高中数学(北师大版)必修五教案：1.4-数列的概念知识总结及例题讲解.docx

§1.1.1 数列的概念
本小节重点：了解数列概念、分类、通项公式；及通项公式的求法。
一、 基本概念
1. 数列的概念
按确定次序排列的一列数叫数列。
注：数列的另确定义：数列也可以看做是一个定义域为正整数集，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
数列中的每一个数按挨次1，2，3，…，都有一个序号，叫作项数，每一个序号也对应着一个数，这个数叫作数列中的项，例如第4个数，叫作第4项，第n个数，叫作第n项，记作;
数列的一般形式为，，，…，，…简洁记为，其中表示数列的通项.
通项公式：假如一个数列的第n项与项数n之间的函数关系可以用一个公式表示时，我们称这个公式为这个数列的通项公式。
特殊提示：a) 数列的通项公式不是唯一的，例如：-1，1，-1，1，…通项公式可表示为或;
b) 不是全部的数列都有通项公式，例如：3，3.1，3.14，3.141，3.1415，…就没有通项公式.
递推公式：假如已知数列的第1项（或前几项），且从其次项（或某一项）开头的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系式可以用一个公式来表示，则这个公式就叫作递推公式。
2. 数列的表示方法
列表法，指列出表格来表示数列的第n项与序号n之间的关系.
图像法，指在坐标平面中用点表示.
解析法，指用一数学式子表示来。例如：常用的通项公式.
3. 数列的分类
按数列中项数的多少来分：有穷数列和无穷数列.
按数列中相邻两项间的大小关系来分：递增数列、递减数列、常数列和摇摆数列.
依据任何一项的确定值是否都大于某一正数来分：有界数列和无界数列.
二、 例题讲解
例1. 依据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
(1) ，，，，… (2) 1,3,6,10,15,…
(3) ,,,,… (4) 6,66,666,…
(5),,,,…
(6) ,,,,,,…或
特殊提示：在此种题型当中一些常用的数列为：
1) 1，0，1，0，…; 2)-1,1,-1,1,…; 3)1,11,111,1111,…
例2. 已知数列,
(1) 求数列的第10项
(2) 是否为该数列的项，为什么？
(3) 求证：数列中各项都在区间内；
(4) 在区间内有很多列中的项？
例3. 利用递推公式写出下列各题通项公式
(1)(可用两种方法)
(2)已知数列 满足求
(3)(插项法和叠加法组合)
(4)在数列中,已知,
(5)设是首项为1的正数数列，且,求它的通项公式.（累乘法）
(6)已知数列中，，数列中，,当时，,求
例4. 求下列数列中某一项
(1) 已知数列满足,求
(2) 已知数列对任意,有,若，求
(3) 在数列中，,求
(4) 已知数列满足,求
例5. 利用数列的单调性解答
(1)若数列的通项公式,数列的最大项为第x项，最小项为第y项，则x+y=
(2)设数列的通项公式为,若数列是单调递增数列，求实数k的取值范围.
(3)设,又知数列的通项满足,
1)试求数列的通项公式;
2)推断数列的增减性.
(4)设是定义在正整数集上的函数，且满足,假如,则=
例6. 和之间的关系
注：数列的通项与前n项和的相互关系是：;

(1) 已知数列的前n项和,求数列的通项公式.
(2) 已知求
(3) 已知,又数列中，，这个数列的前n项和的公式，对全部大于1的自然数n都有.
1) 求数列的通项公式.
2) 若, 求的值
特殊提示：请同学自行归纳出求通项公式的基本方法.