2021高中数学北师大版必修四导学案：《二倍角的正弦、余弦和正切》.docx

第5课时　二倍角的正弦、余弦和正切

1.能够依据和角的正弦公式、余弦公式、正切公式导出二倍角的正弦公式、余弦公式和正切公式.
2.能够依据倍角公式得出半角公式,了解倍角公式和半角公式的内在联系.
3.能够使用倍角公式进行简洁的三角恒等变换.

2002年8月,在北京召开了国际数学家大会,大会会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是125,你能求出sin2θ-cos2θ的值吗?

问题1:二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α=　　　　　　　　(α为任意角); 
(2)cos 2α=cos2α-　　　　　=　　　　　-1=1-　　　　　(α为任意角); 
(3)tan 2α=　　　　　　　　(α≠　　　　　　+kπ,且α≠π4+　　　　　　,k∈Z). 
问题2:半角的正弦、余弦、正切公式
sinα2=　　　　　　;cosα2=　　　　　　; 
tanα2=　　　　　　=　　　　　　=　　　　　　. 
问题3:如何依据倍角公式导出半角公式?
单角和倍角是相对的,α是α2的倍角,在问题1中假如使用这个关系,则得到cos2α2=1+cosα2,sin2α2=1-cosα2,把这个式子开方得cosα2=±1+cosα2,sinα2=±1-cosα2,再依据同角三角函数关系可得tanα2=±1-cosα1+cosα,符号由α2所在象限打算.对正切的半角公式又有tanα2=sinα2cosα2=2sin2α22sinα2cosα2=1-cosαsinα=sinα1+cosα,这组公式称为半角公式.
问题4:二倍角公式与和(差)角公式有什么内在联系?

1.sin π12cos π12的值为(　　).
A.14　　　 B.34　　　 C.12　　　 D.32
2.1+cos2等于(　　).
A.-2cos 1 B.2cos 1 C.cos 1-sin 1 D.sin 1-cos 1
3.tan22.5°1-tan222.5°=　　　　. 
4.请回答《创设情境》中的问题.

直接利用二倍角、半角等公式进行化简或求值
将下列三角函数式进行化简或求值:
(1)8sinπ48cosπ48cosπ24cosπ12;
(2)11-tanα-11+tanα;
(3)(sin5π12+cos5π12)(sin5π12-cos5π12);

二倍角或半角公式在三角函数中的综合运用
已知sin α+cos α=355,α∈(0,π4),sin(β-π4)=35,β∈(π4,π2).
(1)求sin 2α和tan 2α的值;
(2)求cos(α+2β)的值.

已知角的某种三角函数值求值或角
已知方程x2+4ax+3a+1=0(a>1)的两根分别为tan α,tan β,且α,β∈(-π2,π2),则tanα+β2的值是　　　　. 

将下列三角函数式进行化简或求值:
(1)2cos4x-2cos2x+122tan(π4-x)sin2(π4+x);
(2)(1+sinθ+cosθ)(sin θ2-cos θ2)2+2cosθ(0<θ<π).

已知函数f(x)=2cos x(sin x-cos x)+1,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)在区间[π8,3π4]上的最小值和最大值.

已知tan(α-β)=12,tan β=-17,且α,β∈(0,π),求2α-β的值.

1.已知sin 2α=23,则cos2(α+π4)=(　　).
A.16　　　　 B.13　　　　 C.12　　　　 D.23
2.若△ABC的内角A满足sin 2A=23,则sin A+cos A的值为(　　).
A.153　 B.-153　 C.53　 D.-53
3.化简cos2(θ+15°)+cos2(θ-15°)-32cos 2θ=　　　　　. 
4.函数f(x)=12cos 2x+sin x,求f(x)在区间[-π4,π4]上的最小值.

(2022年·四川卷)已知函数f(x)=cos2x2-sinx2cosx2-12.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域;
(2)若f(α)=3210,求sin 2α的值.

　　考题变式(我来改编):

答案
第5课时　二倍角的正弦、余弦和正切

学问体系梳理
问题1:(1)2sin αcos α　(2)sin2α　2cos2α　2sin2α　(3)2tanα1-tan2α　π2　kπ2
问题2:±1-cosα2　±1+cosα2　±1-cosα1+cosα　sinα1+cosα　1-cosαsinα
问题4:sin(α+β)　cos(α+β)　sin(α-β)　cos(α-β)　tan 2α
tan(α+β)　tan(α-β)
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1.A　sin π12cos π12=12(2sin π12cos π12)=12sin(2×π12)=12sin π6=14.
2.B　∵0<1<π2,∴cos 1>0,∴1+cos2=1+(2cos21-1)=2cos21=2cos 1.
3.12　原式=12(2tan22.5°1-tan222.5°)=12tan(2×22.5°)=12tan 45°=12.
4.解:在Rt△BCG中,设|CG|=x,
由于△BCG≌△ABF,所以|BF|=x.
由题意知,|BC|=1,|GF|=15,
而|CG|2+|BG|2=|BC|2,∴x2+(15+x)2=1,
∴x=35,∴sin θ=x=35,
∴sin2θ-cos2θ=2sin2θ-1=2×(35)2-1=-725.
重点难点探究
探究一:【解析】(1)原式=4sin π24cos π24cos π12=2sin π12cos π12=sin π6=12.
(2)原式=2tanα1-tan2α=tan 2α.
(3)原式=sin25π12-cos25π12=-cos 5π6=32.
【小结】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换,要擅长抓住已知条件与目标之间的结构联系,找到解题的突破口与方向.由二倍角或半角公式可直接求值,留意公式的正确使用.
　　探究二:【解析】(1)由题意得(sin α+cos α)2=95,即1+sin 2α=95,∴sin 2α=45.
又2α∈(0,π2),∴cos 2α=1-sin22α=35,∴tan 2α=sin2αcos2α=43.
(2)∵β∈(π4,π2),β-π4∈(0,π4),sin(β-π4)=35,
∴cos(β-π4)=45,
∴sin 2(β-π4)=2sin(β-π4)cos(β-π4)=2425,
又sin 2(β-π4)=-cos 2β,∴cos 2β=-2425,
又2β∈(π2,π),∴sin 2β=725.
∵cos2α=1+cos2α2=45,α∈(0,π4),
∴cos α=255,sin α=55.
∴cos(α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin 2β=255×(-2425)-55×725=-11525.
【小结】在运用二倍角或半角公式进行化简或求值时,要留意角的范围,以免消灭多解、漏解.
　　探究三:【解析】由韦达定理得,tan α+tan β=-4a,tan α·tan β=3a+1,
∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-4a1-(3a+1)=43,
又∵tan(α+β)=2tanα+β21-tan2α+β2=43,
整理,得2tan2α+β2+3tanα+β2-2=0,
又α,β∈(-π2,π2),∴α+β∈(-π,π),
∴α+β2∈(-π2,π2),
∴tanα+β2=-2或tanα+β2=12.
[问题]tanα+β2=12吗?
[结论]tanα+β2≠12,∵a>1,tan α+tan β=-4a<0,tan α·tan β=3a+1>0,
∴tan α<0,tan β<0,又由α,β∈(-π2,π2),得α,β∈(-π2,0),α+β∈(-π,0),则α+β2∈(-π2,0).
于是,正确解答如下:
由韦达定理得,a>1,tan α+tan β=-4a<0,tan α·tan β=3a+1>0,
∴tan α<0,tan β<0.
又∵α,β∈(-π2,π2),得α,β∈(-π2,0),
∴α+β∈(-π,0),α+β2∈(-π2,0).
又∵tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-4a1-(3a+1)=43,tan(α+β)=2tanα+β21-tan2α+β2=43,
整理,得2tan2α+β2+3tanα+β2-2=0,
解得tanα+β2=-2或tanα+β2=12(舍去).
【答案】-2
【小结】一些不能直接求值的三角函数,可通过变形或整体代换,再利用二倍角或半角公式等进行变形、简化,达到求值的目的.
思维拓展应用
应用一:(1)原式=12(2cos2x-1)22tan(π4-x)cos2(π4-x)
=cos22x4cos(π4-x)sin(π4-x)=cos22x2sin(π2-2x)=12cos 2x.
(2)由于0<θ<π,所以0<θ2<π2,
所以原式=(2sin θ2cos θ2+2cos2θ2)(sin θ2-cos θ2)2cos2θ2
=2cos θ2(sin2θ2-cos2θ2)2cos θ2=-cos θ.
　　应用二:(1)∵f(x)=2cos x(sin x-cos x)+1=sin 2x-cos 2x=2sin(2x-π4),
∴函数f(x)的最小正周期为2π2=π.
(2)∵f(x)=2sin(2x-π4)在区间[π8,3π8]上为增函数,在区间[3π8,3π4]上为减函数,又f(π8)=0,f(3π8)=2,f(3π4)=2sin(3π2-π4)=-2sinπ4=-1,
∴函数f(x)在区间[π8,3π4]上的最大值为2,最小值为-1.
　　应用三:由于tan 2(α-β)=2tan(α-β)1-tan2(α-β)=43,
所以tan(2α-β)=tan[2(α-β)+β]=tan2(α-β)+tanβ1-tan2(α-β)tanβ=1,
又tan α=tan[(α-β)+β]=tan(α-β)+tanβ1-tan(α-β)tanβ=13,
由于α∈(0,π),所以0<α<π4,又π2<β<π,所以-π<2α-β<0,所以2α-β=-3π4.
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1.A　cos2(α+π4)=1+cos(2α+π2)2=1-sin2α2=16,故选A.
2.A　∵sin 2A=2sin Acos A=23,0<A<π,∴sin A>0,cos A>0,∴sin A+cos A=(sinA+cosA)2=1+sin2A=1+23=153.
3.1　cos2(θ+15°)+cos2(θ-15°)-32cos 2θ=1+cos2(θ+15°)2+1+cos2(θ-15°)2-32cos 2θ=1+12[cos(2θ+30°)+cos(2θ-30°)]-32cos 2θ=1+12[cos 2θcos 30°-sin 2θsin 30°+cos 2θcos 30°+sin 2θsin 30°]-32cos 2θ=1+12×2cos 2θcos 30°-32cos 2θ=1.
4.解:f(x)=12cos 2x+sin x=12(1-2sin2x)+sin x
=-sin2x+sin x+12=-(sin x-12)2+34.
令t=sin x,则由-π4≤x≤π4得,-22≤t≤22,依据二次函数y=-(t-12)2+34的性质得当t=-22时,y取最小值-22.
全新视角拓展
(1)由已知可得,
f(x)=cos2x2-sinx2cosx2-12
=12(1+cos x)-12sin x-12
=22cos(x+π4).
所以f(x)的最小正周期为2π,值域为[-22,22].
(2)由(1)知,f(α)=22cos(α+π4)=3210,
所以cos (α+π4)=35.
所以sin 2α=-cos(π2+2α)=-cos 2(α+π4)
=1-2cos2(α+π4)=1-1825=725.
思维导图构建
±1-cosα2　±1+cosα2　±1-cosα1+cosα　sinα1+cosα
1-cosαsinα