江苏省宿迁市2013—2020学年高一数学(苏教版)暑期作业及答案(12):基本不等式.docx
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高一数学暑假作业十二(基本不等式) 一、填空题 1.函数y=log2 (x>1)的最小值为 2.已知点P(x,y)在经过A(3,0),B(1,1)两点的直线上,则2x+4y的最小值为 3.若xy是正数,则2+2的最小值是 4.建筑一个容积为8 m3,深为2 m的长方体无盖水池,假如池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为________元. 5.函数y=loga(x+3)-1 (a>0,a≠1)的图象恒过点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则+的最小值为________. 6.周长为+1的直角三角形面积的最大值为________. 二、解答题 7.求下列函数的最小值. (1)设x,y都是正数,且+=3,求2x+y的最小值; (2)设x>-1,求y=的最小值. 8.某种生产设备购买时费用为10万元,每年的设备管理费共计9千元,这种生产设备的修理费各年为:第一年2千元,其次年4千元,第三年6千元,而且以后以每年2千元的增量逐年递增,问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)? 9.已知正数a,b满足ab=a+b+3.求a+b的最小值. 10.如图所示,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成. (1)现有可围36 m长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大? (2)若使每间虎笼面积为24 m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小? 高一数学暑假作业十二(基本不等式)答案 1答案 3 2答案 4 解析 ∵点P(x,y)在直线AB上,∴x+2y=3.∴2x+4y≥2=2=4. 3答案 4 解析 2+2=x2+y2+++ =++≥1+1+2=4. 当且仅当x=y=或x=y=-时取等号. 4答案 1 760 解析 设水池的造价为y元,长方形底的一边长为x m,由于底面积为4 m2,所以另一边长为 m.那么 y=120·4+2·80·=480+320 ≥480+320·2=1 760(元). 当x=2,即底为边长为2 m的正方形时,水池的造价最低,为1 760元. 5答案 8 解析 ∵A(-2,-1)在直线mx+ny+1=0上,∴-2m-n+1=0, 即2m+n=1,mn>0,∴m>0,n>0. +=+=2+++2≥4+2·=8. 当且仅当=,即m=,n=时等号成立. 故+的最小值为8. 6答案 解析 设直角三角形的两条直角边边长分别为a、b,则+1=a+b+≥2+,解得ab≤,当且仅当a=b=时取“=”,所以直角三角形面积S≤,即S的最大值为. 7解 (1)2x+y==(2x+y) =≥(2+4)=. 当且仅当=时取“=”,即y2=4x2,∴y=2x. 又∵+=3,求出x=,y=.∴2x+y的最小值为. (2)∵x>-1,∴x+1>0,设x+1=t>0,则x=t-1, 于是有y===t++5≥2+5=9, 当且仅当t=,即t=2时取等号,此时x=1. ∴当x=1时,函数y=取得最小值为9. 8解 设使用x年的年平均费用为y万元.由已知,得y=, 即y=1++(x∈N*). 由基本不等式知y≥1+2 =3,当且仅当=,即x=10时取等号.因此使用10年报废最合算,年平均费用为3万元. 解 方法一 ∵a+b+3=ab≤,设a+b=t,t>0,则t2≥4t+12. 解得:t≥6 (t≤-2舍去),∴(a+b)min=6. 方法二 ∵ab=a+b+3,∴b=>0,∴a>1. ∴a+b=a+=a++1=(a-1)++2≥2+2=6. 当且仅当a-1=,即a=3时,取等号. 10解 (1)设每间虎笼长x m,宽为y m,则由条件知:4x+6y=36,即2x+3y=18. 设每间虎笼面积为S,则S=xy. 方法一 由于 , 得 即 当且仅当 等号成立 ,由 解得 故每间笼长为4.5m,宽为 3m, 可使面积最大, 方法二 由 ,得 x>0, 0<y<6, 当且仅当 即 时,等号成立,此时 (2)由条件知S=xy=24.设钢筋网总长为l,则l=4x+6y. 方法一 当且仅当 时 等号成立, 由 解得 故每间虎笼长6 m,宽4 m时,可使钢筋网总长最小.- 配套讲稿:
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