2021届高三数学第一轮复习北师大版-课时作业8-Word版含解析.docx

课时作业8　指数与指数函数
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．下列函数中值域为正实数集的是(　　)
A．y＝－5x　　　　　　　　 B．y＝1－x
C．y＝ D．y＝
解析：∵1－x∈R，y＝x的值域是正实数集，
∴y＝1－x的值域是正实数集．
答案：B
2．当x>0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是(　　)
A．1<|a|<2 B．|a|<1
C．|a|> D．|a|<
解析：∵x>0时，f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，∴a2－1>1，∴a2>2，∴|a|>.
答案：C
3．给出下列结论：
①当a<0时，(a2) ＝a3；
②＝|a|(n>1，n∈N＋，n为偶数)；
③函数f(x)＝(x－2) －(3x－7)0的定义域是{x|x≥2且x≠}；
④若2x＝16,3y＝，则x＋y＝7.
其中正确的是(　　)
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
解析：∵a<0时，(a2) >0，a3<0，∴①错；
②明显正确；解，得x≥2且x≠，∴③正确，
∵2x＝16，∴x＝4，
∵3y＝＝3－3，∴y＝－3，
∴x＋y＝4＋(－3)＝1，∴④错．
答案：B
4．(2022·新余模拟)不论a为何值时，函数y＝(a－1)2x－恒过定点，则这个定点的坐标是(　　)
A. B.
C. D.
解析：y＝(a－1)2x－＝a－2x，令2x－＝0，得x＝－1，则函数y＝(a－1)2x－恒过定点.
答案：C
5．定义运算：a*b＝如1](　　)
A．R B．(0，＋∞)
C．(0,1] D．[1，＋∞)
解析：f(x)＝2x*2－x＝∴f(x)在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴0<f(x)≤1.
答案：C
6．(2022·长春高三调研)若x∈(1,4)，设a＝x，b＝x，c＝ln，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c>a>b B．b>a>c
C．a>b>c D．b>c>a
解析：由于x>1，依据指数函数的性质得x>x>1，即b>a>1.
又1<x<4，所以1<<2，
所以0<ln<1，即c<1，
所以b>a>c，故选B.
答案：B
7．(2022·福州一模)函数y＝2x2－2x＋3的值域是(　　)
A．[4，＋∞) B．(4，＋∞)
C．(－∞，4) D．(－∞，4]
解析：令x2－2x＋3＝t，则y＝2t.
∵t＝(x－1)2＋2≥2，∴y＝2t≥22＝4.
∴函数的值域为[4，＋∞)．
答案：A
8．(2022·丽水一模)当x∈[－2,2]时，ax<2(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，) B.
C.∪(1，) D．(0,1)∪(1，)
解析：x∈[－2,2]时，ax<2(a>0且a≠1)，当a>1时，y＝ax是一个增函数，则有a2<2，可得a<，故有1<a<；
当0<a<1时，y＝ax是一个减函数，则有a－2<2，可得a>，故有<a<1，
综上得a∈∪(1，)．
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．已知正数a满足a2－2a－3＝0，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的大小关系为________．
解析：∵a2－2a－3＝0，∴a＝3或a＝－1(舍)．
函数f(x)＝ax在R上递增，由f(m)>f(n)得m>n.
答案：m>n
10．若函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))的值域是________．
解析：当x>0时，有f(x)<0；当x<0时，有f(x)>0.
故f(f(x))＝＝
而当x>0时，－1<－2－x<0，则<2－2－x<1.
而当x<0时，－1<－2x<0，则－1<－2－2x<－.
则函数y＝f(f(x))的值域是∪.
答案：∪
11．已知函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有<0成立，则a的取值范围是________．
解析：对任意x1≠x2，都有<0成立，说明函数y＝f(x)在R上是减函数，则0<a<1，且(a－3)×0＋4a≤a0，解得0<a≤.
答案：
三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
12．(1)设f(x)＝求f(1＋log23)的值；
(2)已知g(x)＝ln[(m2－1)x2－(1－m)x＋1]的定义域为R，求实数m的取值范围．
解：

(2)由题设得(m2－1)x2－(1－m)x＋1>0(*)在x∈R时恒成立，若m2－1＝0⇒m＝±1，当m＝1时，(*)为1>0恒成立；当m＝－1时，(*)为－2x＋1>0不恒成立．
∴m＝1；
若m2－1≠0，
则
⇒⇒m<－或m>1.
综上，实数m的取值范围是m<－或m≥1.
13．已知函数f(x)＝3x，f(a＋2)＝18，g(x)＝λ·3ax－4x的定义域为[0,1]．
(1)求a的值；
(2)若函数g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．
解：方法一：(1)由已知得3a＋2＝18⇒3a＝2⇒a＝log32.
(2)此时g(x)＝λ·2x－4x，设0≤x1<x2≤1，
由于g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数，
所以g(x1)－g(x2)＝(2x1－2x2)(λ－2x2－2x1)>0恒成立，
即λ<2x2＋2x1恒成立．由于2x2＋2x1>20＋20＝2，所以，实数λ的取值范围是λ≤2.
方法二：(1)由已知得
3a＋2＝18⇒3a＝2⇒a＝log32.
(2)此时g(x)＝λ·2x－4x，由于g(x)在区间[0,1]上是单调减函数，
所以有g′(x)＝λln2·2x－ln4·4x＝2xln2·(－2·2x＋λ)≤0成立，所以只需要λ≤2·2x恒成立．
所以实数λ的取值范围是λ≤2.
14．定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
解：(1)由于f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1.从而有f(x)＝.
又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.所以a＝2，b＝1.
(2)由(1)知f(x)＝＝－＋，由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．
因f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k，
即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，
从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－.