2020-2021学年人教A版高中数学必修2双基限时练17.docx

双基限时练(十七)
1．给出下列四个命题，其中真命题的个数是(　　)
①假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③假如两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行；④假如一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直.
A．4 B．3
C．2 D．1
解析　①为直线和平面平行的性质定理，所以正确；②为直线与平面垂直的判定定理，所以正确；③不正确．平行于同一平面的两条直线相交、平行、异面都有可能；④为两个平面垂直的判定定理，所以正确．
答案　B
2．用α表示一个平面，l表示一条直线，则平面α内至少有一条直线与l(　　)
A．平行 B．相交
C．异面 D．垂直
解析　排解法．当l与α相交时，A不成立，当l∥α时，B不成立，当l⊂α时，C不成立．因此排解A、B、C，故D正确．
答案　D
3．设有不同的直线a，b和不同的平面α，β，γ.给出下列三个命题：
①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若a∥α，a∥β，则α∥β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.
其中正确的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析　易知①、②、③都是假命题，因此选A.
答案　A
4．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则(　　)
A．直线a必垂直于平面β
B．直线b必垂直于平面α
C．直线a不肯定垂直于平面β
D．过a的平面与过b的平面垂直
答案　C
5．在正四周体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是(　　)
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC

解析　如图所示：(1)∵DF∥BC，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF.故A成立；
(2)∵BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE，又DF∥BC，∴DF⊥平面PAE，故B成立；
(3)由(2)知平面PAE⊥平面ABC，故D成立．
综上知，不成立的应是C.
答案　C
6．如图，平面ABC⊥平面BCD，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.

解析　取BC的中点E，连接AE，DE，∵AB＝AC＝a，

∴AE⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，
平面ABC∩平面BCD＝BC.
∴AE⊥平面BCD.
∵DE⊂平面BCD，∴AE⊥DE.
计算得BC＝a.
AE＝a，DE＝BC＝a.
∴AD＝＝a.
答案　a
7．已知平面α，β和直线m，给出条件：
①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β.
则当满足条件________时，有m⊥β；
当满足条件________时，有m∥β.
答案　②⑤　③⑤
8．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面ACD1与平面BB1D1D的位置关系是__________．

解析　由底面ABCD是正方形，知AC⊥BD，又AC⊥BB1，∴AC⊥平面BB1D1D，又AC在平面ACD1内，∴平面ACD1⊥平面BB1D1D.
答案　垂直
9．如图，已知点M是菱形ABCD所在平面外的一点，且MA＝MC，求证：AC⊥平面BDM.

证明　设BD∩AC＝O，连接MO，

10．已知：如图，平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4，AC，BD分别在平面α和平面β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝12，求CD长．

解　连接BC.
∵AC⊥AB，∴AC⊥β，AC⊥BD.
∵BD⊥AB，∴BD⊥α，BD⊥BC.
∴△CBD是直角三角形．
在Rt△BAC中，BC＝＝＝5，
在Rt△CBD中，CD＝＝＝13.
∴CD长为13.
11．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，求证：AB⊥BC.

证明　如图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于点D，则由平面A1BC⊥侧A1ABB1，且平面A1BC∩侧A1ABB1＝A1B，得AD⊥平面A1BC.
又∵BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC.

∵三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，
∴AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC.
又AA1∩AD＝A，∴BC⊥侧面A1ABB1.
又AB⊂侧面A1ABB1，∴AB⊥BC.
12．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.

(1)求证：AF∥平面BDE；
(2)求证：CF⊥平面BDE.

证明　(1)设AC与BD交于点O，
∵EF∥AC，且EF＝1，AO＝AC＝1，
∴四边形AOEF为平行四边形．
∴AF∥OE.
∵OE⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，
∴AF∥平面BDE.
(2)连接FO，∵EF∥CO，EF＝CO＝1，且CE＝1，
∴四边形CEFO为菱形，∴CF⊥EO.
∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC.
又∵平面ACEF⊥平面ABCD，
且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，
∴BD⊥平面ACEF.
∴CF⊥BD，
又BD∩EO＝O，
∴CF⊥平面BDE.