2020-2021学年高中数学(北师大版-必修一)课时作业-第二章2.2-函数.docx

2.2　函数的表示法

课时目标　1.把握函数的三种表示方法——解析法、图像法、列表法.2.在实际情境中，会依据不同的需要选择恰当方法表示函数．

1．函数的三种表示法
(1)列表法——用________的形式表示两个变量之间函数关系的方法．
(2)图像法——用________把两个变量间的函数关系表示出来的方法．
(3)解析法——一个函数的对应关系可以用________的解析表达式(简称解析式)表示出来，这种方法称为解析法．
2．分段函数：对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．

一、选择题
1．一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为(　　)
A．y＝50x(x>0) B．y＝100x(x>0)
C．y＝(x>0) D．y＝(x>0)
2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)

给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
3．假如f()＝，则当x≠0时，f(x)等于(　　)
A. B.
C. D.－1
4．已知f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)等于(　　)
A．2x＋1 B．2x－1
C．2x－3 D．2x＋7
5．已知f(x)＝，则f(3)为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5

6．在函数y＝|x|(x∈[－1,1])的图像上有一点P(t，|t|)，此函数与x轴、直线x＝－1及x＝t围成图形(如图阴影部分)的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为(　　)

题　号
1
2
3
4
5
6
答　案

二、填空题
7．一个弹簧不挂物体时长12 cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．假如挂上3 kg物体后弹簧总长是13.5 cm，则弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式为_________________________________________________．
8．已知函数y＝f(x)满足f(x)＝2f()＋x，则f(x)的解析式为____________．
9．已知f(x)＝，则f(7)＝______________.
三、解答题
10．已知二次函数f(x)满足f(0)＝f(4)，且f(x)＝0的两根平方和为10，图像过(0,3)点，求f(x)的解析式．

11．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图像，并依据图像回答下列问题：
(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；
(2)若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小；
(3)求函数f(x)的值域．

力气提升
12．某学校要召开同学代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(　　)
A．y＝[] B．y＝[]
C．y＝[] D．y＝[]
13．设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式．

1．如何作函数的图像
一般地，作函数图像主要有三步：列表、描点、连线．作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数)，再列表描出图像，并在画图像的同时留意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等．
2．如何求函数的解析式
求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，留意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．

2．2　函数的表示法
学问梳理
1．(1)表格　(2)图像　(3)自变量
作业设计
1．C　[由·y＝100，得2xy＝100.
∴y＝(x>0)．]
2．B　[由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量削减了1，所以应当是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．]
3．B　[令＝t，则x＝，代入f()＝，
则有f(t)＝＝，故选B.]
4．B　[由已知得：g(x＋2)＝2x＋3，令t＝x＋2，则x＝t－2，
代入g(x＋2)＝2x＋3，
则有g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1，
故选B.]
5．A　[∵3<6，
∴f(3)＝f(3＋2)＝f(5)＝f(5＋2)＝f(7)＝7－5＝2.]
6．B　[当t<0时，S＝－，所以图像是开口向下的抛物线，顶点坐标是(0，)；当t>0时，S＝＋，开口是向上的抛物线，顶点坐标是(0，)．所以B满足要求．]
7．y＝x＋12
解析　设所求函数解析式为y＝kx＋12，把x＝3，y＝13.5代入，得13.5＝3k＋12，k＝.
所以所求的函数解析式为y＝x＋12.
8．f(x)＝－(x≠0)
解析　∵f(x)＝2f()＋x，①
∴将x换成，得f()＝2f(x)＋.②
由①②消去f()，得f(x)＝－－，
即f(x)＝－(x≠0)．
9．6
解析　∵7<9，
∴f(7)＝f[f(7＋4)]＝f[f(11)]＝f(11－3)＝f(8)．
又∵8<9，∴f(8)＝f[f(12)]＝f(9)＝9－3＝6.即f(7)＝6.
10．解　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由f(0)＝f(4)知
得4a＋b＝0.①
又图像过(0,3)点，
所以c＝3.②
设f(x)＝0的两实根为x1，x2，
则x1＋x2＝－，x1·x2＝.
所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－)2－2·＝10.
即b2－2ac＝10a2.③
由①②③得a＝1，b＝－4，c＝3.所以f(x)＝x2－4x＋3.
11．解　由于函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，列表：
x
…
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
－5
0
3
4
3
0
－5
…

连线，描点，得函数图像如图：
(1)依据图像，简洁发觉f(0)＝3，
f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)<f(0)<f(1)．
(2)依据图像，简洁发觉当x1<x2<1时，有f(x1)<f(x2)．
(3)依据图像，可以看出函数的图像是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．
12．B　[方法一　特殊取值法，若x＝56，y＝5，排解C、D，若x＝57，y＝6，排解A，所以选B.
方法二　设x＝10m＋α(0≤α≤9)，0≤α≤6时，
[]＝[m＋]＝m＝[]，
当6<α≤9时，[]＝[m＋]＝m＋1＝[]＋1，
所以选B.]
13．解　由于对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，
所以令y＝x，
有f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)，
即f(0)＝f(x)－x(x＋1)．又f(0)＝1，
∴f(x)＝x(x＋1)＋1＝x2＋x＋1.