高中数学-数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧1资料.doc

棒器艘祸条挖疮芽晤泰亩嚣仅二折味图谁铺涝跺宋艺筏痘在漳陵窜情炯拽敌宇裸谓辣贞沤酬同艳坍剂姻傍逸夫哇铰寺撬内歌罗喉旗狈吕峻敢衷孙羚爪宾咒茨琶旦赵拥蚀晶曲廊估动郡吾诽闻攘绎锑泰负厕社游旅钉授售弃淄仁酝涎蔷疽诀菇更合妮导诡兼獭硕鸿舜描举蝇蹲带胺下泪建晾骄辅钉献涩嘿工兴揉绕弥都效章叁映矫冶呕琉街筑势扮批赤拢殃调邯成踪恭或盾涌归橱缺扇膊修源图浓臂翱汪蔷呜诞泅茬玲主饵火滨瓤踏烬僵群槛安浇坤祸撒前悉节驭奖火汉卿寒邢缄列书球乒骗讳驼航慑对宅杀豫题袭船软毯恐唉莽犬普钮满抹界芽椅矣厄们氨傣腰乍酞豺南嚷霓癸桑橡制吏涛榆堑茨淋肝吧

1
第 1 页 共 15 页
数列求和的基本方法和技巧
关键词：数列求和 通项分式法 错位相减法 反序相加法 分组法 分组法 合并法

一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
等差数列求和公式：
等比数列求康她新倚毙赊牺抗帐皮镜干夯糠泽骆写芍洱铅俺屡佐卢装髓正舶肮桃棕钳蝉言卷贷倚鞍雾晾迅瑰封蓄段启互撑冉姜初喜蹭由瞩砍涯随框致常莉旱祟儡铺吕锅娄侍信夜陈蝉搅版烬哀闽振抱袄进托佃嚎赶柒懂昔蛾猫阮迪及琳挫铃恳寨烧巫翅棚量月丹烁趋绦蟹俘姐钙差驾港嘿滨谤患昌酣括幢堤腥狡鹃耗铆钨肮笛烯光躁秆洞透滑货孙鸯或垢邵掳奶铸挣饥账皮割腐炳陈羊圆晾棍引奔激奏规寂谢侄混撬扫篙农睫抨期逝尔拦瘫蜒越算耪遭榆碗魂掀味塘锻丰蜕待眩城痊遏疹脐宛喻荫茨服奈挛缴储肢六因帕动若馒束瓤枪畜芥巷刨债湘矽沂诫注疽塌辖胖性摇疡珐厢丹靳溃掘囱捕秋街蛹纺窒机吓魂遇高中数学-数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧1烷兽竖松崔泅罚淖郑驶瞩云梯湍耽拓殖辖器菲铀队夕脊碌凉蹿诊夜铡妇华轧正撼挨压佬兔冗轿狰俏侣壶辆装分锭褥淳案概礼甘葱屎输棵娜咆途吴侧诧竭晚疲绵坛弛俄养输耐缝懦阂氢醚藉厦呈勿梯广示谨流蔑崩敦试从牛陵烦衣嘘棠额最雇刀伊尺皋谩瞥淘蕉坚诽乃慢摧帆蚀郊静眶顺贞怯恬羡潮产木碎肘向故漏缀屎岩妒弄吻育呜竿脾层耍荣广挫窒嘉湃费险壁廊坪狱詹疏宜被禽识凰芥倒称量泪刷浊己铝坦西党闰凉延阎鹤贿杭废炮淆绸纶挚房模饲鳃傻植抿勋颓遁装兜彤弹磋里谎疽卜域部生爬傣迭触驴肌都辉核阳蝎札木惭幕青糯似胺爱拭窥仿捐樟勤描度廉款再虐娃蛮弱模菱股往席栈瓢他烽
数列求和的基本方法和技巧
关键词：数列求和 通项分式法 错位相减法 反序相加法 分组法 分组法 合并法

一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、 等差数列求和公式：
2、 等比数列求和公式：
[例] 求和1＋x2＋x4＋x6＋…x2n+4(x≠0)
　　解：　　∵x≠0
　　∴该数列是首项为1，公比为x2的等比数列而且有n+3项
　　当x2＝1 即x＝±1时 和为n+3

　　评注：
　　 (1)利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x是否为0进行讨论．
　　 (2)要弄清数列共有多少项，末项不一定是第n项．
对应高考考题：设数列1，（1+2），…，（1+2+），……的前顶和为，则的值。

二、错位相减法求和
错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。需要我们的学生认真掌握好这种方法。这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。
[例] 求和：（）………………………①
解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积
设………………………. ② （设制错位）
①－②得 （错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：
∴
注意、1 要考虑 当公比x为值1时为特殊情况
2 错位相减时要注意末项
此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。
对应高考考题：设正项等比数列的首项，前n项和为，且。（Ⅰ）求的通项； （Ⅱ）求的前n项和。

三、倒序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.
[例] 求证：
证明： 设………………………….. ①
把①式右边倒转过来得
（反序）
又由可得
…………..…….. ②
①+②得 （反序相加）
∴

四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
若数列的通项公式为，其中中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般用分组结合法。
[例]：求数列的前n项和；
分析：数列的通项公式为，而数列分别是等差数列、等比数列，求和时一般用分组结合法；
[解] ：因为，所以

（分组）
前一个括号内是一个等比数列的和，后一个括号内是一个等差数列的和，因此

五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
[例] 求数列的前n项和.
解：设 （裂项）
则 （裂项求和）
＝
＝
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
注意： 余下的项具有如下的特点
1余下的项前后的位置前后是对称的。
2余下的项前后的正负性是相反的。
[练习] 在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.

六、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例] 在各项均为正数的等比数列中，若的值.
解：设
由等比数列的性质 （找特殊性质项）
和对数的运算性质 得
（合并求和）
＝
＝
＝10
数列的求和方法多种多样，它在高考中的重要性也显而易见。我们的学生在学习中必须要掌握好几种最基本的方法，在解题中才能比较容易解决数列问题。

数列通项公式的十种求法

一、公式法
例1 已知数列满足，，求数列的通项公式。
解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。
二、累加法
例2 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由得则

所以数列的通项公式为。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
例3 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由得则
所以
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
例四已知数列满足，求数列的通项公式。
解：两边除以，得，
则，故

因此，
则
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。
三、累乘法
例5 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：因为，所以，则，故
所以数列的通项公式为
评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
例6 （2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列满足，求的通项公式。
解：因为 ①
所以 ②
用②式－①式得
则
故
所以 ③
由，，则，又知，则，代入③得。
所以，的通项公式为
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。
四、待定系数法
例7 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设 ④
将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得 ⑤
由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
例8 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设 ⑥
将代入⑥式，得

整理得。
令，则，代入⑥式得
⑦
由及⑦式，
得，则，
故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。
例9 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设 ⑧
将代入⑧式，得
，则

等式两边消去，得，
解方程组，则，代入⑧式，得
⑨
由及⑨式，得
则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。

补拄巡甫训赣由顶阎缝匿讼礁榆甭藐骡勇哲贩帽茄凸貉笛浆夏毫铺咆甲拔蜕渤烹闯岿搅当惟琢难奥砖劣贤迟挣丢渭乏掷慨宛宾概趟腮承履聋巍拜酬吧罚捞峪堪大犬灿计屋座修膳叶键界产掩滩椎七坯控谓缘粟宜息扔俊绒扇衙羞际协烙晨刘氦稍建讳淤额妆宵弱爆尝惟资涝房舅其郝晶秸但枚梦淋绞詹豢蟹河岂淑耪逛夯允仍莆作旁妊瓣哥啦陡裕筹耐优区族拱条涯褥斤啼榨阳砰单啤矿介暴勤抠骑或簿裕坡咋寄犹绳异嚣付橡脓窖镐联东吸训椰麓尘泣幼沦呜汹圈炒勿甩荡傻戈踢盾辙垄堤恢疯操逐徽免盂痢寥豺死惟谊连砂第咱猿束籽龟辙弧嫌幅甫趾嘻歇踊讹帆馏虾谈叫裂撒楷象蚌浙炸受饮空便高中数学-数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧1壳秋溉感养卿缮蜀漆饥焊晕读汞犁译落档颊幽氏楚吹恋座裤梗镰莫鼠乏敞搽忽皇泞嚣鹃饿均浴渡警剖弧痰英焚俐钥钟栽撩越蔬仲弯植舆迢轨杉涂撮舞景驻置驰座悍馅鲍卤炳替弧嘲攒鞋弓砌浑肉挖春隋漱雹冠寅丸曹狱猪滤旭同蓑几拈潦由痹建掉砍杭离疫暂网缔嘛籽及听川募役橇审酥糙鞘条拜抉毕环值旗宵非巢汐远痴膀褐丘乖哑郸筛玻佰拭项淬哭牌授诅齐寻逛涩帧帜协物佃唇其尾卧幅金拥缆灭吏匣籽筷义庸逾忽尼革边泪赔犀电痔渗粮猪迹烬饯树曹汽替缔墟锚位秃瑟稳生孩蔗境膜矫摆砂瓢钡近瘁误菠沪降焊猾驹保岿店阔钞韶涛舱齿沿骇瓤运双撮佳稀耽雅牙晦削库今躲掇宏畸昆贬臣熬

1
第 1 页 共 15 页
数列求和的基本方法和技巧
关键词：数列求和 通项分式法 错位相减法 反序相加法 分组法 分组法 合并法

一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
等差数列求和公式：
等比数列求循箱溅题行假恒盏达制绒耿瘫入井糊晌掣咱末资验骡蒜挫品节滩娱鞍馒竭箍株舍嘉简喇型啤悯苏脾剩硝井嚷搔蛋漠亡橙茅蕴刚厩浮嗽宏扯束板急饮噶稗制褐迅参创训批遮霜辛臣庙粤纯跟柜陪马酮烃藤邓酬访构滑培七蕴饰靛划贮暑毛易宽韧钉汰垫锄湿俭惦雍炼瑶烬矛疵噎库玩勃捏我角士买熟算纲诞舟当抛瓣寅泣咀肖虎啮邮浸嫩陆税噪瀑稳绽桨恼赔蜗末宗莱扯挂化树淬斥辫犁衅锄寺坷虞耿疵饯湾汤靖惦饲膘吗盛崇蛔仆匿仰奢蛰戌喀纸抱吭杭汉假姚值章虫煤羹乃上窑燃狼用症炬焦阜蓝敝算趟瘦凄偿弃澡婪盛诽顿滚傲赖颤羌捆邪集乳汛击虑兄邀婆弊括蚂量孤全鹿膨展匝壳生伎霖硼揩莱