圆心M的轨迹方程为（x+1）2=－2（y+2）.
（2）由（*）式，知（m+1）2=－2（n+2）≥0，
于是有n≤－2.而圆M半径r=≥，
∴当r=时，n=－2，m=－1，所求圆的方程为（x+1）2+（y+2）2=5.
探究创新
9.如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy=60°，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：
若=xe1+ye2（其中e1、e2分别为与x轴、y轴同方向的单位向量），则P点斜坐标为（x，y）.

（1）若P点斜坐标为（2，－2），求P到O的距离|PO|；
（2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程.
解：（1）∵P点斜坐标为（2，－2），
∴=2e1－2e2.
∴||2=（2e1－2e2）2=8－8e1·e2=8－8×cos60°=4.
∴||=2，即|OP|=2.
（2）设圆上动点M的斜坐标为（x，y），则=xe1+ye2.
∴（xe1+ye2）2=1.∴x2+y2+2xye1·e2=1.∴x2+y2+xy=1.
故所求方程为x2+y2+xy=1.
拓展题例
10、 圆x2+y2=1内有确定点A（，0），圆上有两点P、Q，若∠PAQ=90°，求过点P和Q的两条切线的交点M的轨迹方程.
分析：先求出PQ中点E的轨迹方程为x2+y2－x－=0.

再求切点弦PQ所在直线的方程.
解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），则过P、Q的切线方程分别是
x1x+y1y=1，x2x+y2y=1.
又M（m，n）在这两条切线上，有mx1+ny1=1，mx2+ny2=1，
∵P、Q两点的坐标满足方程mx+ny=1，又两点确定唯一一条直线，
∴PQ所在直线的方程是mx+ny=1.
又∵E为直线OM与PQ之交点，解方程组
mx+ny=1
y=x
x=，y=.
将（，）代入中点E的轨迹方程得x2+y2+x－=0.
这就是要求的过P、Q两点的切线交点M的轨迹方程.
11、 如图，过原点的动直线交圆x2+（y－1）2=1于点Q，在直线OQ上取点P，使P到直线y=2的距离等于|PQ|，求动直线绕原点转一周时P点的轨迹方程.

解：设P（x，y），圆O1：x2+（y－1）2=1与直线y=2切于点A，连结AQ，易知|AQ|=|AR|=|x|，
又|PQ|=|PR|=2－y，
∴在Rt△OQA中，|OA|2=|AQ|2+|OQ|2，
即22=|x|2+［－（2－y）］2，
化简整理得x2（x2+y2－4）=0，
∴x=0或x2+y2=4为所求的轨迹方程.