2020-2021学年高中数学(北师大版)必修二单元质量评估2-第二章.docx

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单元质量评估 (二)
其次章
(120分钟　150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2022·银川高一检测)与直线y=-2x+3平行，且与直线y=3x+4交于x轴上的同一点的直线方程是(　　)
A.y=-2x+4　 B.y=12x+4
C.y=-2x-83　 D.y=12x-83
【解析】选C.y=3x+4与x轴交点为-43,0，又与直线y=-2x+3平行，故所求直线方程为y=-2x+43，即y=-2x-83，故选C.
2.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0相互垂直，则实数m的值为(　　)
A.1 B.-1 C.1或-1 D.-4
【解析】选A.由于两直线x-2y+5=0与2x+my-6=0相互垂直.所以1×2+(-2)m=0即m=1.
【变式训练】已知两直线l1：x+m2y+6=0，l2：(m-2)x+3my+2m=0，若l1∥l2，则实数m的值为(　　)
A.0或3 B.-1或3
C.0或-1或3 D.0或-1
【解析】选D.(1)当m=0时，l1：x+6=0，l2：x=0，l1∥l2；
(2)当m≠0时，l1：y=-1m2x-6m2，
l2：y=2-m3mx-23，
由-1m2=2-m3m且-6m2≠-23，所以m=-1.
故所求实数m的值为0或-1.
3.(2022·蚌埠高一检测)与圆x2+y2-ax-2y+1=0关于直线x-y-1=0对称的圆的方程是x2+y2-4x+3=0，则a=(　　)
A.0　　 B.1 C.2　　 D.3
【解题指南】先确定圆x2+y2-4x+3=0的圆心，求圆心关于直线x-y-1=0的对称点，即为圆x2+y2-ax-2y+1=0的圆心.
【解析】选C.x2+y2-4x+3=0化为标准形式为(x-2)2+y2=1，圆心为(2，0)，
由于(2，0)关于直线x-y-1=0对称的点为(1，1)，
所以x2+y2-ax-2y+1=0的圆心为(1，1).
由于x2+y2-ax-2y+1=0，即为x-a22+(y-1)2=a24，圆心为a2,1，所以a2=1，即a=2.
【一题多解】本题还可以使用以下方法求解：
x2+y2-4x+3=0的圆心为M(2，0)，x2+y2-ax-2y+1=0的圆心为Na2,1，MN的中点4+a4,12在直线x-y-1=0上，所以4+a4-12-1=0，所以a=2.
4.已知点A(1，3)，B(-2，-1).若过点P(2，1)的直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是(　　)
A.k≥12　　　　　　　　　 B.k≤-2
C.k≥12或k≤-2　　　　 D.-2≤k≤12
【解析】选D.过点P(2，1)的直线可以看作绕P(2，1)进行旋转运动，通过画图可求得k的取值范围.由已知直线l恒过定点P(2，1)，如图.

若l与线段AB相交，
则kPA≤k≤kPB，
由于kPA=-2，kPB=12，所以-2≤k≤12.
5.(2022·阜阳高一检测)过点M(1，2)的直线l与圆C：(x-2)2+y2=9交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为(　　)
A.x=1　　 B.y=1
C.x-y+1=0　　 D.x-2y+3=0
【解析】选D.当CM⊥l，即弦长最短时，∠ACB最小，
所以kl·kCM=-1，所以kl=12，所以l的方程为：x-2y+3=0.
6.(2022·渭南高一检测)与圆x2+y2-4x+6y+3=0同心且经过点(-1，1)的圆的方程是(　　)
A.(x-2)2+(y+3)2=25
B.(x+2)2+(y-3)2=25
C.(x-2)2+(y+3)2=5
D.(x+2)2+(y-3)2=5
【解题指南】由于所求的圆与已知圆同心，故它们的圆心坐标一样，所以依据已知圆得到圆心为(2，-3)，设出所求圆的方程，把(-1，1)代入即可求出.
【解析】选A.由圆x2+y2-4x+6y+3=0得圆心为(2，-3)，设所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=m，
又由于该圆经过点(-1，1)，代入得：
m=(-1-2)2+(1+3)2=25，
所以所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.
7.若直线y-2=k(x-1)与圆x2+y2=1相切，则切线方程为(　　)
A.y-2=34(1-x)
B.y-2=34(x-1)
C.x=1或y-2=34(1-x)
D.x=1或y-2=34(x-1)
【解析】选B.圆心坐标为(0，0)，到直线的距离等于半径1，即|2-k|1+k2=1，所以k=34.
【误区警示】本题简洁错选D，要留意已知条件中直线的表达式是点斜式，说明直线的斜率存在，x=1虽是圆的切线，但斜率不存在.
8.(2021·新课标全国卷Ⅱ)已知点A(-1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是(　　)
A.(0，1)　 B.1-22,12
C.1-22,13　 D.13,12
【解析】选B.由题意画出图形，如图(1).
由图可知，直线BC的方程为x+y=1.
由x+y=1,y=ax+b,解得M1-ba+1,a+ba+1.可求N(0，b)，D-ba,0.
由于直线y=ax+b将△ABC分割为面积相等的两部分，所以S△BDM=12S△ABC.
又S△BOC=12S△ABC，所以S△CMN=S△ODN，
即12×-ba×b=12(1-b)×1-ba+1.
整理得b2a=(1-b)2a+1.
所以(1-b)2b2=1+aa，所以1b-1=1+1a，
所以1b=1+1a+1，

即b=11+1a+1，可以看出，当a增大时，b也增大.
当a→+∞时，b→12，即b<12.
当a→0时，直线y=ax+b，接近于y=b.
当y=b时，如图(2)，S△CDMS△ABC=CN2CO2=(1-b)212=12.
所以1-b=22，所以b=1-22，所以b>1-22.
由上分析可知1-22<b<12，故选B.
9.过点P(-2，4)作圆O：(x-2)2+(y-1) 2=25的切线l，直线m：ax-3y=0与直线l平行，则直线l与m的距离为(　　)
A.4 B.2 C.85 D.125
【解析】选A.由于点P在圆上，
所以切线l的斜率k=-1kOP=-11-42+2=43.
所以直线l的方程为y-4=43(x+2)，
即4x-3y+20=0.
又直线m与l平行，
所以直线m的方程为4x-3y=0.
故两平行直线的距离为d=|0-20|42+(-3)2=4.
【变式训练】圆x2+y2-4x=0在点P(1，3)处的切线方程为(　　)
A.x+3y-2=0 B.x+3y-4=0
C.x-3y+4=0 D.x-3y+2=0
【解析】选D.方法一：易知切线斜率存在，x2+y2-4x=0，y=kx-k+3⇒x2-4x+(kx-k+3)2=0，
该二次方程应有两相等实根，即Δ=0，解得k=33，
所以y-3=33(x-1)，即x-3y+2=0.
方法二：由于点(1，3)在圆x2+y2-4x=0上，
所以点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直.
又由于圆心为(2，0)，设所求切线方程的斜率为k，
所以0-32-1·k=-1，
解得k=33，所以切线方程为x-3y+2=0.
10.(2021·重庆高考)已知圆C1：(x-2)2+(y-3)2=1，圆C2：(x-3)2+(y-4)2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为(　　)
A.52-4　　 B.17-1　　 C.6-22　　 D.17
【解题指南】依据圆的定义可知|PM|+|PN|=|PC1|+|PC2|-4，然后利用对称性求解.
【解析】选A.由题意知，圆C1：(x-2)2+(y-3)2=1，圆C2：(x-3)2+(y-4)2=9的圆心分别为C1(2，3)，C2(3，4)，且|PM|+|PN|=|PC1|+|PC2|-4，点C1 (2，3)关于x轴的对称点为C(2，-3)，
所以|PC1|+|PC2|=|PC|+|PC2|≥|CC2|=52，
即|PM|+|PN|=|PC1|+|PC2|-4≥52-4.
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确答案填在题中的横线上)
11.△ABC的顶点坐标是A(3，1，1)，B(-5，2，1)，C-83,2,3，则它在yOz平面上的射影图形的面积是__________.
【解析】△ABC的顶点在yOz平面上的射影点的坐标分别为A′(0，1，1)，
B′(0，2，1)，C′(0，2，3)，
又|A′B′|=(0-0)2+(1-2)2+(1-1)2=1，
|A′C′|=(0-0)2+(1-2)2+(1-3)2=5，
|B′C′|=(0-0)2+(2-2)2+(1-3)2=2，故△ABC在yOz平面上的射影是一个直角三角形A′B′C′，故S△A′B′C′=12×2×1=1.
答案：1
12.圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是________.
【解析】已知圆的圆心为C(1，1)，半径为r=1，则圆心到直线的距离为d=|1-1-2|1+1=2，因此圆上的点到直线的最大距离为dmax=2+1.
答案：2+1
【变式训练】x2+y2-4x-2y-11=0上的点到直线x+y-13=0的最大距离与最小距离之差是________.
【解析】圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=16，
圆心到直线的距离为d=|2+1-13|12+12=52，
所以，圆上的点到直线的最大距离为52+4，
圆上的点到直线的最小距离为52-4，
所以，最大距离与最小距离之差是8.
答案：8
13.若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3-b，3-a)，则线段PQ的垂直平分线l的斜率为____________，圆(x-2)2+(y-3)2=1关于直线l对称的圆的方程为________________.
【解题指南】直接利用两直线的斜率存在，那么相互垂直的充要条件是斜率之积等于-1.把圆的对称转化为圆心关于直线的对称.
【解析】设线段PQ的垂直平分线的斜率为k，则k·3-a-b3-b-a=-1，所以k=-1.而且PQ的中点坐标是3+a-b2,3-a+b2，所以l的方程为：y-3-a+b2=-1·x-3+a-b2，所以y=-x+3.圆心(2，3)关于直线y=-x+3对称的点坐标为(0，1)，
所以对称图形的方程为：x2+(y-1)2=1.
答案：-1　x2+(y-1)2=1
14.(2022·潍坊高一检测)集合A={(x，y)|x2+y2=4}，B={(x，y)|(x-3)2+(y-4)2=r2}，其中r>0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是________.
【解析】据题知集合A中的元素是圆心为坐标原点，半径为2的圆上的任一点坐标，
集合B的元素是以(3，4)为圆心，r为半径的圆上的任一点坐标，
由于r>0，若A∩B中有且仅有一个元素，则集合A和集合B只有一个公共元素即两圆有且只有一个交点，则两圆相切，圆心距d=R+r或d=R-r；
依据公式求出两个圆心的距离为5，一圆半径为2，则r=3或7.
答案：3或7
15.(2022·湖北高考)直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2=________.
【解析】依题意，圆心(0，0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，圆心到l1：y=x+a的距离为|0·1+0·(-1)+a|12+(-1)2，圆心到l2：y=x+b的距离为|0·1+0·(-1)+b|12+(-1)2，即|a|2=|b|2，|a|2=
cos45°=22，所以a2=b2=1，故a2+b2=2.
答案：2
【误区警示】解答本题时简洁毁灭的问题是不能把“将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧”用数学语言表示出来.
三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(12分)推断以A(10，-1，6)，B(4，1，9)，C(2，4，3)三点为顶点的三角形的外形.
【解析】依据空间两点间距离公式，得
|AB|=(10-4)2+(-1-1)2+(6-9)2=7，
|BC|=(4-2)2+(1-4)2+(9-3)2=7，
|AC|=(10-2)2+(-1-4)2+(6-3)2=72.
由于|AB|2+|BC|2=|AC|2，
且|AB|=|BC|，
所以△ABC是等腰直角三角形.
【举一反三】题干中A，B，C顶点坐标不变，则三角形的面积是多少？
【解析】由两点间的距离公式得
|AB|=7，|BC|=7，|AC|=72，
于是|AB|=|BC|，
|AC|2=|AB|2+|BC|2，
所以△ABC是等腰直角三角形.
S△ABC=12|AB|·|BC|=492.
17.(12分)(2022·深圳高一检测)已知圆C：x2+y2-4x-14y+45=0，及点Q(-2，3).
(1)P(a，a+1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率.
(2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值.
【解析】(1)由于点P(a，a+1)在圆上，
所以a2+(a+1)2-4a-14(a+1)+45=0，
所以a=4，P(4，5)，
所以|PQ|=(4+2)2+(5-3)2=210，
kPQ=3-5-2-4=13.
(2)由于圆心C坐标为(2，7)，
所以|QC|=(2+2)2+(7-3)2=42，
圆的半径是22，点Q在圆外，
所以|MQ|max=42+22=62，
|MQ|min=42-22=22.
18.(12分)有一圆与直线l：4x-3y+6=0相切于点A(3，6)，且经过点B(5，2)，求此圆的方程.
【解析】方法一：由题意可设所求的方程为(x-3)2+(y-6)2+λ(4x-3y+6)=0，又由于此圆过点(5，2)，将坐标(5，2)代入圆的方程求得λ=-1，所以所求圆的方程为x2+y2-10x-9y+39=0.
方法二：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，
则圆心为C(a，b)，由|CA|=|CB|，CA⊥l，得
(3-a)2+(6-b)2=(5-a)2+(2-b)2,(5-a)2+(2-b)2=r2,b-6a-3×43=-1,
解得a=5,b=92,r2=254,
所以所求圆的方程为(x-5)2+y-922=254.
方法三：设圆心为C，则CA⊥l，
又设AC与圆的另一交点为P，
则CA的方程为y-6=-34(x-3)，
即3x+4y-33=0.
又由于kAB=6-23-5=-2，
所以kBP=12，所以直线BP的方程为x-2y-1=0.
解方程组3x+4y-33=0,x-2y-1=0,
得x=7,y=3.所以P (7，3).
所以圆心C为AP的中点5,92，半径为|AC|=52.
所以所求圆的方程为(x-5)2+y-922=254.
【拓展延长】直线与圆的位置关系
(1)争辩直线与圆的位置关系，要联系圆的几何特性，尽可能地简化运算，如“垂直于弦的直径必平分弦”“圆的切线垂直于过切点的半径”“两圆相交时连心线必垂直平分其公共弦”等.在解题时应留意机敏运用.
(2)直线与圆相交是解析几何中的一类重要问题，解题时留意运用“设而不求”的技巧.另外，涉及弦的最长、最短问题时要考虑圆的有关性质.
19.(12分)一束光线l自A(-3，3)发出，射到x轴上，被x轴反射后与圆C：x2+y2-4x-4y+7=0有公共点.
(1)求反射光线通过圆心C时，光线l所在直线的方程.
(2)求在x轴上，反射点M的横坐标的取值范围.
【解题指南】圆心C关于x轴的对称点为C′，过点A，C′的直线的方程即为光线l所在直线的方程.点A关于x轴的对称点为A′，求出过点A′的圆C的两条切线可以得到x轴上反射点M的横坐标的取值范围.
【解析】圆C的方程可化为(x-2)2+(y-2)2=1.
(1)圆心C关于x轴的对称点为C′(2，-2)，过点A，C′的直线的方程x+y=0，即为光线l所在直线的方程.
(2)点A关于x轴的对称点为A′(-3，-3)，
设过点A′的直线为y+3=k(x+3).
当该直线与圆C相切时，有|2k-2+3k-3|1+k2=1，
解得k=43或k=34，所以过点A′的圆C的两条切线分别为y+3=43(x+3)，y+3=34(x+3).
令y=0，得x1=-34，x2=1，
所以在x轴上反射点M的横坐标的取值范围是-34,1.
20.(13分)过原点O作圆C：x2+y2+6x=0的弦OA.
(1)求弦OA中点M的轨迹方程.
(2)延长OA到N，使|OA|=|AN|，求N点的轨迹方程.
【解析】(1)圆C：x2+y2+6x=0可化为(x+3)2+y2=9，连接CM，则CM⊥OA，所以点M的轨迹是以OC为直径的圆(不含原点)，其圆心为-32,0，半径为32，所以弦OA中点M的方程为x+322+y2=94，即x2+y2+3x=0(x≠0).

(2)设点D为圆C与x轴的另一交点，

连接ND，AC，由于A，C分别为NO，DO的中点，所以|ND|=2|AC|=6，所以N点的轨迹是以D(-6，0)为圆心，半径为6的圆(不含原点)，其方程为(x+6)2+y2=36，即x2+y2+12x=0(x≠0).
21.(14分)(2022·江苏高考)如图，为了疼惜河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形疼惜区.规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；疼惜区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，tan∠BCO=43.

(1)求新桥BC的长.
(2)当OM多长时，圆形疼惜区的面积最大？
【解析】(1)如图，以OC，OA为x，y轴建立直角坐标系，
则C(170，0)，A(0，60).
由题意，kBC=-43，
直线BC的方程为y=-43(x-170)，
又kAB=-1kBC=34，
故直线AB的方程为y=34x+60.
由y=-43(x-170),y=34x+60,
解得x=80,y=120.
即B(80，120)，
所以|BC|=(80-170)2+1202=150(m).
(2)设OM=t，即M(0，t)，0≤t≤60，
由(1)直线BC的一般方程为4x+3y-680=0，
圆M的半径为r=|3t-680|5，
由题意知r-t≥80,r-(60-t)≥80,
由于0≤t≤60，
因此r=|3t-680|5=680-3t5=136-35t，
所以136-35t-t≥80,136-35t-(60-t)≥80,
所以10≤t≤35，
所以当t=10时，r取得最大值130m，此时圆形疼惜区的面积最大.
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