2021高中数学北师大版必修一导学案：《二次函数的图像与性质》.docx

第8课时　二次函数的图像与性质

1.理解二次函数的图像中a,b,c,h,k的作用.
2.能够娴熟地对一般二次函数的解析式配方,争辩二次函数图像的上下左右移动.
3.培育同学由形到数的抽象概括力量,观看分析力量.

汽车在行驶中,由于惯性作用,刹车制动后,还要连续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要因素,已知甲车的刹车距离y(m)与刹车的速度x (km/h)的关系可用模型y=ax2来描述,且甲车的速度为50 km/h时,刹车距离为10 m.该车在一条限速为100 km/h的高速大路上出了事故,测得它的刹车距离为50 m,那么我们来帮交通部门推断此车是否超车.

问题1:将给定的速度50 km/h与刹车距离10 m代入y=ax2,即10=502a,求出a=10502;把x=100代入确定的解析式,求出刹车距离y=10502×1002=40.而50>40,所以可以判定此车超速.
问题2:二次函数的解析式有三种形式:
(1)一般式:　　　　　　　　. 
(2)顶点式:　　　　　　　　. 
(3)零点式:　　　　　　　　. 
问题3:二次函数y=ax2(a≠0)的图像可由　　　　　的图像各点的纵坐标变为原来的a倍得到(相应点的横坐标不变).因此,这里的a打算了图像的开口方向和在同一坐标系中的开口大小.当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下.|a|越大,开口　　　　;|a|越小,开口　　　　. 
问题4:二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)的图像可由y=ax2的图像　　　　(当h>0时)或　　　　(当h<0时)平移|h|个单位长度,再　　　　(k>0)或　　　　(k<0)平移|h|个单位长度而得到.简洁记为:左加右减,上加下减. 

1.函数y=-x2+4x的单调递增区间是(　　).
A.[-2,+∞)　　 B.[2,+∞) C.(-∞,-2] D.(-∞,2]
2.函数y=ax2+bx+c中a>b>c,且a+b+c=0,则它的图像可能是(　　).

3.已知二次函数f(x)=-x2+4x+3,则f(x)的开口方向向　　　　(上、下),对称轴方程为　　　　,顶点坐标为　　　　,该函数可由y=-x2向　　　　平移　　　　个单位长度,再向上平移　　　　个单位长度得到. 
4.设函数f(x)=x2+bx+c,若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,求f(x)的解析式.

　　二次函数的图像及其变换
试用描点法与图像变换法两种方法作出二次函数y=-13x2+2x-1的图像.

　　求二次函数的解析式
已知f(x)是二次函数,求满足下列条件的函数解析式.
(1)f(0)=-5,f(-1)=-4,f(2)=5;
(2)f(0)=3,f(-5)=f(-3)=0;
(3)顶点为(6,-12),且过点(8,0).

　　二次函数图像的应用
函数y=x2-4|x|+3是关于x的二次函数吗?请作出它的图像,并依据图像求出方程x2-4|x|+3=0的根.

用描点法和图像变换法两种方法作二次函数y=x2-2x+4的图像.

已知一抛物线与x轴的交点是A(-2,0),B(1,0),且经过点C(2,8).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)求该抛物线的顶点坐标.

当m为怎样的实数时,关于x的方程x2-4|x|+3=m有四个互不相等的实数根?

1.已知二次函数的图像如图所示,那么此函数的解析式为(　　).
A.y=x2-4 B.y=4-x2
C.y=34(4-x2) D.y=34(2-x)2
2.已知反比例函数y=kx的图像如图所示,则二次函数y=2kx2-4x+k2的图像大致为(　　).

3.已知关于x的二次函数图像的对称轴是直线x=1,图像交y轴于点(0,2),且过点(-1,0),则这个二次函数的解析式是　　　　　　. 
4.已知函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数,求f(1)的取值范围.

　　(2010年·安徽卷)设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像可能是(　　).

考题变式(我来改编):

答案
第8课时　二次函数的图像与性质
学问体系梳理
问题2:(1)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)　(2)f(x)=a(x+h)2+k(a≠0)　(3)f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
问题3:y=x2　越小　越大
问题4:向左　向右　向上　向下
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1.D　∵y=-x2+4x=-(x-2)2+4,
∴y=-x2+4x的递增区间为(-∞,2].
2.D　由已知得 a>0,c<0,∴选D.
3.下　x=2　(2,7)　右　2　7　∵f(x)=-x2+4x+3=-(x-2)2+7,
由a=-1<0,可知f(x)的开口向下,对称轴方程为x=2,顶点坐标为(2,7),可由y=-x2向右平移2个单位长度,再向上平移7个单位长度得到.
4.解:∵f(-4)=f(0),f(-2)=-2,
∴(-4)2-4b+c=c,(-2)2-2b+c=-2,解得b=4,c=2.
∴f(x)=x2+4x+2.
重点难点探究
探究一:【解析】(描点法)y=-13x2+2x-1=-13(x-3)2+2.
故该抛物线的对称轴是直线x=3,顶点是(3,2),列表如下:
x
…
0
1
2
3
4
5
6
…
y
…
-1
23
53
2
53
23
-1
…

　　描点连线得函数的图像.(如图(1)所示)

(图像变换法)先作函数y=-13x2的图像,再将图像向右平移3个单位长度,得到y=-13(x-3)2的图像,然后将此图像向上平移2个单位长度,得到y=-13(x-3)2+2的图像,如图(2)所示.
【小结】作函数图像的常用方法有:
描点作图法:①考虑定义域;②列表;③描点;④连线成图.
变换作图法:①平移:
y=f(x)=y=f(x+a).
y=f(x)=y=f(x)+h,总结为左加右减,上加下减.
②翻折与对称变换:
y=f(x)y=f(-x),y=f(x)y=|f(x)|,
y=f(x)y=-f(x),
y=f(x)y=-f(-x),
y=f(x)y=f(|x|).
探究二:【解析】(1)设所求函数为f(x)=ax2+bx+c,依据已知条件,得方程组0+0+c=-5,a-b+c=-4,4a+2b+c=5,解得a=2,b=1,c=-5.
因此,所求函数为f(x)=2x2+x-5.
(2)设所求函数为f(x)=a(x+5)(x+3),据f(0)=3,得a=15.
因此,所求函数为f(x)=15x2+85x+3.
(3)依题意可设所求函数为y=a(x-6)2-12,
据题意有f(8)=0,即4a-12=0,解之得a=3,
因此,所求函数为f(x)=3x2-36x+96.
【小结】求二次函数的解析式可接受待定系数法,应结合题设条件选择恰当的二次函数形式,以达到事半功倍的效果.
探究三:

【解析】y=x2-4|x|+3不是关于x的二次函数.
其解析式可改写为
y=x2-4x+3(x≥0),x2+4x+3(x<0),
作出图像如图所示.
由图像与x轴的交点,可得方程x2-4|x|+3=0的根是x1=-3,x2=-1,x3=1,x4=3.
【小结】数形结合是争辩数学的一个重要手段,是解题的一个有效途径,用数形结合思想解题,便于发觉问题,启发思考,有助于培育综合运用数学学问解决问题的力量.
思维拓展应用
应用一:描点法:y=x2-2x+4=(x-1)2+3,
x
-1
0
1
2
3
y
7
4
3
4
7

　　图像变换法:先作y=x2的图像,向右平移1个单位长度,得到y=(x-1)2的图像,然后将此图像向上平移3个单位长度,得到y=(x-1)2+3的图像.

应用二:(1)(法一)设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.
∵抛物线过A(-2,0),B(1,0),C(2,8)三点,于是得4a-2b+c=0,a+b+c=0,4a+2b+c=8,解这个方程组得a=2,b=2,c=-4.
∴所求抛物线的解析式为y=2x2+2x-4.
(法二)设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-1),
又知f(x)过点C(2,8),∴a=2.
∴解析式为y=2(x+2)(x-1)=2x2+2x-4.
(2)∵y=2x2+2x-4=2(x2+x-2)=2(x+12)2-92,
∴该抛物线的顶点坐标是(-12,-92).
应用三:由y=x2-4|x|+3得y=x2-4x+3(x≥0),x2+4x+3(x<0).
作出图像如图所示.

从图像可以看出,当-1<m<3时,方程有四个互不相等的实根.
基础智能检测
1.C　由图可知函数过点(0,3),(-2,0),(2,0),代入检验即可.
2.D　由已知得k<0,又二次函数的对称轴为x=1k,排解B,C,又开口向下,排解A,从而选D.
3.y=-23x2+43x+2　由对称轴是直线x=1,可设这个二次函数的解析式为y=a(x-1)2+m,由于图像交y轴于点(0,2),所以a+m=2,①
又过点(-1,0),所以4a+m=0,②
由①②解得a=-23,m=83,
所以所求解析式为y=-23(x-1)2+83=-23x2+43x+2.
4.解:由y=f(x)的对称轴是x=m8,可知f(x)在[m8,+∞)上递增,由题设应有m8≤-2,即m≤-16,∴f(1)=9-m≥25,∴f(1)的取值范围是[25,+∞).
全新视角拓展
D　当a<0时,b、c异号.A中c<0,故b>0,
-b2a>0,不符合;B中c>0,故b<0,-b2a<0,不符合.
当a>0时,b、c同号,C、D两图中c<0,故b<0,-b2a>0,选项D符合.
思维导图构建
向上　向下　越小　越大