高中物理竞赛的数学基础(自用)培训讲学.doc

普通物理的数学基础
选自赵凯华老师新概念力学
一、微积分初步

物理学研究的是物质的运动规律，因此我们经常遇到的物理量大多数是变量，而我们要研究的正是一些变量彼此间的联系。这样，微积分这个数学工具就成为必要的了。我们考虑到，读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些微积分的初步知识，对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处的。所以我们在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法，在讲述方法上不求严格和完整，而是较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要。至于更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法，读者将通过高等数学课程的学习去完成。
§1．函数及其图形

1．1函数  自变量和因变量  绝对常量和任意常量

1．2函数的图象

1．3物理学中函数的实例

§2．导数

2．1极限

如果当自变量x无限趋近某一数值x0（记作x→x0）时，函数f（x）的数值无限趋近某一确定的数值a，则a叫做x→x0时函数f（x）的极限值，并记作

（A．17）式中的“lim”是英语“limit（极限）”一词的缩写，（A．17）式读作“当x趋近x0时，f（x）的极限值等于a”。
极限是微积分中的一个最基本的概念，它涉及的问题面很广。这里我们不企图给“极限”这个概念下一个普遍而严格的定义，只通过一个特例来说明它的意义。
考虑下面这个函数：

这里除x＝1外，计算任何其它地方的函数值都是没有困难的。例如当

但是若问x＝1时函数值f（1）＝？我们就会发现，这时（A．18）式的

说是没有意义的。所以表达式（A．18）没有直接给出f（1），但给出了x无论如何接近1时的函数值来。下表列出了当x的值从小于1和大于1两方面趋于1时f（x）值的变化情况：
表A-1 x与f（x）的变化值
x
3x2-x-2
x-1

0.9
-0.47
-0.1
4.7
0.99
-0.0497
-0.01
4.97
0.999
-0.004997
-0.001
4.997
0.9999
-0.0004997
-0.0001
4.9997
1.1
0.53
0.1
5.3
1.01
0.503
0.01
5.03
1.001
0.005003
0.001
5.003
1.0001
0.00050003
0.0001
5.0003

从上表可以看出，x值无论从哪边趋近1时，分子分母的比值都趋于一个确定的数值——5，这便是x→1时f（x）的极限值。
其实计算f（x）值的极限无需这样麻烦，我们只要将（A．18）式的分子作因式分解：
3x2-x-2＝（3x＋2）（x-1），
并在x≠1的情况下从分子和分母中将因式（x－1）消去：

即可看出，x趋于1时函数f（x）的数值趋于3×1＋2＝5。所以根据函数极限的定义，
求极限公式

（2）
（3）
（4）　

等价无穷小量代换
sinx～x;　tan～x;　arctanx～x;　arcsinx～x;

2．2极限的物理意义

（1）瞬时速度

对于匀变速直线运动来说，

这就是我们熟悉的匀变速直线运动的速率公式（A．5）。
（2）瞬时加速度

时的极限，这就是物体在t＝t0时刻的瞬时加速度a：

（3）水渠的坡度任何排灌水渠的两端都有一定的高度差，这样才能使水流动。为简单起见，我们假设水渠是直的，这时可以把x坐标轴取为逆水渠走向的方向（见图A-5），于是各处渠底的高度h便是x的函数：
h=h（x）．
知道了这个函数，我们就可以计算任意两点之间的高度差。

就愈能精确地反映出x=x0这一点的坡度。所以在x=x0这一点的坡度k应是△

2．3函数的变化率——导数

前面我们举了三个例子，在前两个例子中自变量都是t，第三个例子中自变量是x．这三个例子都表明，在我们研究变量与变量之间的函数关系时，除了它们数值上“静态的”对应关系外，我们往往还需要有“运动”或“变化”的观点，着眼于研究函数变化的趋势、增减的快慢，亦即，函数的“变化率”概念。
当变量由一个数值变到另一个数值时，后者减去前者，叫做这个变量的增量。增量，通常用代表变量的字母前面加个“△”来表示。例如，当自变量x的数值由x0变到x1时，其增量就是
△x≡x1-x0． （A．25）
与此对应。因变量y的数值将由y0＝f（x0）变到y1=f（x1），于是它的增量为
△y≡y1-y0=f（x1）－f（x0）＝f（x0+△x）－f（x0）．（A．26）应当指出，增量是可正可负的，负增量代表变量减少。增量比

可以叫做函数在x＝x0到x＝x0+△x这一区间内的平均变化率，它在△x→0时的极限值叫做函数y＝f（x）对x的导数或微商，记作y′或f′（x），

f（x）等其它形式。导数与增量不同，它代表函数在一点的性质，即在该点的变化率。
应当指出，函数f（x）的导数f′（x）本身也是x的一个函数，因此我们可以再取它对x的导数，这叫做函数y＝f（x）

据此类推，我们不难定义出高阶的导数来。
有了导数的概念，前面的几个实例中的物理量就可表示为：

2．4导数的几何意义

在几何中切线的概念也是建立在极限的基础上的。如图A-6所示，为了确定曲线在P0点的切线，我们先在曲线上P0附近选另一点P1，并设想P1点沿着曲线向P0点靠拢。P0P1的联线是曲线的一条割线，它的方向可用这直线与横坐标轴的夹角α来描述。从图上不难看出，P1点愈靠近P0点，α角就愈接近一个确定的值α0，当P1点完全和P0点重合的时候，割线P0P1变成切线P0T，α的极限值α0就是切线与横轴的夹角。

在解析几何中，我们把一条直线与横坐标轴夹角的正切tanα叫做这条直线的斜率。斜率为正时表示α是锐角，从左到右直线是上坡的（见图A-7a）；斜率为负时表示α是钝角，从左到右直线是下坡的（见图A-7b）。现在我们来研究图A-6中割线P0P1和切线P0T的斜率。
设P0和P1的坐标分别为（x0，y0）和（x0+△x，y0+△y），以割线P0P1为斜边作一直角三角形△P0P1M，它的水平边P0M的长度为△x，竖直边MP1的长度为△y，因此这条割线的斜率为

如果图A-6中的曲线代表函数y=f（x），则割线P0P1的斜率就等于函数在
线P0P1斜率的极限值，即

所以导数的几何意义是切线的斜率。
§3．导数的运算

在上节里我们只给出了导数的定义，本节将给出以下一些公式和定理，利用它们可以把常见函数的导数求出来。

3．1基本函数的导数公式

（1）y＝f（x）＝C（常量）

（2）y=f（x）＝x

（3）y＝f（x）=x2

（4）y＝f（x）＝x3

上面推导的结果可以归纳成一个普遍公式：当y=xn时，

等等。利用（A．33）式我们还可以计算其它幂函数的导数（见表A-2）。
除了幂函数xn外，物理学中常见的基本函数还有三角函数、对数函数和指数函数。我们只给出这些函数的导数公式（见表A-2）而不推导，读者可以直接引用。

3．2有关导数运算的几个定理

定理一

证：

定理二

表A-2基本导数公式
函数y=f(x)
导数y′=f′(x)
c(任意常量)
0
xn(n为任意常量)
nxn-1
n=1,x
1
n=2,x2
2x
n=3,x3
3x2

…………
…………
sinx
cosx
cosx
-sinx
lnx

ex
ex
定理三

定理四

例题1求y=x2±a2（a为常量）的导数。

例题3求y=ax2（a为常量）的导数。

例题4求y=x2ex的导数。

例题6求y＝tanx的导数。

例题7求y＝cos（ax＋b）（a、b为常量）的导数。
解：令v＝ax＋b，y＝u（v）＝cosv，则

例题9求y=x2e－ax2（a为常量）的导数。
解：令u＝ev，v＝－ax2，则

§4．微分和函数的幂级数展开

4．1微分

自变量的微分，就是它的任意一个无限小的增量△x．用dx代表x的微分，则
dx=△x．（A．38）
一个函数y=f（x）的导数f′（x）乘以自变量的微分dx，叫做这个函数的微分，用dy或df（x）表示，即
dy≡df（x）≡f′（x）dx，   （A．39）

一个整体引入的。当时它虽然表面上具有分数的形式，但在运算时并不象普通分数那样可以拆成“分子”和“分母”两部分。在引入微分的概念之后，我们就可把导数看成微分dy与dx之商（所谓“微商”），即一个真正的分数了。把导数写成分数形式，常常是很方便的，例如，把上节定理四（A．37）

此公式从形式上看就和分数运算法则一致了，很便于记忆。
下面看微分的几何意义。图A-8是任一函数y＝f（x）的图形，P0（x0，y0）和P1（x0+△x，y0+△y）是曲线上两个邻近的点，P0T是通过P0的切线。直角三角形△P0MP1的水平边

的交点为N，则

但tan∠NP0M为切线P0T的斜率，它等于x=x0处的导数f′（x0），因此

所以微分dy在几何图形上相当于线段MN的长度，它和增量

是正比于（△x）2以及△x更高幂次的各项之和[例如对于函数y=f（x）＝x3，△y＝3x2△x＋3x（△x）2＋（△x）3，而dy=f′（x）△x=3x2△x]．当△x很小时，（△x）2、（△x）3、…比△x小得多，

中的线性主部。这就是说，如果函数在x=x0的地方象线性函数那样增长，则它的增量就是dy．

§5.积分

5.1几个物理中的实例

(1)变速直线运动的路程
我们都熟悉匀速直线运动的路程公式。如果物体的速率是v，则它在ta到tb一段时间间隔内走过的路程是
s＝v(tb－ta).  (A.45)
对于变速直线运动来说，物体的速率v是时间的函数：
v＝v(t)，
函数的图形是一条曲线(见图A-10a)，只有在匀速直线运动的特殊情况下，它才是一条直线(参见图A-4b)。对于变速直线运动，(A.45)式已不适用。但是，我们可以把t＝ta到t＝tb这段时间间隔分割成许多小段，当小段足够短时，在每小段时间内的速率都可以近似地看成是不变的。这样一来，物体在每小段时间里走过的路程都可以按照匀速直线运动的公式来计算，然后把各小段时间里走过的路程都加起来，就得到ta到tb这段时间里走过的总路程。

设时间间隔(tb－ta)被t＝t1(=ta)、t2、t3、…、tn、tb分割成n小段，每小段时间间隔都是△t，则在t1、t2、t3、…、tn各时刻速率分别是v(t1)、v(t2)、v(t3)、…、v(tn)。如果我们把各小段时间的速率v看成是不变的，则按照匀速直线运动的公式，物体在这些小段时间走过的路程分等于v(t1)△t、v(t2)△t、v(t3)△t、…、v(tn)△t.于是，在整个(tb-ta)这段时间里的总路程是

现在我们来看看上式的几何意义。在函数v＝v(t)的图形中，通过t=t1、t2、t3、…、tn各点垂线的高度分别是v(t1)、v(t2)、v(t3)、…、v(tn)(见图A-10b)，所以v(t1 )△t、v(t2)△t、v(t3)△t、…、v(tn)△t就分

这些矩形面积的总和，即图中画了斜线的阶梯状图形的面积。
在上面的计算中，我们把各小段时间△t里的速率v看做是不变的，实
际上在每小段时间里v多少还是有些变化的，所以上面的计算并不精确。要使计算精确，就需要把小段的数目n加大，同时所有小段的△t缩短(见图A-10c)。△t愈短，在各小段里v就改变得愈少，把各小段里的运动看成匀速运动也就愈接近实际情况。所以要严格地计算变速运动的路程s，我们就
应对(A.46)式取n→∞、△t→0的极限，即

当n愈来愈大，△t愈来愈小的时候，图A-10中的阶梯状图形的面积
就愈来愈接近v(t)曲线下面的面积(图A-10d)。所以(A.47)式中的极限值等于(tb－ta)区间内v(t)曲线下的面积。
总之，在变速直线运动中，物体在任一段时间间隔(tb－ta)里走过的路程要用(A.47)式来计算，这个极限值的几何意义相当于这区间内v(t)曲线下的面积。

(2)变力的功
当力与物体移动的方向一致时，在物体由位置s＝sa移到s＝sb的过程中，恒力F对它所作的功为
A＝F(sb－sa)     A.48)
如果力F是随位置变化的，即F是s的函数：F＝F(s)，则不能运用(A.48)式来计算力F的功了。这时，我们也需要象计算变速运动的路程那样，把(sb－sa)这段距离分割成n个长度为△s的小段(见图A-11)

并把各小段内力F的数值近似看成是恒定的，用恒力作功的公式计算出每小段路程△s上的功，然后加起来取n→∞、△s→0的极限值。具体地说，设力F在各小段路程内的数值分别为F(s1)、F(s2)、F(s3)、…、F(sn)，则在各小段路程上力F所作的功分别为F(s1)△s、F(s2)△s、F(s3)△s、…、F(sn)△s.在(sb－sa)整段路程上力F的总功A就

都是变化的，所以严格地计算，还应取n→∞、△s→0的极限值，即

同上例，这极限值应是(sb－sa)区间内F(s)下面的面积(见图A-12)。

5 2定积分

以上两个例子表明，许多物理问题中需要计算象(A.47)和(A.49)式中给出的那类极限值。概括起来说，就是要解决如下的数学问题：给定一个函数f(x)，用x＝x1(=a)、x2、x3、…、xn、b把自变量x在(b－a)区间内的数值分成n小段，设每小段的大小为△x，求n→∞、△x→0时

函数，b和a分别叫做定积分的上限和下限。
用定积分的符号来表示，(A.47)和(A.49)式可分别写为

在变速直线运动的路程公式(A.51)里，自变量是t，被积函数是v(t)，积分的上、下限分别是tb和ta；在变力作功的公式(A.52)里，自变量是s，被积函数是F(s)，积分的上、下限分别是sb和sa.
求任意函数定积分的办法有赖于下面关于定积分的基本定理：
如果被积函数f(x)是某个函数Ф(x)的导数，即
f(x)=Ф′(x)，
则在x＝a到x＝b区间内f(x)对x的定积分等于Ф(x)在这区间内的增量，即

现在我们来证明上述定理。
在a≤x≤b区间内任选一点xi，首先考虑Ф(x)在x=xi到x=xi+△x≡xi+1区间的增量△Ф(xi)=Ф(xi+1)-Ф(xi)：

但按照定理的前提，Ф′(x)=f(x)，故
△Ф(xi)≈Ф′(xi)△x=f(xi)△x.
式中≈表示“近似等于”，若取△x→0的极限，上式就是严格的等式。
把a≤x≤b区间分成n－1小段，每段长△x.上式适用于每小段。根据积分的定义和上式，我们有

因x1＝a，xn＝b，于是得(A.53)式，至此定理证讫。
下面看看函数Ф(x)在f-x图(见图A-13)中所表现的几何意义。如前所述，△Ф(xi)=Ф(xi+1)-Ф(xi)=f(xi)△x，正是宽为△x、高为

积。它和曲线段PiPi+1下面的梯形xixi+1Pi+1Pi的面积只是相差一小三角形PiNPi＋1的面积。当△x→0时，可认为△Ф(xi)就是梯形xixi+1Pi+1Pi的面积。
既然当x由xi变到xi+1时，Ф(x)的增量的几何意义是相应区间f-x曲线下的面积，则Ф(x)本身的几何意义就是从原点O到x区间f-x曲线下面的面积加上一个常量C＝Ф(0).例如Ф(xi)的几何意义是图形OxiPiP0的面积加C，Ф(xi＋1)的几何意义是图形Oxi+1Pi+1P0的面积加C，等等。这样，△Ф(xi)=Ф(xi+1)-Ф(xi)就是：
(Oxi+1Pi+1P0的面积+C)
-(OxiPiP0的面积+C)
=xixi+1Pi+1Pi的面积，
而Ф(b)-Ф(a)的几何意义是：
(ObPbP0的面积+C)
－(OaPaP0的面积+C)
＝abPbPa的面积。

5.3不定积分及其运算

在证明了上述定积分的基本定理之后，我们就可以着手解决积分的运算问题了。根据上述定理，只要我们求得函数Ф(x)的表达式，利用(A.53)式立即可以算出定积分

去求Ф(x)的表达式呢？上述定理告诉我们，Ф′(x)=f(x)，所以这就相当于问f(x)是什么函数的导数。由此可见，积分运算是求导的逆运算。如果f(x)是Ф(x)的导数，我们可以称Ф(x)是f(x)的逆导数或原函数。求f(x)的定积分就可以归结为求它的逆导数或原函数。
在上节里我们讲了一些求导数的公式和定理，常见的函数我们都可以按照一定的法则把它们的导数求出来。然而求逆导数的问题却不像求导数那样容易，而需要靠判断和试探。例如，我们知道了Ф(x)＝x3的导数Ф′(x)＝3x2，也就知道了F(x)＝3x2的逆导数是Ф(x)＝x3.这时，如果要问函数f(x)＝x2的逆导数是什么，那么我们就不难想到，它的逆导数应该是x3/3.这里要指出一点，即对于一个给定的函数f(x)来说，它的逆导数并不是唯一的。Ф1(x)＝x3/3是f(x)＝x2的逆导数，Ф2(x)＝x3/3＋1和Ф3(x)=x3/3－5也都是它的逆导数，因为Ф1′(x)、Ф2′(x)、Ф3′(x)都等于x2.一般说来，在函数f(x)的某个逆导数Ф(x)上加一任意常量C，仍旧是f(x)的逆导数。通常把一个函数f(x)的逆导数的通式Ф(x)＋C叫做它的不定积分，并记作∫f(x)dx，于是

因在不定积分中包含任意常量，它代表的不是个别函数，而是一组函数。

表A-4基本不定积分公式
函数f(x

xn(n≠-1)

n=1时，x1=x

n=2时，x2

n=3时，x3

…………
…………
sinx
-cosx+C
cosx
sinx+C

ln|x|+C
ex
ex+C
上面所给的例子太简单了，我们一眼就能猜到逆导数是什么。在一般的情况下求逆导数，首先要求我们对各种函数的导数掌握得很熟练，才能确定选用那一种形式的函数去试探。此外，掌握表A-4中给出的基本不定积分公式和其后的几个有关积分运算的定理，也是很重要的。(表中的公式可以通过求导运算倒过来验证，望读者自己去完成)
下面是几个有关积分运算的定理。
定理一  如果f(x)＝au(x)(a是常量)，则

定理二  如果f(x)=u(x)±v(x)，则

这两个定理的证明是显而易见的，下面我们利用这两个定理和表A－4中的公式计算两个例题。

定理三  如果f(x)=u(v)v′(x)，则

此定理表明，当f(x)具有这种形式时，我们就可以用v来代替x作自变量，这叫做换元法。经过换元往往可以把比较复杂的积分化成表A-4中给出的现成结果。下面看几个例题。

解：令u(v)＝sinv，v(x)＝ax＋b， dv＝v′(x)dx＝adx，经换元得

解：令v(x)=sinx，则dv＝v′(x)dx＝cosx dx，于是

于是

5.4通过不定积分计算定积分

当我们求得不定积分

之后，将上、下限的数值代入相减，就得到定积分的值：

作定积分运算时，任意常量就被消掉了。

图A－14是f(x)=sin2πx的曲线，它在x＝0到1/2一段是正的，在x＝1/2到1一段是负的。从x＝0到1的定积分为0，是因为横轴上下两块面积大小相等，一正一负，相互抵消了。

例题17  推导匀变速直线运动的路程公式。
解：v(t)=v0+at，

例题18 若在(A.52)式中力F(s)与距离平方成反比：F(s)＝a/s2，求功A(见图A-15).

习  题

A-1.
(1)若f(x)=x2，写出f(0)、f(1)、f(2)、f(3)之值。

(3)若f(x)＝a＋bx，f(0)＝？x0为多少时f(x0)=0？

A-2.求下列函数的导数：
(1)y＝3x4－2x2＋8，                                (2)y=5＋3x－4x3，

(11)y＝x tanx，                                       (12)y=sin(ax+b)，
(13)y＝sin2(ax＋b)，                              (14)y=cos2(ax＋b)，
(15)y＝sinx cosx，                                  (16)y=ln(x＋a)，
(17) y＝x2eˉax，                                  (18) y=xe-ax2.
式中a，b，c为常量。

A-3.计算习题A－2(1)－(18)中y的微分。

A－4.求以下函数围绕x＝0的泰勒级数中前两个非0项：

A-5.求下列不定积分：

A－6.计算下列定积分：

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