【优化指导】2021年高中数学人教A版必修4练习：2.5-检测-平面向量应用举例-Word版含答案.docx

其次章　2.5

考查学问点及角度
难易度及题号
基础
中档
稍难
向量在物理中的应用
1、3、5
9

向量在几何中的应用

6、7、10

综合运用
2、4
8
11

1．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为(　　)
A.　　 B．2　　　
C.　　 D.
解析：F1＋F2＝(1,1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，
∴|F1＋F2|＝＝.
答案：C
2．在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC为(　　)
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．无法确定
解析：∵(＋)·(－)＝2－2
＝||2－||2＝0，∴||2＝||2.
故||＝||.△ABC为等腰三角形．
答案：C
3．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为θ，两人用力都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为(　　)
A．30°　 B．60°　　
C．90°　 D．120°
解析：作＝F1，＝F2，＝－G，
则＝＋，
当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形，
∴∠AOC＝60°.从而∠AOB＝120°.
答案：D
4.在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的两端点分别为O(0,0)，B(1,1)，则·＝ ________.
解析：由已知得A(1,0)，C(0,1)，∴＝(0,1)，＝(－1,1)．
∴·＝1.
答案：1
5．一个重20 N的物体从倾斜角为30°，斜面上1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是________．
解析：W＝F·s＝|F|·|s|·cos θ＝20×1×cos 60°＝10 J.
答案：10 J
6．已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－6，点R是直线l上的一点，点＝2 ，求点P的轨迹方程．
解：设P(x，y)，R(x1，y1)，则＝(1－x1，－y1)，＝(x－1，y)．由＝2 得(1－x1，－y1)＝2(x－1，y)，即代入直线l的方程得y＝2x.所以，点P的轨迹方程为y＝2x.
7．已知，四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线．求证：AC⊥BD.
证明：证法一：∵＝＋，＝－，
∴·＝(＋)·(－)
＝||2－||2＝0.
∴⊥，即AC⊥BD.
证法二：解答本题还可以用坐标法，解法如下：
以BC所在直线为x轴，以B为原点建立平面直角坐标系，
则B(0,0)，设A(a，b)，C(c,0)，
则由|AB|＝|BC|得a2＋b2＝c2.
∵＝－＝(c,0)－(a，b)＝(c－a，－b)，
＝＋＝(a，b)＋(c,0)＝(c＋a，b)，
∴·＝c2－a2－b2＝0.
∴⊥，即AC⊥BD.

8．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，＝(＋)，且||＝||，则·等于________．
解析：设BC的中点是D，如图所示，则＋＝2 ，则＝，
所以O和D重合．
所以BC是圆O的直径．
所以∠BAC＝90°.
又||＝||，
则||＝1，||＝2，所以∠ABC＝60°，
所以·＝||||cos 60°＝1×2×＝1.
答案：1
9.如图所示，用两根分别长5 m和10 m的绳子将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后G点距屋顶的距离恰好为5 m，求A处受力的大小．
解：由已知条件可知AG与铅直方向成45°角，BG与铅直方向成60°角，设A处所受的力为Fa，B处所受的力为Fb，
∴
解得|Fa|＝150－50，故A处受力的大小为(150－50)N.
10.如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于E，求BE∶EC.
解：设＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2.
a·b＝|a||b|cos 60°＝1，＝a＋b.
设＝λ＝λb，则＝－＝λb－a.
由AE⊥BD，得·＝0，
即(λb－a)·(a＋b)＝0.
解得λ＝，∴BE∶EC＝∶＝2∶3.

11.在某海滨城市O四周海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图所示)的东偏南θcos θ＝，θ∈(0°，90°)方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开头受到台风的侵袭？

解：设t小时后，台风中心移动到Q处，此时城市开头受到台风的侵袭，∠OPQ＝θ－45°.
∵＝＋，∴2＝(＋)2
＝2＋2＋2·.
∴2＝2＋2－2||||cos(θ－45°)
＝3002＋(20t)2－2×300×20t×
＝100(4t2－96t＋900)．
依题意得2≤(60＋10t)2，解得12≤t≤24，
从而12 h后该城市开头受到台风的侵袭．

1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的运算获得几何命题的证明．
2．用向量理论争辩物理中相关问题的步骤
一般来说分为四步：
(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；
(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；
(3)参数的猎取，求出数学模型的相关解；
(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经猎取的数值去解释一些物理现象.