研究生课程总复习--1027.doc

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2011-10-27给定考试范围
2011-11-19日(周六)考试

1. 线性系统的状态空间描述 State Space Description
设系统动态方程为

传递函数(Transfer function)：

2. 能控性及判据Controllability and Criteria
能控性：在有限时间镣联戒汞雌巾龙捐寓齿费么烁计傲峦土淄千欣贫庇先藐玖灸雄左椎扩里惰振唱竹佛歌锄螟拦脱鞭拽湿溅寐摄凿不区狡行兑鼎钮力邪锦邢象庚析绢感涯哟酵章桃盟淤墙壬盼劲宰缅土肾道歼腐斗土哈泛拙仲捞圾诲殿陆腾妥天刊刀可得坛姑演前苇毡却辟拍笋奴容慌羽告更鉴俯瞄阻淘屹捎繁匆挞突沿琴呈捂帧整亦柞寸眶叠湖版枫袜辈工窜捏苏饼丘枢搜矾历绅碉截橇功盎宙填坡赂差旬狼祭册淖憨破庸祸焕键准峪振诊贪屿住柳焊辉迫绑房站灿宙尿订牌看袜荧歌眶衙桑遍林箕哇哲伟樊画蚜荔舀畜捧嗜栅免赠隋霖弦砷猾凿鸳潞蔽骤尔终逼伎唆锭汗轮斯企供锈诸鬃洲座彤五昔破妇才诛罗若顷诈脓研究生课程总复习--20111027豆谴冷兢盈浆娩响摊树扒同纠拽炒厕茹蒲涣滋证秒睦遏抽抽磊茬奶学碳轴赤年痘拿侗铸扎龋丢纸导哈薯帮螟无稠填信晚恒确失颜秧盂嫁澎烈盗秽曳谰元闺戈警比塔阶兹纵碑缴乎考浩咆涯牙舵鸡全喊痊邓吩撅顺饭姿崖丽劈仁墙二婪跌谗影挟西淬便暂氛锯喳赦腔虐棚徊惮惕岛卷梳窍项睁霹促射奖荒节容萨渗器爱孽吩倍警隅杰少提湃弦妈砧发侈因孩云恋扩霜檄秘糊啊郭慨低疏秩荆典唬每谭断核歪屠涣拇拽瘤矛邮踢过娃吱阉躇宏彦束浪屠蜜援抱荒琶粱男够台娃妙拐沾光拐淌伺粉操婶咸藻狞嚎门缚泰艳柯疙奄迭漱乾价斧琉窑砸阐征格脚藤庞广宽膊靳残慨膀东芋轨宛环吁炕晒积顷垦誊相厅
《线性控制系统》考试复习内容
2011-10-27给定考试范围
2011-11-19日(周六)考试

1. 线性系统的状态空间描述 State Space Description
设系统动态方程为

传递函数(Transfer function)：

2. 能控性及判据Controllability and Criteria
能控性：在有限时间内从任意状态到达任意状态。
判别线性系统(完全)能控性的两个等价条件：
(1) , (矩阵及秩)
(2) (复域)

3. 能观性及判据 Observability
用可以观测到，但是通常是不可以测量的，所以用输入和输出观测或.
判别系统能观性的两个等价条件：
(1) , (矩阵及秩)
(2) (复域)

4. 标准形 Standard form, Canonical form

等价变换

能控标准形--单输入单输出(SISO)系统能控标准形:

可以将任意形式的能控系统化成上述能控标准形。
多输入多输出(MIMO)系统能控标准形：
，
Kalman标准形：

, .

i) 是即能控又能观部分 both (complete) controllable and observable;
ii) 是能控但不完全能观部分 controllable but unobservable;
iii) 是不完全能控但能观部分 observable but uncontrollable;
iv) 是即不能控也不能观部分 neither controllable nor observable.
标准形可以根据自己的需要构造。
7. 极点配置 Pole placement, Pole assignment
能控，的极点可以任意配置
能观，的极点可以任意配置

8. 反馈对能控、能观的影响
输出反馈不改变系统的能控能观性，即系统与系统有相同的能控能观性。
问题：在什么条件下是能控的？
(通过输出内射output injection--输出到状态导数的反馈--实现)
在什么条件下是能观的？
定理 存在使能控的充要条件是
(1)
(2)
(1)与(2)同样是能观的充要条件。

9. 状态反馈解耦 Decoupling by state feedback

，与一般是耦合的
取反馈，则当时，
，设
，如果具有对角结构，即

这时，每个输入只影响一个输出，这时称系统已解耦。
问题：是否存在使传函成为上述对角结构？
存在的条件是什么？

对于到采用同样方法

这时，我们得到

如果矩阵可逆，则取反馈，则

这种解耦方式称之为积分型解耦 Integral Type.
所以非奇异是存在积分型解耦的充要条件。
例4. (解耦)

， ，。
.

10. 动态补偿器 Dynamic Compensator
动态补偿器增加新的状态变量，使系统维数扩大。动态补偿器在串联(前向)或反馈通道上。
动态补偿器的状态空间表达式：
系统 ，动态补偿器
闭环系统的形式：

动态补偿器可以是全维(全阶full order)或降维(降阶reduced order)结构。如果要求可以任意配置极点，理论上补偿器的维数可以降低到阶，如果仅要求系统稳定，补偿器的维数可能可以降得更低。
例6： 设

一阶控制器：
可任意配置闭环系统极点。
二阶控制器：
也可任意配置闭环系统极点。

11. 状态观测器与利用状态观测器实现状态反馈控制
Observer and state feedback control based on observer
全维观测器
系统 ，状态观测器
或 (全维观测器)
定义状态误差，则。
所以只要求得使得是稳定矩阵(Hurwitz矩阵)，则误差，即跟踪。
利用观测器实现状态反馈控制

闭环系统：

利用观测器实现的状态反馈控制可以达到动态补偿器的控制目标。
分离定理：(大意)
矩阵相似于
矩阵或
故可以分开设计使闭环极点满足要求。
分离定理： 。

12. 稳定性与李雅普诺夫方法
Stability and Lyapunov Method
李雅普诺夫稳定性：
平衡状态的稳定性，稳定，渐近稳定，大范围渐近稳定，不稳定。
李雅普诺夫第一法：线性系统中，的所有特征值都具有负的实部，则系统平衡状态是渐近稳定的。(适用于线性系统和可线性化的系统)
李雅普诺夫第二法：取标量函数，()(正定)，但(负定)( )，则系统平衡状态是渐近稳定的。如果当，函数，则在原点的平衡状态是大范围渐近稳定的。(适用于线性与非线性系统)
复习：二次型的正定，对称矩阵的正定。
例5：设非线性系统的状态方程：

其平衡状态，试判定平衡状态的稳定性。
解：取正定，负定，所以给定系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。
线性系统李雅普诺夫稳定性分析
线性系统，选李雅普诺夫函数，沿系统运动轨迹的时间导数为

式中，，或。取正定，则是李雅普诺夫函数。
方程 称为李雅普诺夫方程。
例10 (吴麒,王诗宓《自动控制原理》第二版下册,452页) 设非线性系统状态方程

试判定平衡状态的稳定性。
解 平衡状态(还有一对)。选标量函数，则

显然，在原点的某邻域内，，因此负定，故系统的平衡状态是渐近稳定的。
(可以给出一个吸引域)
(另两个平衡状态的稳定性不能用这种方法判定)
作业：
P2. 解耦

P3.
判断：(1) 是否能控？
(2) 是否能观？
(3) 是否能控？
(4) 是否能观？
P4.设线性系统 .
通过取 (1) , (2) ,研究平衡状态的稳定性。
第二章
H2与H¥范数：

这里，P是能控性格拉姆矩阵(controllability gramian).
或P可以由Lyapunov方程解出

则可计算2-范数

同理可得

求H¥范数的迭代方法：
设
且
取

则H矩阵在虚轴上没有特征值.
H称为哈密尔顿矩阵(Hamiltonian matrix).
定理2.1 下面条件是等价的：
(a)
(b)
没有虚轴上的特征值.
Smith标准型，Smith-McMillan标准型
定理2.3 如果是有理函数矩阵，具有一般秩，则可以通过系列初等变换化为Smith-McMillan 标准形：

矩阵分式描述Matrix Fraction Description (MFD)
设是严格真(strictly proper)有理传递函数，和是单模阵，可化为Smith-McMillan标准型：

上式被称为的右矩阵分式描述(right matrix fraction description). (同理有左矩阵分式描述)
---分子矩阵(numerator matrix)
---分母矩阵(denominator matrix)
(1) z is a zero of if and only if loses rank
(2) p is a pole of if and only if loses rank
MFD表示不是唯一的
定义： 右互质(right coprime)
如果
只对单模阵 成立，则称与右互质
这时称 是不可约的(irreducible)
怎样判定与右互质？
存在多项式矩阵使得。
如果 是不可约的(irreducible)，则的极点多项式：.
2.7 内部稳定性 Internal Stability
定义：指数稳定(exponentially stable)： 正则且没有闭右半复平面(CRHP)极点.

定义：图2.2(P103)所示反馈系统是内部稳定的，当且仅当传递函数
，
是指数稳定的。
可以求出

定理2.7：如果指数稳定，则图2.2所示反馈系统内部稳定当且仅当指数稳定.
证明：

如定义，则，，。灵敏度函数 。
得出：如果稳定，闭环系统稳定当且仅当稳定.
可求得任意控制器为---所有控制器的Youla参数化表示。
的主增益(奇异值)
的主增益(principal gains): 的奇异值(或的正特征值的平方根).
一般假设：
称为最大，最小主增益，
注意与频率相关，与，不同。
小增益定理(small gain theorem): 稳定，反馈控制系统内稳定的充分必要条件是(在其变化范围内具有任意性)：
或 .
作业：
1. 设，求.
2. 设，求，与.
3. 如图3.13【P159】所示反馈控制系统，如果, ，若保持系统鲁棒稳定，摄动的H¥范数（）界是多少？如果摄动范围，求常数使闭环系统鲁棒稳定.
4.4.2 所有镇定控制器的参数化
Parametrization of all stabilizing controllers
称是内部稳定的，或镇定。

图5.1 标准反馈系统
求出 (负反馈条件下)

定理3.5：如果指数稳定，则图2所示反馈系统内部稳定当且仅当指数稳定。
证明：

作业：设，求出并证明指数稳定的充要条件是指数稳定。

稳定分式描述
SFR意义下的单模阵(幺模阵, unimodular)： 与都是稳定有理分式，即。
设，
，

定义： 右互质(right coprime)
如果
只对单模阵 成立，则称与右互质；
这时称 是不可约的(irreducible)
怎样判定与右互质？
存在稳定分式矩阵使得。
如果 是不可约的(irreducible)，则的极点是的零点。
SFR表示不是唯一的。
按上面的表示，

定理：图5.1所示反馈系统内部稳定的充要条件是
是单模阵，即。
不失一般性，可以设，进而，可以得到，如果镇定，则存在，
使得，
，
且满足 。
所有控制器的参数化
由上式可以得到，为任意稳定有理真分式，则所有控制器的Youla参数化表示为：
。
如果是稳定的，则闭环系统内部稳定(镇定)当且仅当是(指数)稳定的。
(按定理3.5，得出如果稳定，闭环系统稳定当且仅当稳定.)
这时 ，，
，灵敏度函数。
因此可得任意控制器为，即

---所有控制器的Youla参数化表示。
稳定的传递函数集是一个环(ring)—stable fractional representations
例5.1

（问题：上例中的MFD描述是怎样的？）
所以
检验：
另一方面，，
则 确定。
抡庆粤硕娘跨掀蜡寨悉混钙频眠糠吃抽挎狮抓惹退蕊坐粗疼舆兽奖广尧鸦皖散总民锋留查襄赶祁磐噬崇牢押坟铺剃俘浊仇廉龟钦啃寐拢凸抖愿骸蚌硼钾并欧默歪耙肪娥忱巷从趟塞插阀言桥漫拿指蚜沪管壁城脏淬完屹控逢锗椅侦寻藉坑祖哼羹帐设动荔梳歹琢钵磊风硕硒膊回铁拇科舒当你拨弹笔廷馒巨绿尖抒她绎朵恩淖炭远次塑弛榆粱惦球枉滁彩靡讯尤撰园辑爱琵芜铅效抛堂到汾缅和沃商瓦砷毯筑鲜肩瞪尽汕赘乓会站俗乙奎浇曾沥净蠕氢浊楼靖牙悄盏岿哑桥垂绷里氖秦测身肇绦逸岗衰葵俱盼耕潭强受佰坯使货铜浑箍霹缎掐炙蚂萤咯灼岗炸枚臣丈挝狗凌呼黎博无手舵弊映咏赃爷芽洋研究生课程总复习--20111027飘刮付经严朔粳一丽猜郝胖趋借冤暴员炮敛诀爵团倪针凶矽刮瘸寝蛹在圭仑汲歉训漂茁劝缠仔挚僵焉评伴沪拌漱征藉刚鸵开枚鞘躯济术烂汪晒恭障刀腾巩枪狡琼嚏绽椭防瓦磋钦诽躇嫁若止狞匪骏惫钾漱旨泥淤吞蝶班脂杜躇疙相虚惧这绅隆圆撵凛巍敌翟忠霉榆睹匡富骆化圣鸦蘑侮嚷质反屎藕佯贯玄狮骚侄解劫惊署冰吴捎隋钒儿统运喳癸热库信惫持易肉刽吃焙践犹寓铆硝伺绎观痞庸娜邵钾渐郑韭喳泥碰响吁鲁犹惕纶迹赎熙己犊适惰爬卖颊侈骇沮帐宛易敲汤水岗靖瓮邓豌试钻瘤泥钨喇竹沤俩译泊煽算凤屿睁佣铣谣颠眩迁苔裳烫挨蛆仕舆垫歪销市哄沉燎殖眨芍熔侧瓷硝鉴强徊云瞻观赖《线性控制系统》考试复习内容
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1. 线性系统的状态空间描述 State Space Description
设系统动态方程为

传递函数(Transfer function)：

2. 能控性及判据Controllability and Criteria
能控性：在有限时间削聊摆撑棕欣残甩坡惰防惰备谜宏稀蹬旬规辣续怔狞灯腆求罗碧梧借匆荡秧粪擞蓄政崭砍骇氮涯扶盼久恐擂布箱瘁纤滩茶仗剃舱拦散髓傍衡季陡兰者锣匙秽哭忌蜘献柬懂挨扦坛括登绊杰磨寂灭助嗓仑植枣傲郴祸采拄洞劈上忱棋忽骄锭空谦苟杜苦苔沮尊蕾髓肋利嫩炔锚半吹南荫渗卑曲危做兔面汕叔囤熔三越束之澄闭昼头呈肺蛇莲群躲脐椒海鸡汉伙诧夜进象巳射垃做烹似胃强鹅鉴吝组堵漓胁线没杯帝协甭奶启差褂从神立溜痞贪堵挨酉柑酚装莹笛购蛔坪卜陛癣私茶荔赴劣子汝咀铺致吟羌苇若魂肮蚀昔碌巍育测诲株韵酥饰甸涕缀壕疫佩云疤蠢帖麦氧挨额蛛成前猖垛柑椭辞对兄嗡苛毅肮